Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем - Математика курсовая работа

Главная

Математика
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем

Численное решение уравнения методом Эйлера и Рунге-Кутта в Excel. Программа на языке Turbo Pascal. Блок-схема алгоритма. Метод Рунге-Кутта для дифференциального уравнения второго порядка. Модель типа "хищник-жертва" с учетом внутривидового взаимодействия.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Тема: Численные методы решения обыкновенных дифф еренциальных уравнений и систем
В программе подготовки инженеров, как правило, включен ряд дисциплин, изучающих сложные физические и химические процессы. Многие из них могут описываться дифференциальными уравнениями. Математические модели реальных процессов могут быть достаточно сложными, и соответствующие задачи не решаться аналитически. В этом случае требуется решение с помощью приближенной модели или приближенных (численных) методов. Вычислительная мощность современных ЭВМ, а также их внедрение в научную и инженерную деятельность позволило решать достаточно сложные уравнения, довольно точно описывающие рассматриваемые явления, а также моделировать различные системы. Таким образом, изучение изложенных методик является важной составляющей при освоении технической специальности.
1. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА
Решить численно указанную задачу Коши для уравнения первого порядка методом Эйлера, используя табличный процессор Excel.
Исследовать поведение решения на отрезке [0,1.5] с начальным условием y(0)=0, числом отрезков разбиения n=15. Параметр c=0.2.
1.2 Математическая модель задачи (метод Эйлера).
Пусть начальное значение искомой функции y(x0) =y0. Можно приближенно вычислить следующие значения, находя приращение функции через дифференциал:
Для проведения расчетов сначала вычисляется добавка к текущему значению функции для вычисления следующего: Для вычислений используются формулы:
где i = 0,1,…, n-1, x0, y0 определено из начальных условий, а f(xi, yi) - функция правой части уравнения, вычисленная в узловой точке.
Отрезок изменения аргумента: [0,1.5].
Число отрезков разбиения: 15. Тогда шаг h=0.1.
1.4 Численное решение уравнения методом Эйлера в Excel
Рассмотрим расчетную таблицу в Excel, содержащую три столбца для значений . Дадим им заголовки x, y, , расположив их в ячейках A2:C2. Для постоянных величин h, c отведем отдельные ячейки E2 и E3. Их заголовки помещены в ячейки D2 и D3.
Расчеты в таблице Excel выполняются по следующему алгоритму:
1. Вычисление первого столбца: первые два значения x = x0 и x1 = x0+h вводятся в ячейки A3 и A4, затем, выделив две эти ячейки, заполняем столбец значений x до достижения конечного значения x=1,5.
2. Затем заполним первую строку расчетной таблицы: в столбце y введем y0 в ячейку B3, в столбце введем в ячейку C3 формулу: =$E$2*(A3^2-B3^2) (вычисляется приращение функции y для текущего значения x в соответствии с формулой ).
вводим формулу =В3+С3 в ячейку B4 и копируем ее в ячейки B5:B18 (вычисляется новое значение функции y при изменении x на один шаг с помощью линейного приращения по формуле ).
копируем формулу из ячейки C3 в ячейки C4:C18
Рис. 1.1. Фрагмент рабочего листа с решением примера по методу Эйлера
2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ РУНГЕ-КУТТА В EXCEL И TURBO PASCAL 7.0
Решить численно указанную задачу Коши для уравнения первого порядка методом Рунге-Кутта, используя табличный процессор Excel и с помощью программы на языке Турбо Паскаль 7.0. Построить графики решений в Excel, с помощью Мастера диаграмм. Провести анализ полученных результатов.
Исследовать поведение решения на отрезке [0,1.5] с начальным условием y(0)=0, числом отрезков разбиения n=15. Параметр c=0.2.
2.2 Математическая модель задачи (метод Рунге-Кутта).
По условию выполнено соотношение: .
Расчетные формулы для конкретного примера записываются, исходя из общих формул:
Отрезок изменения аргумента: [0,1.5].
Число отрезков разбиения: 15. Тогда шаг h=0.1.
2.4 Численное решение уравнения методом Рунге-Кутта в Excel
Заполняем таблицу Excel в следующем порядке:
1. Первая строка заполнена именами переменных.
2. Ячейка H21 отводится под значения константы h, ячейка G21 - под ее имя.
3. Первый столбец заполняется значениями x.
4. В ячейку B22 вводим значение y0.
5. В ячейки С22, D22, E22, F22 вводим соответственно формулы:
=$H$21*((A22+$H$21/2)^2-(B22+C22/2)^2)
=$H$21*((A22+$H$21/2)^2-(B22+D22/2)^2)
7. В ячейки B24:B37 копируем формулу из ячейки B23.
8. В ячейки C22:F36 копируем формулы из ячеек C22:F22.
Рис. 2.1. Фрагмент рабочего листа с решением примера по методу Рунге-Кутта
Рис. 2.2. Блок-схема алгоритма Рунге-Кутта для дифференциального уравнения 1-го порядка
2.6.Программа на языке Turbo Pascal
Исходные значения должны находиться в файле inp1.txt в следующем порядке: левая граница промежутка, правая граница промежутка, число отрезков разбиения, начальное значение функции, параметр.
Результаты расчетов пишутся в файл ou1.txt.
2.9 Представление результатов в виде графиков
Построим графики численного решения данного уравнения в Excel методами Эйлера и Рунге-Кутта.
На графике видно, что численные решения задачи различными способами незначительно различаются.
Результаты, полученные при расчете с использованием Turbo Pascal 7.0 совпадают с расчетами (методами Эйлера и Рунге-Кутта) в Excel, что является косвенным признаком правильности решения задачи.
3. МЕТОД РУНГЕ-КУТТА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1) Решить численно указанную задачу Коши для уравнения второго порядка методом Рунге-Кутта, с помощью программы на языке Turbo Pascal 7.0.
2) Построить графики решения и его производной в Excel с помощью мастера диаграмм.
3) Провести анализ полученных результатов.
Рассмотрим уравнение второго порядка, разрешенное относительно второй производной:
на отрезке [a, b] с начальными условиями .
Это уравнение легко свести к системе уравнений первого порядка с помощью замены переменных: . Тогда и уравнение (1.12) сводится к системе первого порядка
с начальными условиями y(a)=y0, z(a)=z0 , где за z0 обозначено y10.
Данная система может решаться как система двух уравнений первого порядка (1.8)-(1.9), где
на отрезке [a, b] с начальными условиями
Формулы метода Рунге - Кутта для системы двух уравнений имеют вид:
Последовательно вычисляются на каждом шаге , а затем , где .
3.4 Расчет контрольного варианта в Excel для тестирования
Рис. 3.1. Расчет контрольного варианта в режиме отображения данных.
Рис. 3.2. Блок-схема алгоритма Рунге-Кутта для дифференциального уравнения 2-го порядка.
Рис. 3.4. Функция f2(x,y,z:real):real.
3.6 Численное решение задачи с использованием Turbo Pascal 7.0
x0,xn,y0,z0,h,x,y,z,k1,k2,k3,k4,l1,l2,l3,l4,c:real;
writeln(ou,x:2:1,' ',y:7:6,' ',z:7:6);
writeln(ou,x:2:1,' ',y:7:6,' ',z:7:6)
Исходные значения должны находиться в файле inp2.txt в следующем порядке:
левая граница промежутка, правая граница промежутка, число отрезков разбиения, начальное значение функции , начальное значение функции .
Результаты расчетов пишутся в файл ou2.txt.
3.9 Представление результатов в виде графиков
Построим графики численного решения данного уравнения в Excel методом Рунге-Кутта.
Рис. 3.5. График решения уравнений системы.
Результаты, полученные при расчете с использованием Turbo Pascal 7.0, совпадают с контрольным вариантом расчета по методу Рунге-Кутта, произведенном в Excel, что является косвенным признаком правильности решения.
4. МОДЕЛЬ ТИПА «ХИЩНИК-ЖЕРТВА» С УЧЕТОМ ВНУТРИВИДОВОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
1) Решить численно задачу Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка, являющейся моделью “хищник - жертва” при различных начальных условиях и различных значениях параметров системы. Величину интервала решения и шаг подобрать самостоятельно, так чтобы решение не выходило за пределы сотен единиц и давало картину поведения траекторий. Решить задачу на отрезке [0,T] .
2) Решение выполнить с помощью системы Турбо Паскаль 7.* или Delphi.
3) Контрольный вариант рассчитать самостоятельно вручную или с помощью Excel.
4) Построить траектории системы и графики зависимости искомых функций от времени. Показать траектории при различных начальных данных в одной системе координат.
5) Провести анализ поведения решений.
Система уравнений, описывающая динамику популяций двух видов, взаимодействующих между собой по типу «хищник-жертва» и с учетом внутривидового взаимодействия:
Заданные начальные условия при t=0
Начальное и конечное значение аргумента t: t0, tn.
Начальные значения неизвестных функций .
Число отрезков разбиения области интегрирования n.
t0=0, tn= 15, n=30, x0=100, x0=90, x0=85, y0=30.
Начальные данные: (100,30), (90,30), (85,30).
4.4 Расчет контрольного варианта в Excel для тестирования.
Рис. 4.1. Расчет контрольного варианта для тестирования (для демонстрации приведено только 3 точки; специальная вставка).
Рис. 4.2. Блок-схема алгоритма решения уравнения второго порядка.
Рис. 4.3. Функция f1(x,y:real):real
Рис. 4.4. Функция f2(x,y:real):real
4.6 Численное решение задачи с использованием Turbo Pascal 7.0
t0,tn,x0,xi,y0,yi,h,t,x,y,k1,k2,k3,k4,l1,l2,l3,l4,a,b,c,d:real;
writeln(ou,t:2:1,' ',x:7:6,' ',y:7:6);
writeln(ou,t:2:1,' ',x:7:6,' ',y:7:6)
Исходные значения должны находиться в файле inp3.txt в следующем порядке:
Результаты расчетов пишутся в файл ou3.txt.
4.9 Представление результатов в виде графиков.
Построим графики в Excel численного решения данного уравнения.
Рис. 4.1. Траектория решения при различных исходных данных.
Из графического представления решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, описывающей динамику популяций двух видов, взаимодействующих между собой по типу «хищник-жертва» и с учетом внутривидового взаимодействия, видно, что поведение системы изменяется при разных параметрах. В данном случае при изменении y (начального количества хищников) изменяется амплитуда колебаний численности обоих популяций в системе. Тем не менее, во всех трех случаях система ведет себя стабильно.
Результаты, полученные при расчете с использованием Turbo Pascal 7.0, совпадают с контрольным вариантом, рассчитанном в Excel, что является косвенным признаком правильности решения.
В данной работе рассмотрены методы решения дифференциальных уравнений и систем. Закреплены навыки решения дифференциальных уравнений и систем первого порядка методом Рунге-Кутта, которые могут быть применены в будущем при построении различных математических моделей и в прикладных задачах. В ходе решения использовались программы: Turbo Pascal 7.1. процессор MS Excel. Отчет оформлен в Microsoft Word.
численный метод дифференциальное уравнение
Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление.
Лабораторные работы по курсу “Вычислительная математика и применение ЭВМ”, методическое пособие. - Ленинград, 1987. - 160 с.
Турчак Л.И. Основы численных методов. - М.: ”Наука”, 1987. -
Воробьева Г.Н., Данилова А.Н.. Практикум по вычислительной математике, М.:“Высшая школа”, 1991. 208 с.
Информатика. Программирование в среде Турбо Паскаль 7.0. Лабораторные работы 1-3, 4-6, 7-9. СПб.: СПГГИ, 2003.
Турбо Паскаль 7.0. Киев, Торгово-издательское бюро BHV, 1997.
Вычислительная техника и программирование. Практикум по программированию. - М.:“Высшая школа”, 1990 / Под ред. А.В. Петрова - 400 с.
Основные методы Рунге-Кутта: построение класса расчетных формул. Расчетная формула метода Эйлера. Получение различных методов Рунге-Кутта с погрешностью второго порядка малости при произвольном задавании параметров. Особенности повышения порядка точности. реферат [78,4 K], добавлен 18.04.2015
Составление диагональной системы способом прогонки, нахождение решения задачи Коши для дифференциального уравнения на сетке методом Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта. Построение кубического сплайна интерполирующей функции равномерного разбиения. практическая работа [46,1 K], добавлен 06.06.2011
Теоретическое обоснование расчетных формул. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Метод Рунге-Кутта. Ломаная Эйлера. Построение схем различного порядка точности. Выбор шага. Апостериорная оценка погрешности. Правило Рунге. курсовая работа [111,1 K], добавлен 13.11.2011
Общая характеристика и особенности двух методов решения обычных дифференциальных уравнений – Эйлера первого порядка точности и Рунге-Кутта четвёртого порядка точности. Листинг программы для решения обычного дифференциального уравнения в Visual Basic. курсовая работа [1,1 M], добавлен 04.06.2010
Аналитическое и компьютерное исследования уравнения и модели Ван-дер-Поля. Сущность и особенности применения методов Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка. Сравнение точности метода Эйлера и Рунге-Кутта на одном графике, рисуя фазовые траектории из 1 точки. курсовая работа [341,7 K], добавлен 06.10.2012
Решение задачи Коши для дифференциального уравнения. Погрешность приближенных решений. Функция, реализующая явный метод Эйлера. Вычисление погрешности по правилу Рунге. Решение дифференциальных уравнений второго порядка. Условие устойчивости для матрицы. контрольная работа [177,1 K], добавлен 13.06.2012
Формирование системы их пяти уравнений по заданным параметрам, ее решение методом Гаусса с выбором главного элемента. Интерполяционный многочлен Ньютона. Численное интегрирование. Решение нелинейных уравнений. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка. контрольная работа [115,5 K], добавлен 27.05.2013
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем курсовая работа. Математика.
Доклад по теме Спенсер Герберт
Логопедическое Сопровождение Детей И Взрослых Эссе Образец
Фонд Курсовых Работ
Реферат по теме Методи навчання видам легкої атлетики
Сочинение Про Сына В Школу
Технология Триз Реферат
Реферат: Management Principles Essay Research Paper SUMMARYSummary
Суицид Как Социальная Проблема Реферат
Мое Отношение К Религии Эссе
Реферат: Социальный контроль в сфере труда
Курсовая работа по теме Выплаты трудовой пенсии
Рефераты: Программирование и компьютеры
Дипломная Работа Пенсионный Фонд Рф
Курсовая Работа На Тему Атэс Как Механизм Диалога И Согласования Позиций Государств По Ключевым Вопросам Экономики, Торговли, Инвестиций, Активизации Экономического И Технического Сотрудничества, Подготовки Кадров
Реферат: Язык разметки гипертекста - HTML
Сочинение Рождественская Ночь Станюкович 7 Класс
Реферат: Цільові спостереження сонячних затемнень (ХVIII-XXI століття)
Реферат: Общий обзор телесно-ориентированной психотерапии. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат по теме Слезная железа
Золотая Осень Остроухов Сочинение
Выставочно-ярмарочная деятельность предприятия - Маркетинг, реклама и торговля курсовая работа
"Саксонское зерцало" – памятник права средневековой Германии - Государство и право контрольная работа
Совершенствование дистрибьюторской деятельности в системе маркетинга (на примере ООО "Эльдорадо") - Маркетинг, реклама и торговля реферат