Astronomía recreativa
Capítulo 5. La gravitación » Contenido:
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El procedimiento seguido para determinar el “peso” del Sol es aplicable a la determinación del peso de cualquier planeta que tenga por lo menos un satélite.
Sabiendo la velocidad media v del movimiento del satélite por su órbita y su distancia media D al planeta, igualamos la fuerza centrípeta que mantiene al planeta en su órbita,
con la fuerza de la atracción mutua del satélite y el planeta, es, decir
expresión en la que k es la fuerza de atracción de 1 gr a 1 gr a la distancia de 1 cm, m es la masa del satélite y M la masa del planeta:
de donde
M = Dv2/k
fórmula con la cual es fácil calcular la masa M del planeta.
La tercera ley de Kepler, aplica a este caso, nos da
Y de aquí, despreciando en los paréntesis los sumandos pequeños, obtenemos la relación de la masa del Sol a la masa del planeta MS/mp. Conociendo la masa del Sol, se puede determinar fácilmente la masa del planeta.
Un cálculo semejante es aplicable a las estrellas dobles, con la única diferencia de que entonces, como resultado del cálculo, no se obtiene por separado la masa de cada estrella del par dado, sino la suma de sus masas.
Mucho más difícil es determinar la masa de los satélites de los planetas y, también, la masa de los planetas que no tienen satélites.
Por ejemplo, las masas de Mercurio y de Venus se calcularon partiendo de la influencia perturbadora que ejercen uno sobre otro, sobre la Tierra y sobre el movimiento de unos cometas.
Para los asteroides, cuyas masas son tan pequeñas que no ejercen unas sobre otras, ninguna influencia perturbadora notable, el problema de la determinación de la masa, en general, sigue sin resolver. Sólo se conoce de forma incierta, el límite superior de la masa total de todos estos minúsculos planetas.
Por la masa y el volumen de los planetas es fácil calcular su densidad media. Los resultados se dan en la tabla siguiente:
La tabla nos dice que la Tierra y Mercurio son los planetas más densos de nuestro sistema[117].
Las reducidas densidades medias de los planetas mayores se explican porque el núcleo central sólido de cada planeta mayor está cubierto por una atmósfera gigantesca que es de masa pequeña, pero que aumenta mucho el volumen del planeta.
12. La gravedad en la Luna y en los planetas
Las personas poco conocedoras de la astronomía manifiestan a menudo asombro porque los hombres de ciencia que no han visitado la Luna y los planetas, hablan en tono seguro sobre la fuerza de la gravedad existente en sus superficies. Es muy fácil, no obstante, calcular cuántos kilogramos deberá pesar una pesa transportada a otro astro. Para esto sólo se necesita conocer el radio y la masa del cuerpo celeste.
Figura 94. Lo que pesaría un hombre en los distintos planetas[118]
Determinemos, por ejemplo, la intensidad de la gravedad en la Luna. La masa de la Luna, como sabemos, es 81 veces menor que la masa de la Tierra. Si la Tierra poseyera una masa tan pequeña, la tensión de la fuerza de la gravedad en su superficie sería 81 veces menor que la actual. Pero, de acuerdo con la ley de Newton, una esfera atrae como si toda su masa estuviera concentrada en su centro.
El centro de la Tierra dista de su superficie un radio terrestre; el centro de la Luna dista de su propia superficie un radio lunar[119]. Pero el radio lunar constituye los 27/100 del terrestre, y por la disminución de la distancia 27/100 veces, la fuerza de atracción se aumenta (100/27)2 veces. Esto significa, en resumen, que la fuerza de atracción en la superficie de la Luna es de la terrestre
Así, una pesa de 1 kg transportada a la superficie de la Luna no pesaría allí más que 1 de kg, pero, naturalmente, la disminución del peso sólo podría ponerse de manifiesto mediante una balanza de resorte (figura 94), y no con una de brazos.
Una curiosidad interesante es que, si en la Luna hubiera agua, un nadador se sentiría en el agua de la Luna igual que en la Tierra. Su peso disminuiría seis veces. Pero como también disminuiría igual número de veces él peso del agua desplazada por él, la relación entre estos pesos sería la misma que en la Tierra y el nadador se sumergiría en el agua lunar lo mismo que en el agua terrestre.
En cambio, el esfuerzo para elevarse sobre el agua le daría en la Luna un resultado mucho mayor; como el peso del cuerpo del nadador disminuye, puede ser levantado con un menor esfuerzo de los músculos.
A continuación se da una tabla del valor de la gravedad en los distintos planetas, en comparación con la Tierra[120]
Como indica la tabla, la Tierra ocupa en lo tocante a gravedad el cuarto lugar en el sistema solar, después de Júpiter, Neptuno y Saturno[121].
13. Gravedad “record”
La gravedad alcanza su mayor valor en la superficie de aquellas “enanas blancas”, del tipo de Sirio B, de que hablamos en el capítulo 4. Se comprende fácilmente que la gigantesca masa de estos astros, en relación con su pequeño radio, debe determinar una fuerza de atracción sumamente intensa en sus superficies.
Hagamos el cálculo para la estrella de la constelación de Casiopea cuya masa es 2,8 veces mayor que la masa de nuestro Sol y cuyo radio es dos veces menor que el radio de la Tierra. Recordando que la masa del Sol es 330.000 veces mayor que la de la Tierra, deducimos que la fuerza de la gravedad en la superficie de la estrella mencionada supera la de la Tierra en
2,8 × 330.000 × 22 = =3.700.000 veces
1 cm3 de agua, que pesa en la Tierra 1 g, pesaría en la superficie de esta estrella casi 3¾ toneladas (!); 1 cm3 de materia de la misma estrella (que es 36.000.000 de veces más densa que el agua) debe tener, en ese asombroso mundo, el peso excepcional de
3.700.000 × 36.000.000 = 133.200.000.000.000 g.
Una pizca de materia que pesa más de cien millones de toneladas; he aquí una curiosidad sobre cuya existencia en el universo no pensaban hasta hace poco ni los más audaces fantaseadores.
14. La gravedad en el interior de los planetas
¿Cómo variaría el peso de un cuerpo si fuera transportado a las profundidades de un planeta, por ejemplo, al fondo de una mina de extraordinaria profundidad?
Muchos creen erróneamente que en el fondo de esta mina el cuerpo debería hacerse más pesado, pues está más cerca del centro del planeta, es decir, del punto hacia el cual son atraídos todos los cuerpos. Este razonamiento, sin embargo, no es correcto: la fuerza de atracción hacia el centro del planeta no crece con la profundidad, sino que, a la inversa, disminuye. En mi Física recreativa, podrá encontrar el lector una explicación de este fenómeno, al alcance de todos. Para no repetir lo allí dicho, me limitaré a indicar lo que sigue.
En mecánica se demuestra que un cuerpo situado en la cavidad de una capa esférica homogénea está totalmente desprovisto de peso (figura 95). De donde se deduce que un cuerpo que se encuentra dentro de una esfera maciza y homogénea, sólo está sujeto a la atracción de la porción de materia comprendida en la esfera de radio igual a la distancia del cuerpo al centro (figura 96).
Apoyándose en esto, es fácil deducir la ley según la cual varía el peso de un cuerpo a medida que se aproxima al centro del planeta. Llamemos R al radio del planeta (figura 97); y r a la distancia del cuerpo al centro del planeta. La fuerza de atracción del cuerpo en este punto deberá crecer:
(R/r)2 veces
y al mismo tiempo disminuir
(R/r)3 veces
ya que la parte del planeta que ejerce atracción disminuye este número de veces (R), es decir, r veces. En conclusión, la fuerza de atracción deberá disminuir
(R/r)3 / (R/r)2
es decir,
(R/r) veces
Esto significa que en el interior de los planetas el peso de un cuerpo debe disminuir tantas veces cuantas disminuya su distancia al centro. Para un planeta de las dimensiones de la Tierra, que tiene un radio de 6400 km, un descenso de 3200 km debe acompañarse de una reducción del peso a la mitad; un descenso de 5600 km, de una reducción del peso igual a
6400/(6400 - 5600)
es decir, ocho veces.
En el centro mismo del planeta, el cuerpo debería perder su peso por completo, ya que
6400/(6400-6400) = ∞
Por otra parte, este resultado era de prever sin necesidad de cálculo, puesto que en el centro del planeta el cuerpo es atraído en todos los sentidos con la misma fuerza, por la materia que lo rodea.
Los razonamientos anteriores se refieren a un planeta imaginario homogéneo en cuanto a densidad. A los planetas verdaderos sólo se pueden aplicar con reserva. En particular, para el globo terrestre, cuya densidad en las capas profundas es mayor que cerca de la superficie, la ley de la variación de la gravedad con la aproximación al centro se aparta algo de lo que acabamos de decir: hasta cierta profundidad (relativamente no muy grande), la atracción crece, y sólo para las profundidades siguientes empieza a disminuir.
15. El problema del barco
Pregunta
¿Cuándo pesa menos un barco, en una noche con Luna o en una noche sin Luna?
Solución
El problema es más complejo de lo que parece. No se puede contestar inmediatamente que en una noche con Luna el barco, como todos los objetos que se hallan en la mitad del globo terrestre iluminada por ella, debe ser menos pesado que en una noche sin Luna porque la “Luna lo atrae”. Pues, al mismo tiempo que atrae al barco, la Luna atrae también a toda la Tierra.
En el vacío, todos los cuerpos sometidos a la gravitación se mueven con la misma velocidad; la Tierra y el barco reciben por efecto de la atracción de la Luna aceleraciones iguales, y no debería manifestarse una disminución del peso del barco. Y, sin embargo, el barco iluminado por la Luna es más liviano que en una noche sin Luna.
Expliquemos por qué. Sea O (figura 98) el centro del globo terrestre, A y B el barco en puntos diametralmente opuestos de la esfera, r el radio de la esfera y D la distancia del centro L de la Luna al centro O del globo terrestre.
Llamaremos M a la masa de la Luna y m a la masa del barco. Para simplificar el cálculo, tomemos los puntos A y B de modo que la Luna se encuentre para ellos, respectivamente, en el cenit y en el nadir.
Figura 98. El efecto de la atracción lunar sobre las partículas del globo terrestre
La fuerza con que la Luna atrae al barco en el punto A (es decir, en una noche con Luna) es igual a
donde
k = 1/15.000.000
En el punto B (en una noche sin Luna), el mismo barco es atraído por la Luna con la fuerza
la diferencia de ambas atracciones es igual a
Como (r/D)2 = (1/60)2 es una magnitud muy pequeña, se puede despreciar. De este modo, la expresión se simplifica mucho y toma la forma
que transformamos así:
¿Qué representa?
Se comprende fácilmente que es la fuerza con que la Luna atrae al barco a la distancia D de su centro.
En la superficie de la Luna, el barco cuya masa es igual a m pesa m/6
A la distancia D de la Luna, es atraído por ésta con la fuerza m/6D2. Como D = 220 radios lunares, se tiene que
Volviendo ahora al cálculo de la diferencia de las atracciones, tenemos
Si el peso del barco es de 45.000 toneladas, la diferencia entre el peso de una noche con Luna y el de una noche sin Luna es igual a
45.000.000 / 4.500.000 = 10 kg
Resulta, pues, que en una noche con Luna el barco pesa menos que en una noche sin Luna, aunque una cantidad insignificante.
16. Las mareas lunares y solares
El problema que acabamos de examinar nos ayuda a comprender la causa fundamental de las mareas. No se debe pensar que la ola de la marea se eleva simplemente porque la Luna o el Sol atraen directamente al agua. Ya hemos explicado que la Luna atrae no sólo lo que se encuentra sobre la superficie de la Tierra, sino toda la esfera terrestre.
Lo cierto es, sin embargo, que el astro que ejerce la atracción está más lejos del centro de la Tierra que de las partículas de agua que se hallan en la cara de la Tierra que mira hacia la Luna. La diferencia entre las fuerzas de atracción se calcula del misma modo que calculamos antes la diferencia entre las fuerzas de atracción en el caso del barco.
En un punto en cuyo cenit está la Luna cada kilogramo de agua es atraído por ella con
más fuerza que un kilogramo de materia en el centro de la Tierra, y el agua situada en un punto diametralmente opuesto de la Tierra, con tanta menos fuerza.
Como consecuencia de esta diferencia el agua se eleva en ambos casos sobre la superficie sólida de la Tierra: en el primero, porque el agua se desplaza más hacia la Luna que la parte sólida del globo terrestre; en el segundo, porque la parte sólida de la Tierra se desplaza hacia la Luna más que el agua[122]
Una acción parecida ejerce también sobre el agua del océano la atracción del Sol. Pero ¿cuál de las acciones es más fuerte: la del Sol o la de la Luna? Si se comparan sus atracciones por separado resulta que la acción del Sol es más fuerte. En efecto, la masa del Sol es 330.000 veces mayor que la masa de la Tierra; la masa de la Luna es 81 veces menor, o sea, es menor que la solar 330.000 × 81 veces. La distancia del Sol a la Tierra es igual a 23.400 radios terrestres, y la de la Luna a la Tierra, a 60 radios terrestres. Esto quiere decir que la atracción que sobre la Tierra ejerce el Sol con respecto a la atracción que ejerce la Luna es igual a
Así pues, el Sol atrae todos los objetos terrestres con fuerza 170 veces mayor que la Luna.
Se podría pensar por esto que las mareas solares son más altas que las lunares. En realidad, sin embargo, se observa lo contrario: las mareas lunares son mayores que las solares. Esto concuerda totalmente con el cálculo si se aplica la fórmula
Si llamamos MS a la masa del Sol, ML a la masa de la Luna, DS a la distancia del Sol y DL a la de la Luna, la relación entre las fuerzas del Sol y de la Luna que engendran las mareas será
Supongamos que la masa de la Luna es conocida e igual a 1/80 de la masa de la Tierra.
Sabiendo que el Sol está 400 veces más lejos que la Luna tenemos:
Lo cual significa que las mareas producidas por el Sol deben ser aproximadamente 21 veces más bajas que las lunares.
Es oportuno exponer aquí la forma en que, por comparación de las alturas de las mareas lunares y solares, fue determinada la masa de la Luna. Observar separadamente la altura de unas y otras mareas no es posible; el Sol y la Luna siempre actúan en conjunto. Pero se puede medir la altura de las mareas cuando las acciones de ambos astros se suman (es decir, cuando la Luna y el Sol están colocados en línea recta con la Tierra) y cuando dichas acciones se oponen (la recta que une al Sol con la Tierra es perpendicular a la recta que une a la Luna con la Tierra). Las observaciones mostraron que en el segundo caso las mareas son de altura igual a 0,42 de las primeras. Si la fuerza de la Luna que engendra las mareas es igual a x, y la del Sol a y, tenemos la proporción
(x + y): (x - y) = 100: 42
de donde
x: y = 71: 29
En consecuencia, aplicando la fórmula anterior, obtenemos:
Como la masa del Sol, MS = 330.000 MT, (MT es la masa de la Tierra), de la última anterior se deduce fácilmente que la masa de la Luna es 1/80 de la masa de la Tierra.
17. La Luna y el estado del tiempo
Muchas personas se interesan por el problema de saber cuál es la influencia que sobre la presión atmosférica pueden ejercer las mareas producidas por la Luna en el océano aéreo de nuestro planeta. El problema tiene una larga historia. Las mareas de la atmósfera terrestre fueron descubiertas por el gran sabio ruso N. V. Lomonósov[123], que las llamó “olas aéreas”.
Se han ocupado de estas olas muchos hombres de ciencia; sin embargo, existen ideas erróneas muy extendidas sobre el papel que desempeñan las mareas aéreas. Los no especializados creen que en la ligera y móvil atmósfera de la Tierra, la Luna provoca gigantescas olas de marea, que cambian sensiblemente la presión de la atmósfera y que, por tanto, deben tener un efecto decisivo en la meteorología.
Esta opinión es completamente errónea. Se puede demostrar teóricamente que la altura de la marea atmosférica no supera la altura de la marea en medio del océano. Esta afirmación resulta desconcertante, pues si el aire, incluso en las capas inferiores más densas, es casi mil veces más ligero que el agua, ¿cómo es posible que la atracción lunar no lo levante a una altura mil veces mayor? Sin embargo, esto no es más paradójico que las velocidades iguales con que caen en el vacío los cuerpos de pesos diferentes.
Recordemos el experimento que se hace en las escuelas con el tubo al vacío, dentro del cual una bolita de plomo cae al mismo tiempo que una pluma. El fenómeno de la marea, en fin de cuentas, viene a ser como una caída en el espacio universal del globo terrestre y sus capas más livianas por efecto de la gravitación de la Luna (y del Sol). En el vacío sideral todos los cuerpos, los pesados y los ligeros, caen con la misma velocidad, reciben de la fuerza de gravitación la misma aceleración, si son iguales sus distancias al centro de atracción.
Lo dicho nos lleva a pensar que la altura de las mareas atmosféricas deberá ser la misma que la de las mareas oceánicas lejos de las costas. En realidad, si reparamos en la fórmula que sirve para calcular la altura de las mareas, vemos que en ella figuran solamente las masas de la Luna y de la Tierra, el radio del globo terrestre y las distancias de la Tierra y de la Luna. Ni la densidad del líquido que se levanta, ni la profundidad del océano, entran en esta fórmula. Si remplazamos el océano de agua por el aire, no alteramos el resultado del cálculo y obtenemos para la marea atmosférica la misma altura que para la marea oceánica.
Sin embargo, esta última es insignificante. La altura teórica de la mayor marea en mar abierto es de medio metro aproximadamente, y sólo la configuración de las costas y del fondo, al estrechar la ola de la marea, la levantan en algunos puntos aislados hasta diez metros o más. Hay aparatos muy interesantes para la predicción de la altura de la marea, en un sitio dado y en cualquier momento, según las posiciones del Sol y de la Luna.
En el inmenso océano del aire nada puede alterar el cuadro teórico de la marea lunar y cambiar su máxima altura teórica, que es de medio metro. Una elevación tan pequeña sólo puede ejercer en la magnitud de la presión atmosférica una influencia de poca importancia.
Laplace, que se ocupó de la teoría de las mareas aéreas, llegó a la conclusión de que las oscilaciones de la presión atmosférica debidas a ellas, no deben ser mayores de 0,6 mm en la columna de mercurio, y que el viento producido por las mareas atmosféricas puede alcanzar una velocidad no mayor de 7,5 cm/s.
Resulta evidente que las mareas aéreas no pueden desempeñar ningún papel importante como factores del clima.
Estos razonamientos muestran la falta de fundamento de los intentos de los diversos “profetas de la Luna”, de predecir el tiempo por la posición de nuestro satélite en el cielo.