Зависимость премии от цены БА (Дельта)

Дельта – это производная премии опционов по цене базисного актива S. Продифференцировав формулы Блэка Шоулза по S можно получить следующие формулы для дельты опционов CALL и PUT соответственно:

Зависимости этих формул от цены базисного актива S представлены на картинках ниже. На левом рисунке представлен график опционов CALL, на правом – PUT.

Видно, что графики совершенно похожи и различаются только на константу равную 1. В обоих случаях дельта опционов глубоко вне денег близка к нулю. Т.е. изменение цены базисного актива практически не сказывается на стоимости опциона. Внутренняя стоимость таких опционов равна нулю и временная – тоже очень мала.

Ещё мы видим, что дельта опционов CALL всегда положительна и растет при росте цены. Дельта опционов PUT всегда отрицательно и падает к минус 1 при снижении цены. Оба эти вывода можно сделать из обычного графика временной премии для опционов CALL и PUT.

Далее, дельта опционов глубоко в деньгах стремится к единице для опционов CALL и к минус 1 для опционов PUT.

То есть для опционов, находящихся глубоко в деньгах, премия ведет себя так же как стоимость базисного актива. Пожалуйста, запомните это утверждение.

Дельта опционов на деньгах (ATM) всегда равна ½ для опционов CALL и минус ½ для опционов PUT.

И последнее. Дельта для опционов CALL – это вероятность того, что опцион исполнится в деньгах!!!

На этих графиках мы попытались показать зависимость дельты опциона CALL от волатильности. Видно, что при росте волатильности дельта опционов становится все более и более пологой и стремится к + ½  для опционов CALL и – ½ для опционов PUT. Наоборот, при уменьшении волатильности дельта опционов в деньгах стремится к +-1, а дельта опционов вне денег стремится к нулю.

Таким образом, дельта – штука не постоянная и СИЛЬНО зависимая от волатильности. Когда вы будете заниматься дельта-хеджированием, этот факт необходимо принимать во внимание, чтобы не потерять лишних денег.

Рассмотрим зависимость дельты от срока, оставшегося до исполнения опционов. Эта зависимость похожа на зависимость от волатильности.

Слева график для опционов CALL, справа - PUT. Видно, что дельта опционов при приближении времени к дате исполнения становится все менее и менее пологим графиком и все больше и больше напоминает ступенчатую функцию. В пределе именно в ступенчатую функцию она и превращается. Но, пока не наступило время экспирации, дельта для ATM опционов всегда равна +½ для опционов CALL и – ½ для опционов PUT.

По мере уменьшения срока дельта опционов в деньгах стремится к +-1, а дельта опционов вне денег стремится к нулю.

Т.е. дельта – штука не постоянная и зависимая от времени.

Обратите внимание, что уменьшение времени и уменьшение волатильности качественно работают в одинаковом направлении. И в этом нет ничего удивительного, поскольку если внимательно посмотреть на формулы Блэка-Шоулза, то можно заметить, что при малых значениях безрисковой ставки R, когда она существенно меньше квадрата волатильности, а также для опционов на фьючерсы, членом RT можно пренебречь по сравнению с квадратом волатильности, умноженным на T, и тогда мы будем иметь зависимость дельты только:

Соответственно, снижение срока до экспирации в четыре раза эквивалентно снижению волатильности в 2 раза.