Застосування координатного методу в стереометрії - Математика курсовая работа

Главная

Математика
Застосування координатного методу в стереометрії

Просторова декартова прямокутна система координат. Рівняння прямої та площини у просторі. Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих, двох площин, прямої та площини у просторі. Доказ координатним методом теореми про три перпендикуляри.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Просторова декартова прямокутна система координат.
Візьмемо три взаємно перпендикулярні прямі x, y, z, що перетинаються в одній точці О (див. мал. 1). Проведемо через кожну пару цих прямих площину. Площина, що проходить через прямі х та у, зветься площиною ху. Дві інші площини звуться відповідно xz та yz. Прямі x, y, z звуться кординатними осями або осями координат, точка їх перетину О- початком координат, а площини xy, yz, та xz- координатними площинами. Точка О розбиває кожну з осей координат на дві напівпрямі. Умовимся одну з них називати додатньою, а іншу- від'ємною.
Візьмемо тепер довільну точку А та проведем через неї площину, паралельну площині yz. Вона перетинає вісь х в деякій точці А х . Координатою х точки А будемо називати число, рівне за абсолютною велчиною довжині відрізка ОА х , додатнє, якщо точка А х розташована на додатній півосі х, та від'ємне, якщо вона розташована на від'ємній півосі. Якщо точка А х співпадає з точкою О, то приймаємо х=0. Аналогічно визначаються координати y, z точки А. Координати точки будемо записувати в дужках поряд з літерним позначенням точки: А (x, y, z). Іноді будемо позначати точку просто її координатами (x, y, z).
Відстань між двома точками А 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 ) та А 2 (x 2 ,y 2 ,z 2 ) визначається співвідношенням:
Нехай А (x 1 ,y 1 ,z 1 ) та В (x 2 ,y 2 ,z 2 ) дві довільні точки. Координати x, y, z точки С, що ділить відрізок АВ у відношенні через координати точок А та В визначаються слідуючим чином:
Малюнок 1- Просторова декартова прямокутна система координат
Рівняння прямої та площини у просторі.
Нехай d- пряма у просторі. Будь-який ненульовий вектор, що паралельний цій прямій, зветься її напрямним вектором. Ясно, що пряма має нескінчену множину направляючих векторів, будь-які два з яких колінеарні. Всі ці вектори,разом з нульовим вектором, утворюють одномірний векторний підпростір, що зветься направляючим підпростіром прямої d.
Положення прямої d у просторі визначається повністю, якщо задані:
направляючий вектор прямої d та деяка точка;
дві площини, що перетинаються по прямій d.
Поставимо задачу: для кожного з цих способів задання прямої написати її рівняння.
Канонічне рівняння прямої . Нехай у просторі обрана прямокутна декартова система координат і в цій системі відомі координати деякої точки М 0 (x 0 , y 0 ,z 0 ) та координати направляючого вектора прямої d. Напишемо рівняння цієї прямої. Спочатку розглянемо той випадок, коли жодна з координат вектора не дорівнює нулю.
Очевидно, точка М (x, y, z) розташована на прямій d тоді і тільки тоді, коли вектори та колінеарні. Вектор має координати (х-х 0 , y-y 0 , z-z 0 ). Враховуючи умову колінеарності, можна записати рівняння прямої d:
Якщо одна з координат вектора дорівнює нулю, наприклад: , то умова колінеарності запишеться так:
Аналогічно, якщо дорівнюють нулю дві координати вектора , наприклад: , то отримуємо:
y-y 0 =0, z-z 0 =0 (3)
В цьому випадку пряма d паралельна осі Ох ( якщо принаймні одно з чисел y 0 ,z 0 відмінно від нуля) або співпадає з віссю Ох (якщо y 0 = z 0 =0).
Рівняння (1), (2), (3) звуться канонічними рівняннями прямої.
Рівняння прямої, заданої двома точками . Нехай в просторі обрана афінна система координат і в цій системі відомі координати двох точок М 1 (x 1 , y 1 ,z 1 ) та М 2 (x 2 , y 2 ,z 2 ) прямої d. Тоді вектор є напрямним вектором цієї прямої. Оскільки вектор має координати (х 2 -х 1 , y 2 -y 1 , z 2 -z 1 ), то канонічне рівняння прямої d при згідно формули (1) має вигляд:
Якщо одна з координат вектора або дві його координати дорвінюють нулю, то для отримання канонічних рівнянь прямих слід скористатися формулами (2) та (3).
Нехай у просторі задано дві точки М 1 (1,2,5) та М 2 (4,7,8). Треба скласти рівняння прямої, що проходить крізь ці точки.
Рівняння прямої, що задана двома площинами . Нехай пряма d є лінією перетину площин та , що в декартовій прямокутній системі координат задані рівняннями:
Точка М (x, y, z) належить прямій d тоді та тільки тоді, коли її координати є розв'язанням системи рівнянь (5), тому ця система і є рівнянням прямої d. Навпаки, будь-яка система рівнянь (5) є рівнянням деякої прямої простору, якщо ранг матриці дорівнює двом.
Для того, щоб знайти канонічне рівняння прямої, що задана рівняннями (5) , потрібно знати координати будь-якої точки М 0 цієї прямої та деякого направляючого вектора . Точку М 0 (x 0 , y 0 ,z 0 ) слід обрати так, щоб її координати задовольняли системі лінійних рівнянь (5) . Для знаходжння координат направляючого вектора слід скористатися лемою: якщо в декартовій системі координат пряма завдана рівняннями (5), то вектор є направляючим вектором цієї прямої.
Приклад. Написати канонічне рівняння прямої ,що в декартовій просторовій прямокутній системі координат задана системою рівнянь:
Розв'язання. Спочатку оберемо будь-яку точку на даній прямій. В даному випадку коефіцієнти при х та у не пропорційні, тому надамо z довільне значення, наприклад z 0 =0 та знайдемо з вихідної системи : х 0 =-1, у 0 =-4. Ми знайшли точку М 0 (-1,-4,0), що належить даній прямій.
Координати напрямного вектора знайдемо , скористувавшись наведеною вище лемою: або
Таким чином, канонічне рівняння прямої, заданої вихідним рівнянням, має вигляд:
Параметричне рівняння прямої . Оберем прямокутну систему координат і задамо пряму d з напрямним вектором та точкою М 0 (x 0 , y 0 ,z 0 ). Точка М (x, y, z) простору належить прямій d тоді та тільки тоді, коли вектори та колінеарні, тобто коли існує таке число t, що . Це відношення в координатах запишеться так:
Ці рівності звуться параметричними рівняннями прямої , а t- параметром.
Будь-яку площину у просторі можна задати точкою, що їй належить М 0 (x 0 , y 0 ,z 0 ) та направляючим підпростором , де
та два неколінеарних вектори. Будь-яка точка належить площині тоді та тільки тоді, коли виконана рівність:
Розкриваючи по елементах першого стовпчика визначник, отримаємо рівняння площини у вигляді:
Рівняння (8) є загальним рівнянням площини.
Приклад. Нехай задано М 0 (8,-5,6) та та . Треба записати рівняння площини.
Розв'язання. Згідно (8) визначаємо параметри загального рівняння площини:
Таким чином, рівняння площини має вигляд:
Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих, двох площин, прямої та площини у просторі.
З'ясуємо, за яких умов ці площини : а) паралельні; б) перепендикулярні.
Оскільки A 1 ,B 1 ,C 1 -координати вектора , що перпендикулярний першій площині, а A 2 ,B 2 ,C 2 -координати вектора , що перпендикулярний другій площині, то площини паралельні, якщо вектори , паралельні, тобто якщо їх координати пропорціональні:
Ця умова разом з тим достатня для паралельності площин ,якщо вони не співпадають.
Для того, щоб площини (9) були перпендикулярні, необхідно та достатньо, щоб вказані вектори , були перпендикулярні, що для ненульових векторів еквівалентно умові:
або А 1 А 2 + В 1 В 2 + С 1 С 2 =0.
Треба з'ясувати їх взаємне розташування. В даному випадку маємо:
1*2-1*1-2*1=-1 площини не перпендикулярні.
Таким чином, площини розташовані під деяким углом, відмінним від ноля та дев'яноста градусів.
Нехай є площина та пряма, задані рівняннями:
Оскільки вектор перпендикулярний площині, а вектор паралельний прямій, то пряма та площина паралельні, якщо ці вектори перпендикулярні, тобто якщо
Якщо при цьому точка ( x 0 , y 0 ,z 0 ), що належить прямій, задовольняє рівнянню площини
Пряма та площина перпендикулярні, якщо вектори та паралельні, тобто якщо
Нехай дві прямі задані рівняннями в канонічній формі:
Оскільки вектор паралельний першій прямій, а вектор паралельний другій прямій, то прямі паралельні якщо
Зокрема, прямі співпадають, якщо при цьому точка першої прямої, наприклад (x 0 ,y 0 ,z 0 ) задовольняє рівнянню другої прямої, тобто якщо
Приклад. Нехай задано площину та пряму:
Треба з'ясувати їх взаємне розташування.
площина та пряма не перпендикулярні.
Таким чином, площина та пряма розташовані у просторі під деяким кутом, відмінним від ноля та дев'яноста градусів.
Дведення координатним методом теореми про три перпендикуляри.
Теорема про три перпендикуляри : якщо пряма, проведена на площині через основу нахилої, перпендикулярна її проекції, то вона перпендикулярна нахилій. І навпаки: якщо пряма на площині перпендикулярна наклонній, то вона перпендикулярна і проекції нахилій.
Доведення . Нехай АВ- перпендикуляр до площини , АС -нахила та с- пряма в площині , що проходить через основу С нахилої (малюнок 3). Проведемо пряму , паралельну прямій АВ. Вона перпендикулярна площині . Проведемо через прямі АВ та площину . Пряма с перепендикулярна прямій . Якщо вона перпендикулярна прямій СВ, то вона перпендикулярна площині , тобто, і прямій АС.
Аналогічно, якщо пряма с перпендикулярна похилій СА то вона, будучи перпендикулярною і прямій , перпендикулярна площині , а значить, і проекції похилій ВС. Теорему доведено.
Того ж самого результату можна досягти, якщо скористатись координатним методом, попередньо задавши відповідні прямі їх напрямними векторами та послідовно використовуючи ознаки паралельності та перпендикулярності прямих у просторі.
Малюнок 2- Доведення теореми про три перпендикуляри.
Доведення методом координат ознаки паралельності двох площин.
Нехай завдані площини своїми рівняннями:
Оскільки координати загальної точки площин є розв'язанням системи рівнянь (14),(15) та кожне розв'язання системи рівнянь (14),(15) є координатами загальної точки площин , то питання про взаємне розташування двох площин зводиться до дослідження системи лінійних рівнянь (14),(15).
Позначимо через r та відповідно ранги матриць:
Рівняння площини, яка проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору. Опис прямої лінії у просторі. Взаємне розташування прямої та площини. Поверхні другого порядку. Параметричні рівняння ліній. Приклади їх побудови в полярних координатах. лекция [252,5 K], добавлен 30.04.2014
Різні способи завдання прямої і відповідні їм рівняння. Пряма, що задається точкою і напрямним вектором. Пряма, що задається двома точками. Пряма як перетин двох площин. Взаємне розташування прямих та кут між ними. Задачі на складання рівняння прямої. курсовая работа [319,0 K], добавлен 23.02.2011
Способи завдання площини на кресленні та її сліди. Положення площини у просторі відносно площин проекцій. Пряма та точка в площині, прямі особливого положення в площині. Взаємне розташування площин. Пряма, паралельна площині, перетин прямої з площиною. реферат [1,2 M], добавлен 11.11.2010
Площина як одне з основних понять геометрії, її розміщення у просторі. Поняття взаємно перпендикулярних площин. Огляд прикладів вирішення задачі на побудову двох паралельних площин. Теореми, що використовуються при розв’язанні позиційних задач на цю тему. контрольная работа [451,5 K], добавлен 19.11.2014
Побудова дотичної площини та нормалі до поверхні. Геометричний зміст диференціала функції двох змінних. Поняття скалярного поля, зв'язок між градієнтом і похідною в даній точці. Формула Тейлора для функції двох змінних та її локальні екстремуми. реферат [713,9 K], добавлен 14.05.2011
Аксіоматика і основні метричні формули псевдоевклідової площини. Канонічні рівняння кривих другого порядку (параболи, еліпса, гіперболи). Елементи загальної теорії кривих другого порядку псевдоевклідової площини. Перетворення координат рівняння. презентация [787,6 K], добавлен 17.01.2015
Розгляд програми вивчення паралельності прямих у просторі. Аналіз викладення теми конструювання геометричних тіл та дослідження їхніх властивостей у шкільних підручниках геометрії. Методика навчання учнів теоретичного матеріалу та розв’язування завдань. курсовая работа [699,1 K], добавлен 26.03.2014
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Застосування координатного методу в стереометрії курсовая работа. Математика.
Курсовая работа по теме Денежный рынок в макроэкономике
Реферат На Тему Современные Направления Политологических Исследований
Реферат На Тему Штрафные Броски В Баскетболе
Курсовая работа по теме Бюджетная политика Российской Федерации в переходный период
Контрольная работа по теме Аминокислоты: общее описание
Курсовая работа: Теория и практика проведения налоговых проверок юридических лиц
Какие Бывают Стили Сочинения
Доклад по теме Государственное коннозаводство в XIX веке
Реферат: Правовые афоризмы и фразеологизмы как феномен культуры
Доклад: Ортега-и-Гассет, Хосе
Лабораторная работа: Знайомство з середовищем розроблення проектів Visual Basic
Сочинение Бабушкин Сад Поленов
Реферат по теме Effective communication in different cultures
Реферат: Володимир Винниченко – видатний діяч української Центральної Ради
Эссе Толерантность И Терпимость
Определить Курсовую Стоимость Акции
Курсовая Работа База Данных Туристическое Агентство
Дипломная работа по теме Психологические проблемы в межличностных отношениях у женщин с проблемами избыточного веса
Дипломная работа по теме Разработка проекта автоматизированного проектирования конструкции и технологии изготовления редуктора мобильного бурового комплекса МБК 5.5
Курсовая работа по теме Мировой опыт применения Гармонизированной системы описания и кодирования товаров
Women empowerment in the Middle east - Иностранные языки и языкознание реферат
Особенности правового режима земель сельскохозяйственного назначения - Государство и право реферат
Продвижение прогрессивных систем энергосбережения в Украине в сегменте (ТН) тепловых насосов - Маркетинг, реклама и торговля магистерская работа