Cosmos
Apéndice 1
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A
P
É
N
D
I
C
E
1
LA REDUCCIÓN AL ABSURDO Y LA RAÍZ CUADRADA DE DOS
El argumento pitagórico original sobre la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 dependía de una clase de argumento llamado reducción al absurdo: suponemos de entrada la verdad de una afirmación, seguimos sus consecuencias y desembocamos en una contradicción, lo que nos permite determinar su falsedad. Tomemos un ejemplo moderno y consideremos el aforismo del gran físico del siglo veinte, Niels Bohr: «Lo contrario de cualquier gran idea es otra gran idea». Si la afirmación fuera cierta sus consecuencias podrían ser como mínimo algo peligrosas. Consideremos por ejemplo lo contrario de la Regla de Oro evangélica, o de las prescripciones contra la mentira, o del precepto «no matarás». Consideremos pues si el mismo aforismo de Bohr es en sí una gran idea. Si así es, la afirmación contraria, «lo contrario de cualquier gran idea no es una gran idea» también debe ser cierta. Hemos llegado entonces a una reducción al absurdo. Si la afirmación contraria es falsa podemos dejar de lado el aforismo porque ha confesado claramente que no es una gran idea.
Presentamos aquí una versión moderna de la demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 utilizando la reducción al absurdo y un álgebra sencilla en lugar de la demostración exclusivamente geométrica descubierta por los pitagóricos. El estilo del argumento, el modo de pensar, son por lo menos tan interesantes como la conclusión:
Consideremos un cuadrado cuyos lados tienen una longitud unidad (un centímetro, un metro, un año luz, lo que sea). La línea diagonal BC divide al cuadrado en dos triángulos, cada uno de los cuales contiene un ángulo recto. En estos triángulos rectángulos es válido el teorema de Pitágoras: 12 + 12 = x2. Pero 12 + 12 = 1 + 1 = 2, por lo tanto x2 = 2 y escribiremos x =√2, raíz cuadrada de dos. Supongamos que √2 sea un número racional:
√2 = p/q, donde
p y
q son números enteros. Pueden ser tan grandes como queramos y representar los números enteros que queramos. Podemos exigir desde luego que no tengan factores comunes. Si quisiéramos afirmar por ejemplo que √2 = 14/10, eliminaríamos el factor común 2 y escribiríamos
p = 7 y
q = 5, no
p = 14 y
q = 10. Hay que eliminar cualquier factor común de numerador y denominador antes de empezar. Tenemos para escoger un número infinito de
pes y de
qus. Si elevamos al cuadrado los dos términos de la ecuación √2 =
p/q, obtenemos 2 =
p2
/q2, y luego multiplicando ambos términos de 'la ecuación por
q2 llegamos a:
p2= 2
q2 (Ecuación 1)
Por lo tanto
p2 es algún número multiplicado por 2. Es decir que
p2 es un número par. Pero el cuadrado de cualquier número impar es también impar (12 = 1, 32 = 9, 52 = 25, 72 = 49, etc.). Por lo tanto también
p ha de ser par, y podemos escribir
p = 2
s, siendo
s algún entero. Si sustituimos este valor de
p en la ecuación (1) obtenemos:
p2= (2
s)2= 4
s2= 2
q2
Dividiendo ambos miembros de esta última igualdad por 2, obtenemos:
q2= 2
s2
Por lo tanto
q2 es también un número par y se deduce por el mismo argumento utilizado con
p que
q también es un número par. Pero si
p y
q son ambos números pares, ambos divisibles por 2, no se redujeron a su mínimo común denominador, lo cual contradice uno de nuestros supuestos. Reducción al absurdo. El argumento no puede decirnos que esté prohibido reducir los factores comunes, que 14/10 esté permitido y en cambio 7/5 no lo esté. Luego el supuesto inicial ha de ser erróneo;
p y
q no pueden ser números enteros, y √2 es irracional. De hecho √2 = 1,4142135…
¡Qué conclusión más asombrosa e inesperada! ¡Qué demostración más elegante! Sin embargo los pitagóricos se sintieron obligados a ocultar este gran descubrimiento.