Решение задачи 318

Условие:

Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников ABH, BCH и CAH равны.

Решение:

Пусть дан треугольник ABC, точка H -- ортоцентр. Отразим точку Н относительно стороны AС. Из задачи 276 следует, что образ будет находится на описанной окружности треугольника ABC. Обозначим образ через H'.

В силу симметрии треугольники AСH и AСH' равны, а значит и их радиусы описанных окружностей. Заметим, что у треугольников ACH' и ABC радиусы описанных окружностей совпадают, так как у них общая описанная окружность. Отсюда делаем выводы, что у треугольника ACH радиус описанной окружности совпадает с радиусом описанной окружности треугольника ABC. Аналогично доказывается, что у треугольников ABH и BCH радиусы описанных окружностей равны радиусу описанной окружности треугольника ABC. Таким образом, утверждение задачи доказано.