Astronomía recreativa
Capítulo 5. La gravitación » Contenido:
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Contenido:
1. Un cañonazo hacia arriba
2. El peso a gran altura
3. Las trayectorias de los planetas con el compás
4. La caída de los planetas en el Sol
5. El yunque de Vulcano
6. Los límites del sistema solar
7. Un error en una novela de Julio Verne
8. ¿Cómo fue pesada la Tierra?
9. ¿Cuál es la composición del interior de la Tierra?
10. El peso del Sol y el de la Luna
11. El peso y la densidad de los planetas y de las estrellas
12. La gravedad en la Luna y en los planetas
13. Gravedad “record”
14. La gravedad en el interior de los planetas
15. El problema del barco
16. Las mareas lunares y solares
17. La Luna y el estado del tiempo
1. Un cañonazo hacia arriba
¿Dónde caería una granada, disparada verticalmente, hacia arriba, por un cañón situado en el Ecuador? (figura 86).
Figura 86. El problema de la bala de cañón disparada verticalmente
ste problema se debatía veinte años atrás en una revista con referencia a una granada imaginaria arrojada con una velocidad de 8000 m/seg; esta granada, a los 70 minutos, debería alcanzar una altura de 6400 km (radio terrestre). He aquí lo que decía la revista:
“Si la granada se arroja verticalmente, hacia arriba, en el Ecuador, al salir del cañón poseerá además la velocidad angular de los puntos del Ecuador en dirección al Este (465 m/s).
La granada se trasladará con esta velocidad, paralelamente al Ecuador. El punto que se encontraba en el momento del disparo, a la altura de 6400 km, verticalmente sobre el punto de partida de la granada, se trasladará en un círculo de radio doble con doble velocidad lineal. Por consiguiente, dicho punto aventajará a la granada en dirección al Este.
Cuando la granada alcance el punto más alto de su trayectoria, se encontrará verticalmente, no sobre el punto de partida del disparo, sino que estará desviada hacia el Oeste de dicho punto. Lo mismo sucede en la caída de retorno de la granada. Como resultado, al cabo de los 70 minutos empleados en el ascenso y el descenso, la granada se habrá atrasado aproximadamente 4000 km hacia el Oeste del punto de partida.
En este punto es donde se debe esperar su caída. Para hacer que la granada vuelva al punto de partida -es necesario dispararla, no verticalmente, sino en dirección ligeramente inclinada, en nuestro caso con una inclinación de 5º.”
De manera completamente distinta, resuelve Flammarion[104]un problema similar, en su Astronomía.
“Si se dispara un cañonazo verticalmente hacia el cenit, la bala caerá nuevamente en el alma del cañón, aunque durante su elevación y descenso se traslada con la Tierra hacia el Este. La causa es evidente. La bala, elevándose hacia arriba, no pierde nada de la velocidad que el movimiento de la Tierra le comunica. Los dos impulsos recibidos no se oponen: puede ir 1 km hacia arriba y al mismo tiempo hacer, por ejemplo, 6 km hacia el Este. Su movimiento en el espacio seguirá la diagonal de un paralelogramo, uno de cuyos lados es de 1 km y el otro de 6 km. Al caer, por efecto de la gravedad, se moverá según otra diagonal (más exactamente, siguiendo una curva, a consecuencia de la aceleración) y caerá nuevamente en el alma del cañón, el cual, como antes, se encuentra en posición vertical.”
Flammarion añade:
“Realizar con éxito semejante experiencia resultaría, sin embargo, bastante laborioso, porque sería difícil encontrar un cañón bien calibrado y nada fácil ponerlo en posición totalmente vertical. Mersenne y Petit[105]intentaron hacer esto en el siglo XVII, pero ni siquiera encontraron su bala después del disparo.
Varignon[106], en la página inicial de su obra Nuevas conjeturas sobre la gravedad (1690), insertaba un dibujo relativo a esto. En dicho dibujo, dos observadores -un monje y un militar-están de pie al lado de un cañón que apunta hacia el cenit y miran hacia arriba, como siguiendo la bala disparada.
En el grabado está escrito (en francés) ¿Retombera-t-il? (¿Volverá a caer?). El monje es Mersenne; el militar es Petit. Esta peligrosa experiencia la efectuaron varias veces, y como nunca les resultó bastante acertada como para que la bala les cayera en la cabeza, sacaron la conclusión de que el proyectil se quedaba para siempre en el aire. Varignon se sorprende del hecho:
¡Una bala pendiendo sobre nuestras cabezas! Es verdaderamente asombroso. Repitiendo la experiencia en Estrasburgo[107], la bala cayó a varios cientos de metros del cañón. Es evidente que el arma no había sido dirigida exactamente en dirección vertical.
Las dos soluciones del problema, como vemos, difieren mucho. Un autor afirma que la bala caerá lejos, hacia occidente del lugar del disparo; otro indica que deberá caer en el alma misma del cañón. ¿Quién tiene razón?
En rigor son falsas ambas soluciones, pero la de Flammarion está mucho más cerca de la verdad. La bala debe caer hacia el oeste del cañón; sin embargo, no tan lejos como afirmaba el primer autor y no en el cañón mismo como afirmaba el segundo.
El problema, lamentablemente, no se puede resolver con los recursos de la matemática elemental. Por esta razón nos limitaremos a dar el resultado final[108].
Si llamamos v a la velocidad inicial de la bala, w a la velocidad angular de rotación del globo terrestre y g a la aceleración de la gravedad, la distancia x del punto de caída de la bala al oeste del cañón se obtiene con las expresiones correspondientes, en el Ecuador:
Y en la latitud φ:
Aplicando la fórmula al problema propuesto por el primer autor, tenemos[109]
v = 8000 m/s
g = 9,8 m/s2
Sustituyendo estos valores en la primera fórmula, resulta x = 520 km: la bala caerá 520 km al oeste del cañón (y no a 4000 km, como pensaba el primer autor).
¿Qué resultado da la fórmula para el caso examinado por Flammarion? El disparo no era efectuado en el Ecuador, sino cerca de París, a 48º de latitud. Supondremos la velocidad inicial de la bala del viejo cañón igual a 300 m/s. Sustituyendo en la segunda fórmula:
v = 300 m/s
g = 9,8 m/s2
resulta x = 18 m
La bala caerá a 18 m al oeste del cañón (y no en el alma misma, como suponía el astrónomo francés). En estos cálculos, como se ve, no se ha tenido en cuenta la posible acción de las corrientes de aire, capaces de alterar notablemente el resultado.
2. El peso a gran altura
En los cálculos anteriores hicimos figurar una circunstancia sobre la cual no hemos llamado hasta ahora la atención del lector. Se trata de que a medida que un cuerpo se aleja de la Tierra, la fuerza de la gravedad disminuye.
La gravedad no es otra cosa que una manifestación de la gravitación universal, y la fuerza recíproca de atracción de dos cuerpos disminuye rápidamente cuando la distancia entre ellos aumenta. De acuerdo con la ley de Newton, la fuerza de atracción disminuye proporcionalmente al cuadrado de la distancia; en nuestro caso debe contarse la distancia desde el centro de la esfera terrestre, porque la Tierra atrae a todos los cuerpos como si su masa estuviera concentrada en su centro. Por esto, la fuerza de atracción a la altura de 6400 km, es decir, en un punto alejado 2 radios terrestres del centro de la Tierra, es cuatro veces menor comparada con la fuerza de atracción en la superficie de la Tierra.
Esto se debe manifestar para una bala de cañón arrojada hacia arriba, haciendo que la bala se eleve más que en el caso de que la gravedad no disminuya con la altura. Para la bala arrojada verticalmente, hacia arriba, con una velocidad de 8000 m por segundo, aceptamos que se elevará a una altura de 6400 km. En cambio, si se calcula la altura de la elevación de este proyectil por la fórmula conocida, sin tener en cuenta la disminución de la gravedad con la altura, se obtiene una altura dos veces menor. Hagamos este cálculo. En los textos de física y de mecánica se encuentra la fórmula para el cálculo de la altura h a la que se eleva un cuerpo arrojado verticalmente, hacia arriba, con una velocidad v, para una aceleración constante g, de la fuerza de la gravedad:
En nuestro caso
v = 8000 m/s, g = 9,8 m/s2
y tenemos
Esta es casi la mitad de la altura indicada anteriormente.
La divergencia obedece, como acabamos de decir, a que al utilizar la fórmula dada en los libros de texto, no tenemos en cuenta la disminución de la gravedad con la altura.
Queda claro que si la Tierra atrae la bala más débilmente, ésta tiene que elevarse a mayor altura, a la velocidad dada.
No debe concluirse precipitadamente que las fórmulas que figuran en los libros de texto para el cálculo de la altura que alcanza un cuerpo arrojado hacia arriba, no son exactas. Son exactas dentro de los límites previstos para ellas, y resultan inexactas tan pronto como el calculista se sale de los límites indicados.
Estas fórmulas son aplicables cuando se trata de alturas muy pequeñas, para las que la disminución de la gravedad es tan insignificante, que se puede despreciar. Así, en el caso de la bala arrojada hacia arriba con una velocidad inicial de 300 m/s, la disminución de la gravedad es imperceptible.
Pero he aquí un interesante problema: ¿Se percibe la disminución de la fuerza de la gravedad a las alturas alcanzadas por los aviones y los aeróstatos modernos? ¿Se observa a estas alturas la disminución del peso de los cuerpos? En el año 1936 el aviador Vladimir Kokkinaki[110], subió con su aeronave, algunas cargas a gran altura: ½ tonelada a 11.458 m de altura; 1 tonelada a 12.100 m de altura, y 2 toneladas a 11.295 m de altura. Surge la pregunta: ¿a las alturas indicadas, mantenían estas cargas su peso original, o disminuían notablemente su peso allá arriba?
A primera vista da la impresión de que la elevación sobre la superficie de la Tierra, a un poco más de diez kilómetros, no disminuye el peso de una carga de manera apreciable, en un planeta tan grande como la Tierra. En la superficie de la Tierra el peso dista del centro de nuestro planeta 6400 km; un ascenso de 12 km aumenta esta distancia hasta 6412 km; el aumento parece demasiado pequeño para que pueda influir en el peso. Sin embargo, el cálculo dice otra cosa: se presenta una pérdida apreciable de peso.
Hagamos el cálculo para uno de los casos descritos, por ejemplo, para el ascenso de Kokkinaki con una carga de 2000 kg a 11.295 m. (Su distancia al centro de la Tierra será: 6400 kms + 11,295 km ≈ 6411,3 km).
A esta altura el avión se encuentra una 6411,3/6400 veces más lejos del centro del globo terrestre que en el momento de su partida. La fuerza de atracción disminuye allí (de acuerdo con la ley de Newton, la fuerza de atracción disminuye proporcionalmente al cuadrado de la distancia):
(6411,3/6400)2
es decir
1 + (11,3/6400)2 veces
Por consiguiente, el peso a la altura indicada debe ser:
2000/(1 + 11,3/6400)2 kg
Si se efectúa este cálculo (para lo cual es cómodo utilizar los métodos del cálculo aproximado)[111], se ve que la carga de 2000 kg a la altura indicada pesaría sólo 1993 kg, con lo que sería 7 kg más liviana. La disminución del peso es bastante sensible. Una pesa de un kilogramo a esa altura tiraría en una balanza de resorte sólo como 996,5 g; se perderían 3,5 g de peso.
Nuestros aeronautas, que alcanzaron una altura de 22 km, debieron encontrar una pérdida de peso mayor: 7 g por kilogramo.
En el ascenso “record” del aviador Iumashev, que se elevó en 1936 con una carga de 5000 kg a una altura de 8919 m, puede calcularse para este peso una pérdida global de 14 kg.
En el mismo año 1936 el aviador M. Y. Alekseev elevó a una altura de 12.695 m una carga de 1 toneladas, el aviador N. Nyujtikov elevó a una altura de 7032 m una carga de 10 toneladas, etc.
Utilizando lo expuesto antes, el lector puede efectuar fácilmente el cálculo de la pérdida de peso en cada uno de estos casos.
3. Las trayectorias de los planetas con el compás
De las tres leyes de los movimientos planetarios arrancadas a la naturaleza con gigantesco esfuerzo por el genio de Kepler, la primera puede ser la menos comprensible para muchos.
Esta ley afirma que los planetas se mueven describiendo elipses. ¿Por qué precisamente elipses? Uno pudiera pensar que si se hace sentir por todas partes la misma fuerza en torno al Sol y ésta disminuye con el alejamiento en igual medida, los planetas deberían dar vuelta alrededor del Sol siguiendo círculos y no trayectorias cerradas y estiradas, en las cuales el Sol no ocupa una posición central.
La cuestión queda perfectamente clara luego de estudiar matemáticamente el problema. Pero sólo algunos de los aficionados al estudio del cielo poseen los conocimientos de matemática superior necesarios para afectar dicho análisis. Intentaremos hacer comprensible la validez de las leyes de Kepler para aquellos lectores que sólo conocen las matemáticas elementales.
Figura 87. La fuerza de atracción del planeta por el Sol aumenta con la disminución de la distancia
Armados de un compás, una regla graduada y una hoja grande, de papel, vamos a construir nosotros mismos las órbitas de los planetas y a comprobar así gráficamente que esas trayectorias resultan tal como deben ser, de acuerdo con las leyes de Kepler.
El movimiento de los planetas está gobernado por la fuerza de la gravitación. Estudiemos esto. El circulito de la derecha en la figura 87 representa un Sol imaginario; a la izquierda de él está un planeta también imaginario. La distancia entre ambos, que suponemos de 1.000.000 km, está representada en el dibujo por 5 cm; la escala es, pues, de 200.000 km por 1 cm.
La flecha de 0,5 cm de longitud representa la fuerza con que el Sol atrae a nuestro planeta (figura 87). Supongamos que bajo la acción de esta fuerza, el planeta se acerca al Sol, y se encuentra á 900.000 km de distancia de él, es decir, 4,5 cm en nuestro dibujo.
Se intensifica entonces la atracción del planeta por el Sol, de acuerdo con las leyes de la gravitación, en:
(10/9)2
o sea, 1,2 veces. Si antes se representaba la atracción con una flecha de 1 unidad de longitud, ahora deberá darse a la flecha una longitud de 1,2 unidades. Cuando la distancia disminuye a 800.000 km, es decir, a 4 cm en nuestro dibujo, la fuerza de la atracción crece
(5/4)2
es decir, 1,6 veces y se representa con una flecha de 1,6 unidades. Para posteriores aproximaciones del planeta al Sol, hasta las distancias de 700, 600 y 500 mil kilómetros, la fuerza de atracción se representará respectivamente con flechas de 2, de 2,8 y de 4 unidades de longitud.
Se puede suponer que las flechas representan no sólo las fuerzas de atracción, sino también los desplazamientos que el cuerpo sufre bajo la influencia de estas fuerzas, en la unidad de tiempo (en este caso los desplazamientos son proporcionales a las aceleraciones, y por consiguiente, también a las fuerzas). En nuestras construcciones posteriores vamos a utilizar este esquema como patrón de los desplazamientos del planeta.
Figura 88. Cómo hace el Sol S que el camino WKPR del planeta, sea curvo
Procedamos ahora a la construcción de la trayectoria de un planeta que gira alrededor del Sol. Supongamos que se trata de un planeta de la misma masa que el anteriormente considerado, que se mueve en la dirección WK con velocidad de 2 unidades de longitud y se encuentra en el punto K, a 800.000 km de distancia del Sol (figura 88).
A esta distancia la atracción del Sol actuará sobre el planeta con una fuerza tal, que lo obligará a desplazarse en una unidad de tiempo en dirección al Sol 1,6 unidades de longitud; en el mismo espacio de tiempo el planeta se adelanta 2 unidades en la dirección original WK. Como resultado de ambos movimientos se desplazará según la diagonal KP del paralelogramo construido con los desplazamientos K1 y K2, diagonal que es igual a 3 unidades de longitud (figura 88).
Encontrándose en el punto P, el planeta tratará de moverse más lejos en la dirección KP con una velocidad de 3 unidades.
Pero al mismo tiempo, por efecto de la atracción del Sol a la distancia SP = 5,8, deberá efectuar en la dirección SP el camino P4 = 3. Como resultado, recorre la diagonal PR del paralelogramo.
Figura 89. El Sol desvía al planeta P de su trayectoria recta original y lo obliga a describir una línea curva
No nos detendremos en llevar más adelante la construcción en el mismo dibujo: la escala es demasiado grande. Se comprende que cuanto menor es la escala, tanto mayor es la parte de la trayectoria del planeta que se puede representar en el esquema y tanto menor la variación brusca de los ángulos que alteran el parecido de nuestro esquema con la trayectoria real del planeta.
En la figura 89 se muestra el mismo esquema, con una escala mucho menor, para el caso imaginario del encuentro del Sol con un cuerpo celeste de masa igual a la del planeta considerado antes. Se ve claramente que el Sol desvía al planeta extraño de su trayectoria inicial y lo obliga a seguir la curva P-I-II-III-IV-V. Los ángulos de la trayectoria trazada aquí no son tan bruscos y no resulta difícil unir las posiciones sucesivas del planeta, mediante una línea curva suave.
¿Qué curva es ésta? La geometría nos ayuda a contestar esta pregunta. Pongamos sobre el dibujo (figura 89) una hoja de papel transparente y calquemos en ella seis puntos, elegidos arbitrariamente, del camino del planeta.
Figura 90. Demostración geométrica de que los planetas se mueven alrededor del Sol, siguiendo una sección cónica. (Detalles en el texto)
Numeramos los seis puntos elegidos (figura 90) en cualquier orden y los unimos entre sí en ese mismo orden con segmentos rectos. Nos resultará una figura hexagonal inscrita en el camino del planeta, algunos de cuyos lados se cruzan.
Prolonguemos ahora la recta 1-2 hasta la intersección con la línea 4-5 en el punto I. Del mismo modo, tendremos el punto II en la intersección de las rectas 2-3 y 5-6, y después el punto III en las intersecciones 3-4 y 1-6. Si la curva examinada es una de las llamadas “secciones cónicas”, es decir, una elipse, una parábola o una hipérbola, los tres puntos I, II y III deben estar en línea recta. Este teorema geométrico se denomina “hexágono de Pascal”.
Con una ejecución cuidadosa del dibujo, los puntos de intersección indicados quedan siempre en línea recta. Esto demuestra que la curva examinada es una elipse, una parábola o una hipérbola. La curva de la figura 89, evidentemente, no puede ser una elipse (la curva no es cerrada), y esto quiere decir que el planeta se movería en tal caso por una parábola o por una hipérbola.
La relación entre la velocidad inicial y la fuerza de la atracción es tal que el Sol sólo desvía al planeta de su trayectoria en línea recta, pero no es capaz de hacerlo girar a su alrededor, dicho de otro modo, no es capaz de “prenderlo”, como dicen los astrónomos.
Intentemos ahora aclarar por un procedimiento similar la segunda ley del movimiento de los planetas, la llamada ley de las áreas. Examinemos atentamente la figura 21 (Ver capítulo 1. “14. Si la trayectoria de la Tierra fuera más pronunciada”). Doce puntos marcados en ella la dividen en doce partes de diferente longitud, pero ya sabemos que el planeta las recorre en tiempos iguales.
Uniendo los puntos 1, 2, 3, etc. con el Sol, se obtienen 12 figuras cuyas superficies son aproximadamente iguales a las de los triángulos que resultan si se unen esos puntos con cuerdas. Midiendo las bases y las alturas, puedes calcular las áreas. Comprobarás que todos los triángulos tienen la misma área. En otras palabras, has verificado la segunda ley de Kepler:
“Los radios vectores de las órbitas de los planetas barren áreas iguales en períodos de tiempo iguales.”
Así, pues, el compás, hasta cierto punto, ayuda a comprender las dos primeras leyes de los movimientos de los planetas. Para aclarar la tercera ley cambiemos el compás por la pluma y efectuemos algunos ejercicios numéricos.
4. La caída de los planetas en el Sol
¿Te has puesto a pensar alguna vez en lo que sucedería con nuestra Tierra si al encontrarse con un obstáculo repentinamente se detuviera en su camino alrededor del Sol?
Ante todo, naturalmente, la gigantesca reserva de energía latente en nuestro planeta como cuerpo en movimiento se transformaría en calor y encendería el globo terrestre.
La Tierra se mueve sobre su órbita decenas de veces más veloz que una bala, y fácilmente se puede calcular que la transformación de la energía de este movimiento en calor produciría una extraordinaria elevación de temperatura que instantáneamente transformaría nuestro mundo en una nube gigantesca de gases incandescentes…
Pero aun si la Tierra en su detención brusca escapara a este destino, estaría igualmente condenada a una catástrofe ígnea; atraída por el Sol, se dirigiría hacia él con una velocidad creciente y perecería en un abrazo de fuego.
Esta fatal caída empezaría lentamente, con velocidad de tortuga; en el primer segundo la Tierra se aproximaría al Sol sólo 3 mm. Pero, en cada segundo, la velocidad crecería progresivamente y alcanzaría en el último segundo 600 km. Con esta inconcebible velocidad se precipitaría el globo terrestre sobre la superficie incandescente del Sol.
Es interesante calcular cuánto tiempo duraría este vuelo fatal. ¿Se prolongaría mucho la agonía de nuestro mundo? La tercera ley de Kepler nos ayuda a efectuar este cálculo; dicha ley se refiere al movimiento no sólo de los planetas, sino también de los cometas y de todos los cuerpos celestes que se mueven en el espacio sometidos a la gravitación universal. Esta ley relaciona el período de revolución de un planeta (su “año”) con su distancia al Sol, y dice:
“Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas se relacionan entre sí como los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas.”
En nuestro caso podemos comparar el globo terrestre volando en línea recta hacia el Sol con un cometa imaginario que se mueve por efecto de la gravitación según una elipse ceñida y muy aplastada, cuyos puntos extremos están situados: uno, en la órbita de la Tierra, y el otro, en el centro del Sol. El semieje mayor de la órbita de este cometa, evidentemente, es igual a la mitad del semieje mayor de la órbita de la Tierra. Calculemos cuál debe ser el período de revolución de este cometa imaginario.
Formemos la proporción, basados en la tercera ley de Kepler
El período de revolución de la Tierra es igual a 365 días; tomemos el semieje mayor de su órbita igual a la unidad y entonces el semieje mayor de la órbita del cometa será igual a 0,5.
Nuestra proporción toma ahora la siguiente forma:
3652/(período de revolución del cometa)2 = 1/(0,5)3
de donde:
(período de revolución del cometa)2 = 3652 x (0,5)3 = 3652 x 1/8
Por consiguiente,
(período de revolución del cometa) = 365 × 1/81/2 = 365/81/2
Nos interesa propiamente no el período entero de revolución de este cometa imaginario, sino la mitad de su período, es decir, la duración del vuelo en un sentido: de la órbita de la Tierra hasta el Sol. Éste será el tiempo de duración de la caída de la Tierra en el Sol que buscamos. Calculémoslo
Por lo tanto, para saber en cuánto tiempo la Tierra caería en el Sol es necesario dividir la duración del año por raíz cuadrada de 32, o sea, por 5,65. Esta operación da, en números redondos, 65 días.
Así, pues, hemos calculado que la Tierra, súbitamente detenida en su movimiento por su órbita, caería en el Sol al cabo de algo más de dos meses.
Es fácil comprender que la sencilla fórmula obtenida más arriba, basándonos en la tercera ley de Kepler, no solo se aplica a la Tierra, sino a cualquier otro planeta y aun a cada uno de los satélites. En otras palabras, que para saber en cuánto tiempo caería un planeta o un satélite sobre su astro central es necesario dividir su período de revolución por raíz cuadrada de 32, o sea, por 5,65.
Así, por ejemplo, Mercurio, el planeta más próximo al Sol caería en el Sol en 15½ días Neptuno, cuyo “año” es igual a 165 años terrestres, caería en el Sol en 29 años, y Plutón, en 44 años.
¿En cuánto tiempo caería sobre la Tierra la Luna si detuviera bruscamente su carrera?
Dividamos el tiempo de revolución de la Luna, 27,3 días, por 5,6, y nos da, casi exactamente, 5 días. Y no sólo la Luna, sino cualquier otro cuerpo que se encontrara a la misma distancia de nosotros que la Luna caería en la Tierra al cabo de 5 días, siempre que no poseyera ninguna velocidad inicial y sólo estuviera sometido a la influencia de la atracción terrestre (despreciamos la influencia del Sol, para simplificar). Utilizando la misma fórmula, es fácil calcular el tiempo que duraría el viaje a la Luna de que habla Julio Verne en su novela De la Tierra a la Luna[112]
5. El yunque de Vulcano
La fórmula indicada nos permitirá resolver un curioso problema mitológico: El antiguo mito griego de Vulcano nos cuenta que dicho dios dejó caer cierta vez su yunque y que éste cayó desde el cielo durante 9 días seguidos antes de llegar a la Tierra. A juicio de los griegos, este plazo correspondía a la gran altura del cielo en que moraban sus dioses; pues de la cúspide de la pirámide de Keops, el yunque habría caído a la Tierra en sólo 5 segundos.
Es fácil ver, sin embargo, que el espacio celeste de los antiguos griegos, si se le mide de acuerdo con ese dato, era un tanto reducido en comparación con los conocimientos actuales.
Sabemos que la Luna caería en la Tierra al cabo de 5 días y que el yunque mítico cayó en 9 días. Esto quiere decir que el “cielo” desde el cual cayó el yunque se encuentra más allá de la órbita de la Luna. ¿Estará muy lejos? Si multiplicamos 9 días por raíz cuadrada de 32, sabremos el período de tiempo en que el yunque daría una vuelta alrededor del globo terrestre, como si fuera un satélite de nuestro planeta: 9 × 5,6 = 51 días.
Apliquemos ahora a la Luna y a nuestro yunque-satélite imaginario la tercera ley de Kepler.
Planteemos la proporción:
Sustituyendo por los valores correspondientes, tenemos
En donde es fácil calcular la distancia desconocida del yunque a la Tierra:
El cálculo, da el siguiente resultado:
580.000 km.
Vemos, pues, cuán pequeña sería, a juicio de un astrónomo contemporáneo, la distancia a que se encontraba el cielo de los antiguos griegos: en total, una vez y media la distancia que nos separa de la Luna. El mundo de los antiguos terminaba donde, según las ideas actuales; apenas si empieza.
6. Los límites del sistema solar
La tercera ley de Kepler da también la posibilidad de calcular a qué distancia está la frontera de nuestro sistema solar, si se toman como límites de éste los puntos más alejados (afelios) de las órbitas de los cometas. Ya hemos hablado antes sobre esto; ahora haremos el cálculo correspondiente. En el capítulo Tercero hablamos de los cometas que tienen un período de revolución muy largo: 776 años. Calculemos la distancia x del afelio de uno de esos cometas, sabiendo que su distancia menor al Sol, el perihelio, es igual a 1.800.000 km.
Tomemos en calidad de segundo astro a la Tierra y hagamos la siguiente proporción:
de donde:
y por consiguiente
x = 25.318.000.000 km
Vemos que el cometa alcanza una distancia 182 veces mayor que la de la Tierra al Sol, o sea, que llega cuatro veces y media más lejos que el más distante de los planetas conocidos por nosotros, que es Plutón.
7. Un error en una novela de Julio Verne
El cometa imaginario “Galia”, en el que Julio Verne desarrolla la acción de su novela Héctor Servadac, da una vuelta completa alrededor del Sol exactamente en dos años[113]. Otra indicación que se encuentra en la novela es la distancia del afelio de este cometa, 820 millones de kilómetros del Sol. Aunque la distancia del perihelio no se indica en la novela, con estos dos datos podemos afirmar que tal cometa no puede existir en nuestro sistema planetario. Esto lo prueba un sencillo cálculo hecho de acuerdo con la tercera ley de Kepler.
Llamemos x a la distancia desconocida del perihelio en millones de km. El eje mayor de la órbita del cometa será x + 820 millones de km, y el semieje mayor
(x + 820)/2
millones de km. Comparando el período de revolución y la distancia del cometa con el período y la distancia de la Tierra, tenemos, de acuerdo con la ley de Kepler
de donde:
x = -343
Un resultado negativo para la magnitud de la menor distancia del cometa al Sol indica que hay alguna discordancia en los datos iniciales del problema. En otras palabras, un cometa con un período de revolución tan corto, 2 años, no podría, alejarse tanto del Sol como se indica en la novela de Julio Verne.
8. ¿Cómo fue pesada la Tierra?
Se cuenta humorísticamente el caso de un hombre ingenuo que se admiraba, más que de ningún otro conocimiento astronómico, de que los sabios supieran cómo se llaman las estrellas. Hablando en serio, la más sorprendente conquista de los astrónomos parecería ser que hayan podido pesar la Tierra y los lejanos astros del cielo. En realidad, ¿de qué manera, en qué balanza pesaron la Tierra y los demás astros?
Empecemos con el peso de la Tierra. Ante todo, digamos qué debe entenderse con la expresión “peso de la esfera terrestre”. Llamamos peso de un cuerpo a la presión que ejerce sobre su apoyo o a la tensión que ejerce en el punto de que está suspendido. Pero ni uno ni otro de estos conceptos es aplicable al globo terrestre; la Tierra no se apoya en nada ni está suspendida de nada. Es tanto como decir que, en este sentido, la esfera terrestre no tiene peso.
Figura 91. ¿En qué balanza se pudo pesar la Tierra?
¿Qué determinaron, pues, los hombres de ciencia “al pesar” la Tierra? Determinaron su masa. En realidad, cuando nosotros pedimos pesar en el almacén 1 kg de azúcar, en nada nos interesa la fuerza con que el azúcar presiona sobre el platillo o tira del resorte.
Del azúcar nos interesa otra cosa: pensamos solamente en cuántos vasos de té podemos beber con ese azúcar; en otras palabras, nos interesa la cantidad de materia que contiene.
Pero para medir la cantidad de materia hay un único procedimiento: determinar la fuerza con que el cuerpo es atraído por la Tierra. Aceptamos que pesos iguales corresponden a cantidades iguales de materia y juzgamos la masa de un cuerpo sólo por la fuerza con que es atraído, ya que la atracción es proporcional a la masa.
Volviendo al peso de la Tierra diremos que se determina su “peso” cuando se logra conocer su masa es decir; el problema de la determinación del peso de la Tierra hay que entenderlo como el problema del cálculo de su masa.
Figura 92. Uno de los procedimientos para la determinación de la masa de la Tierra: la balanza de Jolly
Describamos uno de los procedimientos para resolverlo (método de Jolly, 1871). En la figura 92 se ve una balanza de platillos muy sensible, en la que, de cada uno de los extremos de la cruz, están colgados dos platillos livianos, uno superior y otro inferior. La distancia del superior al inferior es de 20 a 25 cm. En el platillo inferior derecho colocamos una carga esférica de masa m1. Para equilibrarla, en el platillo superior izquierdo colocamos una carga m2. Estas cargas no son iguales, ya que, encontrándose a distinta altura, son atraídas por la Tierra con distinta fuerza.
Si debajo del platillo inferior derecho colocamos una esfera grande de plomo de masa M, entonces el equilibrio de los pesos se altera, ya que la masa m1 será atraída por la masa M de la esfera de plomo con la fuerza F proporcional al producto de estas masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d que separa sus centros
en donde k es la llamada constante de gravitación.
Para restablecer el equilibrio alterado, colocamos en el platillo superior izquierdo de la balanza una pequeña carga de masa n. La fuerza con que ella presiona sobre el platillo de la balanza, es igual a su peso, es decir, es igual a la fuerza de atracción que ejerce sobre esta carga la masa toda de la Tierra. Esta fuerza F’ es igual a
F' = k x nMT/R2
donde MT es la masa de la Tierra y R su radio.
Despreciando la ínfima influencia que la presencia de la esfera de plomo ejerce sobre las cargas que se encuentran en el platillo superior izquierdo, podemos escribir la ecuación de equilibrio en la forma siguiente:
En esta relación se pueden medir todas las magnitudes, con excepción de la masa de la Tierra, MT. Esto permite determinar MT. En una de las experiencias realizadas se tuvo:
M = 5775,2 kg,
R = 6366 km,
d =56,86 cm,
m = 5000 kg
n = 589 mg
Y, finalmente, la masa de la Tierra resultó ser igual a 6,15 × 1027 g. La masa de la Tierra, según numerosos cálculos recientes, basados en un gran numero de mediciones, es: MT = 5,974 × 1027g, es decir, cerca de 6000 trillones de toneladas. El error posible de estos cálculos no es mayor de 0,1%.
Así determinaron los astrónomos la masa del globo terrestre. Tenemos pleno derecho a decir que pesaron la Tierra, pues cada vez que pesamos un cuerpo en la balanza de brazos, en realidad no determinamos su peso ni la fuerza con que es atraído por la Tierra, sino su masa: comprobamos solamente qué masa del cuerpo es igual a la masa de las pesas.
9. ¿Cuál es la composición del interior de la Tierra?
Aquí es oportuno señalar un error que se suele encontrar en libros y artículos de divulgación.
Tratando de simplificar la cuestión, los autores exponen el problema del peso de la Tierra de este modo: los sabios determinaron el peso medio de 1 cm3 de nuestro planeta (es decir, su peso específico) y, tras haber calculado geométricamente su volumen, determinaron el peso de la Tierra multiplicando su peso específico por su volumen.
El camino indicado, sin embargo, es irrealizable no se puede medir directamente el peso específico de la Tierra, ya que solo podemos acceder a su parte externa, su capa superficial[114], relativamente delgada, y nada sabemos de los materiales que constituyen la parte restante de su volumen, que corresponde a una fracción mucho mayor.
Y sabemos que el problema se resolvió a la inversa: se determinó primero la masa del globo terrestre y luego su densidad media. Ésta resultó igual a 5,5 g por cm3, valor superior al de la densidad media de las rocas que forman la corteza terrestre, lo cual prueba que en las profundidades del globo terrestre yacen materiales muy pesados. Antes se pensaba, con base en un peso específico supuesto y en otros factores, que el núcleo de nuestro planeta estaba constituido por hierro fuertemente condensado por la presión de la masa que está encima. Actualmente se supone que, en líneas generales, la parte central de la Tierra no se distingue de la corteza por su composición, pero que su densidad es mayor a consecuencia de la gigantesca presión que soporta.
10. El peso del Sol y el de la Luna
Aunque parezca extraño, el peso del lejano Sol resulta mucho más fácil de determinar que el de nuestra vecina la Luna. (Se entiende que tomamos en el mismo sentido convencional la palabra “peso”, en relación con estos astros, que para la Tierra: se trata de la determinación de la masa.)
La masa del Sol se determinó mediante el siguiente razonamiento.
La experiencia prueba que 1 g atrae 1 g a la distancia de 1 cm con una fuerza igual a 1/15.000.000 dinas.
La atracción mutua f de los dos cuerpos de masa M y m a la distancia D, de acuerdo con la ley de la atracción universal, se expresa así
Si M es la masa del Sol (en gramos), m la masa de la Tierra (en gramos), D la distancia entre ambos (en centímetros), igual a
Por otra parte, esta fuerza de atracción es la fuerza centrípeta que mantiene a nuestro planeta en su órbita, la cual, de acuerdo con las reglas de la mecánica, es igual a
mv2/D
donde m es la masa de la Tierra (en gramos), v su velocidad circular (igual a 30 km/s = 3.000.000 cm/s) y D la distancia de la Tierra al Sol. Por consiguiente,
De esta ecuación resulta, para la incógnita M (expresada, como se dijo, en gramos:
M = 2 · 1033 gms = 2 × 1027 toneladas
Dividiendo esta masa por la masa del globo terrestre, es decir, calculando
2 × 1027 / 6 × 1021 = 1.000.000 / 3
o sea, que la masa del Sol es unas 330.000 veces mayor que la de la Tierra.
Otro procedimiento para la determinación de la masa del Sol está basado en la utilización de la tercera ley de Kepler.
De la ley de la gravitación universal, se deduce la tercera ley en la forma siguiente
en donde MS es la masa del Sol, T el período de revolución sinódica[115]del planeta, a la distancia media del planeta al Sol, a2 la distancia media del satélite al planeta, m1 la masa del planeta y m2 la masa del satélite del planeta. Aplicando esta ley a la Tierra y a la Luna, tenemos:
Sustituyendo aT, aL, TT y TL, por sus valores, deducidos de observaciones, y despreciando, para una primera aproximación en el numerador la masa de la Tierra (pequeña si se compara con la masa del Sol) y en el denominador la masa de la Luna (pequeña comparada con la masa de la tierra), resulta:
Ms/mT = 33.000
Sabiendo la masa de la Tierra, deducimos la masa del Sol. Así, pues, el Sol es un tercio de millón de veces más pesado que la Tierra. Es fácil calcular también la densidad media del globo solar: para esto basta dividir su masa por, su volumen. Resulta que la densidad del Sol es, aproximadamente, cuatro veces menor que la de la Tierra[116]
Por lo que se refiere a la masa de la Luna, como dijo un astrónomo, “aunque está tan cerca de nosotros, más que todos los demás cuerpos celestes, es más difícil pesarla que pesar a Neptuno, el más alejado (en aquel entonces) de los planetas”. La Luna no tiene satélite que ayude a calcular su masa, como acabamos de calcular la masa del Sol. Los hombres de ciencia tuvieron que acudir a otros métodos mucho más complejos, de los cuales citaremos uno solo. Se reduce a la comparación de la altura de las mareas producidas por el Sol con la de las mareas producidas por la Luna.
La altura de las mareas depende de la masa y de la distancia del cuerpo que las produce, y como la masa y la distancia del Sol son conocidas y la distancia de la Luna también, por la comparación de las alturas de las mareas se determina la masa de la Luna. Ya volveremos a este cálculo cuando hablemos de las mareas. Ahora damos solamente el resultado final.
Figura 93. La Tierra “pesa” 81 veces más que la Luna
La masa de la Luna es 1/81 de la masa de la Tierra (figura 93). Sabiendo el diámetro de la Luna, calculamos su volumen: resulta ser 49 veces menor que el volumen de la Tierra.
De acuerdo con esto, la densidad media de nuestro satélite es 49/81 = 0,6 de la densidad de la Tierra.
Lo cual quiere decir que la Luna está constituida en conjunto por una materia más liviana que la de la Tierra, pero mucho más densa que la del Sol. Luego veremos que la densidad media de la Luna es superior a la densidad media de la mayoría de los planetas.