Платёжная матрица.

Платёжная матрица.


Хочу напомнить, что мы уже затрагивали тему о том, как представить игру в виде древа тут - https://t.me/theoryofgames/67.

А теперь поговорим о том, как представить в виде платёжной матрицы. Поехали!

Суть каждого принимаемого человеком решения — выбор наилучшей из нескольких альтернатив по конкретным установленным заранее критериям. Платежная матрица — это один из методов статистической теории решений, метод, который может оказать помощь в выборе одного из нескольких вариантов. Он особенно полезен, когда требуется установить, какая стратегия в наибольшей мере будет способствовать достижению целей.

По словам Н. Пола Лумбы: «Платеж представляет собой денежное вознаграждение или полезность, являющиеся следствием конкретной стратегии в сочетании с конкретными обстоятельствами. Если платежи представить в форме таблицы (или матрицы), мы получаем платежную матрицу».

Слова «в сочетании с конкретными обстоятельствами» очень важны, чтобы понять, когда можно использовать платежную матрицу и оценить, когда решение, принятое на ее основе, скорее всего будет надежным. В самом общем виде матрица означает, что платеж зависит от определенных событий, которые фактически свершаются. Если такое событие или состояние природы не случается на деле, платеж неизбежно будет иным.

В целом платежная матрица полезна, когда:

1. Имеется разумно ограниченное число альтернатив или вариантов стратегии для выбора между ними.

2. То, что может случиться, с полной определенностью не известно.

3. Результаты принятого решения зависят от того, какая именно выбрана альтернатива и какие события в действительности имеют место.

Кроме того, вы должны располагать возможностью объективной оценки вероятности релевантных событий и расчета ожидаемого значения такой вероятности, редко имея полную определенность. Однако, принимать решения в ситуации полной неопределенности приходится тоже не слишком часто. Почти во всех случаях при принятии решений придется оценивать вероятность или возможность события. Из предшествующего рассмотрения напомню, что вероятность варьирует от 1, когда событие определенно произойдет, до 0, когда событие определенно не произойдет.


Вероятность можно определить объективно, как поступает игрок в рулетку, ставя на нечетные номера. Выбор ее значения может опираться на прошлые тенденции или субъективную оценку, исходя из собственного опыта действий в подобных ситуациях.

Если вероятность не была принята в расчет, решение всегда будет соскальзывать в направлении наиболее оптимистических последствий. Например, если исходить из того, что инвесторы на удачной кинокартине могут иметь 500% на инвестированный капитал, а при вложении в торговую сеть — в самом благоприятном варианте всего 20%, то решение всегда должно быть в пользу кинопроизводства. Однако если взять в расчет, что вероятность большого успеха кинофильма весьма невысока, капиталовложения в магазины становятся более привлекательными, поскольку вероятность получения указанных 20% очень значительна. Если взять более простой пример, то выплаты при ставках в заезде на длинную дистанцию на скачках выше, поскольку выше вероятность, что не выиграешь вообще ничего.

Вероятность прямо влияет на определение ожидаемого значения — центральной концепции платежной матрицы. Ожидаемое значение альтернативы или варианта стратегии — это сумма возможных значений, умноженных на соответствующие вероятности. К примеру, если вы считаете, что вложение средств (как стратегия действий) в киоск для торговли мороженым с вероятностью 0,5 обеспечит вам годовую прибыль 5000 долл., с вероятностью 0,2 — 10 000 долл. и с вероятностью 0,3 — 3000 долл., то ожидаемое значение составит:

5000 (0,5) + 10 000 (0,2) + 3000 (0,3) = 5400 долл.

Определив ожидаемое значение каждой альтернативы и расположив результаты в виде матрицы, мы без труда можем установить, какой выбор наиболее привлекателен при заданных критериях. Он будет, конечно, соответствовать наивысшему ожидаемому значению. Исследования показывают: когда установлены точные значения вероятности, методы дерева решений и платежной матрицы обеспечивают принятие более качественных решений, чем традиционные подходы.


Проще говоря!

В теории игр есть две формы составления игр: экстенсивная (развёрнутая) и нормальная (табличная форма). Рассмотрим поподробнее каждую. 


1) Итак, экстенсивная (развёрнутая) форма – это графическое изображение игры в виде дерева. Внизу предоставлено изображение древовидной игры. Как можно заметить, одно из свойств такого дерева - это ацикличность, т.е. отсутствие циклов. Дерево состоит из точек и ветвей. Точки соединены между собой ветками и обозначают решение, принятое игроком. Каждое дерево имеет начальную точку – отсюда мы начинаем игру. После начальной точки (назовём её вершиной) идут конечные точки. Каждая конечная точка (вершина) ведёт к полученному платежу. Ветки древовидной игры представляют собой набор стратегий, которыми располагает игрок. Дерево должно включать все стратегии игроков в любой вершине. Экстенсивная форма обычно записывается слева направо, однако, это дело вкуса и ваших предпочтений. Можно начать справа, снизу, сверху и т.д.


2) Теперь рассмотрим табличную форму игр (стратегическая форма). Здесь мы записываем платежи каждого игрока в платёжную матрицу. Особенно удобно ею пользоваться, если игроки должны решать одновременно, какую стратегию выбрать без возможности обговорить действия друг с другом, т.е. каждый игрок находится в неведении, что выберет его оппонент. Каждая сторона такой матрицы – это игрок. Строки – это стратегии первого игрока, а столбцы – стратегии второго игрока. Таким образом, мы получаем N×N матрицу, где на пересечении стратегий можно увидеть выигрыши игроков. 


Чтобы наглядно показать, как выглядят эти формы, я начертил игры, с участием двух игроков (их может быть и больше). Говоря об экстенсивной форме, из древовидной формы следует, что Игрок 1 имеет возможность ходить первым. Исходя из того, что он выберет: А1 или А2, у Игрока 2 появляется уже 4 решения. Допустим, он знает что Игрок 1 выберет А1, тогда область принятия решений сузится до двух действий, которые он может предпринять в данном случае. Теперь перейдём ко второму рисунку - стратегической форме игры. У нас есть табличка, куда мы записываем платежи каждого игрока. В данном случае, их двое, а стратегий N-ое число.