Решение задачи 289

Условие:

Докажите, что середины сторон произвольного треугольника, основания высот, и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности, и что центр этой окружности находится в середине отрезка, соединяющего ортоцентр с центром описанной окружности.

Решение:

Пусть дан треугольник ABC, AD, BF, CE -- высота, H -- ортоцентр, точки G, I, J -- середины сторон AB, BC и AC соответственно, точки K, L, M -- середины отрезков BH, CH и AH соответственно.

Сделаем гомотетию с центром в точке H и коэффициентом 2. Тогда нетрудно видеть, что точки M, K, L перейдут в точки A, B, и С соответственно. Также пользуясь задачей 276 получаем, что точки G, E, D, I, J, F попадут на описанную окружность треугольника ABC. Так как образы всех девяти точек лежат на одной окружности (а именно, описанной вокруг треугольника ABC), получаем, что исходные девять точек также лежат на одной окружности.

Осталось вспомнить, что при гомотетии центр окружности переходит в центр окружности, а так как образ центра окружности девяти точек это центр описанной окружности, получаем, что середина отрезка OH -- центр окружности девяти точек.