Решение задачи 276

Условие:

Докажите, что если отразить ортоцентр (точка пересечения высот в треугольнике) относительно стороны или середины стороны, то он попадет на описанную окружность треугольника.

Решение:

Пусть дан треугольник ABC, AF и CD -- высоты, H -- ортоцентр.

Отразим H относительно стороны AC, получим точку H'. Проведем AH' и CH'.

Сумма углов четырехугольника BDHF равна 360°, а углы BFH и BDH прямые, значит ∠B+∠DHF=180°. Углы DHF и AHC вертикальные, значит, они равны. В силу симметрии треугольники AHC и AH'C равны, а значит и углы AHC и AH"C равны. Отсюда получаем, что ∠B+∠AH'C=∠B+∠AHC=∠B+∠DHF=180°, то есть четырехугольник ABCH' вписанный.

Случай с отражением относительно стороны доказывается точно также.