Cosmos
Apéndice 2
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A
P
É
N
D
I
C
E
2
LOS CINCO SÓLIDOS PITAGÓRICOS
Un polígono (que significa en griego «de muchos ángulos») regular es una figura bidimensional con un cierto número
n de lados iguales. Si
n = 3, el polígono es un triángulo equilátero; si
n = 4 es un cuadrado; si
n = 5 es un pentágono, etc. Un poliedro (que significa en griego «de muchas caras») es una figura tridimensional cuyas caras son todas polígonos: un cubo, por ejemplo, cuyas caras son 6 cuadrados. Un poliedro simple, o sólido regular, es un poliedro sin agujeros. Un hecho fundamental en la obra de los pitagóricos y de Johannes Kepler es que sólo hay y puede haber 5 sólidos regulares. La demostración más fácil deriva de una relación descubierta mucho después por Descartes y por Leonhard Euler que relaciona el número de caras,
C, el número de aristas,
A y el número de vértices,
V, de un sólido regular
V – A +
C = 2
(Ecuación 2)
En un cubo, por ejemplo, hay 6 caras (
C= 6), y 8 vértices (
V = 8), 8 –
A + 6 = 2, 14 –
A = 2, y
A = 12; la ecuación (2) predice que el cubo tiene 12 aristas, y así es. Puede consultarse una demostración geométrica sencilla de la ecuación (2) en la obra de Courant y Robbins citada en la bibliografía. A partir de la ecuación (2) podemos demostrar que sólo hay cinco sólidos regulares.
Toda arista de un sólido regular es compartida por los lados de dos polígonos adyacentes. Imaginemos de nuevo el cubo en el cual cada arista hace de frontera entre dos cuadrados. Si contamos todos los lados de todas las caras de un poliedro,
nC, habremos contado dos veces todas las aristas. Por lo tanto,
nC = 2
A
(Ecuación 3)
Sea
r el número de aristas que convergen en cada vértice. En un cubo
r = 3. También ahora cada arista conecta dos vértices. Si contamos todos los vértices,
rV, habremos contado del mismo modo dos veces cada arista. Por lo tanto,
rV = 2
A
(Ecuación 4)
Si sustituimos los valores de
V y
C de las ecuaciones (3) y (4), en la ecuación (2) obtenemos
Si dividimos ambos términos de esta ecuación por 2A, tendremos
(Ecuación 5)
Sabemos que
n es 3 o más, porque el polígono más simple es el triángulo, con tres lados. Sabemos también que
r es 3 o más, porque en un vértice dado de un poliedro se encuentran por lo menos 3 caras. Si tanto
n como
r fueran
simultáneamente más de 3, el primer término de la ecuación (5) sería inferior a 2/3, y la ecuación no podría satisfacerse para cualquier valor positivo de
A. Por lo tanto, y gracias a otro argumento basado en la reducción al absurdo, o bien
n = 3 y
r vale 3 o más, o bien
r= 3 y
n vale 3 o más. Si
n = 3, la ecuación (5) se convierte en (1/3)+ (1/
r) = (1/2)+ (1/
A), o bien:
(Ecuación 6)
Es decir, que en este caso
r sólo puede ser igual a 3, 4 o 5. (Si
A valiese 6 o más, la ecuación no se cumpliría). Ahora bien,
n = 3,
r= 3 designa un sólido en el cual convergen en cada vértice 3 triángulos. La ecuación (6) dice que este sólido tiene 6 aristas, la ecuación (3) que tiene 4 caras, la ecuación (4) que tiene 4 vértices. Es evidente que se trata de la pirámide o tetraedro; si
n = 3,
r = 4 tenemos un sólido con 8 caras en el cual convergen en cada vértice 4 triángulos, el octaedro; y si
n = 3,
r = 5 tenemos un sólido con 20 caras y con 5 triángulos convergiendo en cada vértice, el icosaedro (véase las figuras de la página 58).
Si
r= 3, la ecuación (5) se convierte en:
y utilizando argumentos semejantes
n sólo puede ser igual a 3, 4 o 5. Si
n = 3 tenemos de nuevo el tetraedro; si
n = 4 tenemos un sólido cuyas caras son 6 cuadrados, el cubo; y si
n = 5 el sólido tiene 12 caras formadas por pentágonos, el dodecaedro (véase las figuras de la página 184).
No hay más valores enteros posibles de
n y
r, y por lo tanto sólo hay 5 sólidos regulares, conclusión deducida de la matemática más abstracta y bella, y que como hemos visto tuvo un impacto muy profundo sobre los asuntos prácticos de la humanidad.