Замечательные кривые - Математика дипломная работа
Главная
Математика
Замечательные кривые
Математическое понятие кривой. Общее уравнение кривой второго порядка. Уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы. Оси симметрии гиперболы. Исследование формы параболы. Кривые третьего и четвертого порядка. Анъези локон, декартов лист.
посмотреть текст работы
скачать работу можно здесь
полная информация о работе
весь список подобных работ
Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
§1. Кривые второго порядка. Общее уравнение кривой второго порядка
§2. Некоторые кривые, встречающиеся в математике
Понятие линии определилось в сознании человека в доисторические времена. Наблюдения за изгибами берега реки, траекторией брошенного камня, очертаниями листьев растений и цветов послужили основой для постепенного установления понятия кривой. Однако потребовалось очень много времени, прежде чем люди начали сравнивать между собой различные линии и отличать одну кривую от другой. Лишь в XVIIв. появилось абстрактное понятие линии, начались исследования свойств кривых.
Кривая (линия) - след, оставленный движущейся точкой или телом. Обычно кривую представляют лишь как плавно изгибающуюся линию, вроде параболы или окружности. Но математическое понятие кривой охватывает и прямую, и фигуры, составленные из отрезков прямых, например, треугольник или квадрат.
В школьном курсе математики в качестве кривых рассматриваются графики функций. В новых стандартах по математике профильного уровня обучения предусматривается изучение параболы, эллипса, гиперболы.
Некоторые понятия кривых встречаются нам в нашей повседневной жизни, хотя чаще всего мы этого не замечаем. Например, по круговой траектории движутся люди при катании на колесе обозрения, карусели, по гиперболе движутся альфа-частицы в опыте Резерфорда при рассеивании их ядром атома; по эллипсам движутся планеты вокруг Солнца, по параболе - тело в однородном поле силы тяжести, брошенное под углом к горизонту.
Знакомство с кривыми, изучение их свойств позволит расширить геометрические представления, углубить знания, повысить интерес к геометрии; создаст содержательную основу для дальнейшего изучения математики, физики и других наук.
Все вышесказанное подчеркивает актуальность выбранной темы дипломной работы.
Целью является изучение теории замечательных кривых.
Объектом исследования явились замечательные кривые, а также задачи, связанные с ними.
Предметом исследования является изучение теории замечательных кривых.
Цель исследования обусловила выбор следующих частных задач:
1. отобрать теоретический материал по теме дипломной работы;
2. обобщить и систематизировать материал;
3. рассмотреть основные типы задач и их решение.
Структура дипломной работы следующая. Первая глава содержит теоретический материал по теории кривых. Здесь рассматриваются такие кривые, как окружность, эллипс, гипербола, парабола, а также кривые, наиболее часто встречающиеся в математическом анализе: Анъези локон, Декартов лист, Бернулли лемниската, кардиоида, цепная линия, астроида, циклоида.
Вторая часть дипломной работы представлена в виде рабочей тетради. Данная тетрадь разработана для студентов I и II-го курсов. В ней предлагаются задания по степени возрастания сложности по данной теме.
При работе над дипломной работой использовались в качестве основных источников учебники Агапова П.Е., Далингера В.А., Ильина В. А., Позняка Г., Привалова И.И., Шипачева В.С.
Отметим, что движение по окружности часто встречается в физике и технике, по круговой траектории движутся люди при катании на колесе обозрения, карусели, по круговым орбитам могут двигаться искусственные спутники Земли. Хорошо известна планетарная модель атома водорода по Резерфорду. В центре атома находится ядро, а электрон вращается вокруг него. (Энц. словарь юного математика)
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса, где а и b - длины большой и малой полуосей эллипса. При a = b фокусы F1 и F2 совпадают, и указанное уравнение определяет окружность, которая рассматривается как частный случай эллипса. Уравнение , определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.
Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид:
Первую из них мы условимся называть левой, вторую -- правой. Так как для эллипса <, то . Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины эллипса; аналогично, левая директриса расположена левее его левой вершины (рис.4).
Гипербола ( греч. hyperbole) - плоская кривая линия. Это линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающая обе его полости. (Политехнический словарь)
По гиперболе движутся тела, навсегда покидающие Землю, скорость которых больше, чем 2-я космическая (11,2 км/c). Также по гиперболе движутся альфа-частицы в опыте Резерфорда при рассеивании их ядром атома. (Математический энциклопедический словарь)
Определение: Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; (Шипачев В.С.) указанная разность берется по абсолютному значению; кроме того, требуется, чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля. Т.е. если F1 и F2 - данные точки, то гипербола образуется точками М, для которых <. Неравенство здесь выражает, что разность двух сторон F1F2М меньше третьей. (Александров А.Д.) Рис.5.
Фокусы гиперболы принято обозначать через F1 и F2, а расстояние между ними -- через 2с.
Пусть М -- произвольная точка гиперболы с фокусами F1 и F2. (рис.5) Отрезки F1М и F2М (так же, как и длины этих отрезков) называются фокальными радиусами точки М и обозначаются через r1 и r2 (, ). По определению гиперболы разность фокальных радиусов ее точки М есть постоянная величина; эту постоянную принято обозначать через 2а. (Шипачев В.С.)
Из последнего равенства легко получить геометрическое истолкование эксцентриситета гиперболы. Эксцентриситет определяется отношением , а отношение в свою очередь определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы.
Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньше тем меньше, следовательно, отношение ; значит, чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее основной прямоугольник (в направлении оси, соединяющей вершины). (Агапов П.Е.)
В случае равносторонней гиперболы a = b и ? = v2.
Вывод канонического уравнения параболы
Чтобы получить искомое уравнение, нужно заменить переменные r и d их выражениями через текущие координаты х, у.
Заметим, что фокус F имеет координаты ; приняв это во внимание, находим:
Обозначим через N основание перпендикуляра, опущенного из точки М на директрису. Очевидно, точка N имеет координаты тогда с помощью формулы, выражающей расстояние между точками М и N, получаем:
число положительное; это следует из того, что М (х; у) должна находиться с той стороны от директрисы, где находится фокус, т. е. должно быть , откуда .
Заменяя в равенстве (20) r и d выражениями (21) и (22), найдем
Это и есть уравнение рассматриваемой параболы, так как ему удовлетворяют координаты точки М (х; у), когда точка М лежит на данной параболе. Приведем его к более удобному виду, для чего возведем обе части равенства (23) в квадрат. Получаем:
Проверим, что уравнение (24), полученное возведением в квадрат обеих частей равенства (23), не приобрело «лишних» корней. Для этого достаточно показать, что для любой точки, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (22), выполнено соотношение (20). Действительно, из уравнения (24) вытекает, что х ? 0, поэтому для точек с неотрицательными абсциссами имеем d = + x. Подставляя значение у2 из уравнения (24) в выражение (21) и учитывая, что х ? 0, получаем r = + x, т.е. величины r и d равны, что и требовалось доказать. Таким образом, уравнению (24) удовлетворяют координаты точек данной параболы, и только они, т.е. это уравнение является уравнением параболы.
Уравнение (24) называется каноническим уравнением параболы. Уравнение у2=2рх, определяющее параболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, парабола есть линия второго порядка. (Агапов П.Е.)
Построим приближенно одну арку циклоиды, описанную при качении круга на данной прямой. Разделим этот отрезок на некоторое число равных частей, например на 6, и для каждой точки деления изобразим наш круг в том его положении, когда он опирается именно на данную точку (рис. 38), занумеровав эти положения цифрами: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Чтобы перейти из одного положения в соседнее, круг должен повернуться на одну шестую полного оборота (т.к расстояние между соседними точками деления равно шестой части окружности). Поэтому если в положении 0 мел будет находиться в точке М0, то в положении 1 он будет лежать в точке M1 - на одной шестой окружности от точки касания, в положении 2 - в точке М2 - на две шестых от точки касания и т. д. Чтобы получить точки M1, M2, М3 и т.д., нужно лишь производить засечки соответствующей окружности, начиная от точки касания
Одной из замечательных задач, решенных в 17в., была следующая: «В вертикальной плоскости найти такую кривую, что время, потребное для того, чтобы тяжелая материальная точка, двигаясь по этой кривой, спустилась до определенного уровня, не зависело от исходного положения этой материальной точки на кривой». Говоря научным языком, чтобы период точки колебаний не зависел от амплитуды колебаний. Искомой кривой, если пренебрегать действием силы трения, оказалась циклоида. (М.в шк. 2004№8). Используя это свойство, Х.Гюйгенс сконструировал часы.
Циклоиду открыл и предложил это название Галилей; во Франции ее называли трохоидой, или рулеттой. Блез Паскаль писал: «Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как рассмотрели ее древние..., ибо это ни что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздем колеса, когда оно катится своим движением с того момента, когда гвоздь начал подниматься от земли, до того, непрерывное качение колеса не приводит его опять к земле после окончания целого оборота» (Гиндикин С.Г.)
Длина арки циклоиды равна восьми радиусам производящего круга.
Уравнение циклоиды: . (Мат. энц. словарь)
Данная рабочая тетрадь разработана по теме: “Кривые”. Она представляет собой систему занятий, предназначенных для работы со студентами первого и второго курсов математического факультета и просто людей, увлекающихся математикой. Рабочая тетрадь призвана помочь всем желающим пополнить и углубить свои знания в области геометрии. Данная рабочая тетрадь состоит из 10 занятий. После изучения данного курса учащиеся должны научиться, определять является ли функция решением дифференциального уравнения, решать простейшие дифференциальные уравнения, находить частные решения дифференциального уравнения, а также решать задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид: ________________
При a = b фокусы F1 и F2 ________________, и указанное уравнение определяет ______________.
Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение ____________________________________________________________________________________________________________________________________
Эксцентриситет характеризует ______________ эллипса. В случае окружности b=a и ?= __.
Определение: Директрисами эллипса называются две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и ____________________________________________________________________________________________________________________________________
Пример 1. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса
Разделив обе части уравнения на 192, получим уравнение эллипса в виде:
Заключаем, что , . Следовательно, а = 8, b = . Отсюда
Пример 2. Привести уравнение эллипса к каноническому виду. Определить полуоси и центр данной кривой.
Дополнив члены, содержащие и у до полного квадрата, получим:
Разделив обе части уравнения на 36, получим каноническое уравнение эллипса:
Следовательно данный эллипс с полуосями и имеет центр в точке
Пример 1. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки М1 (2; 3) и М2 (1; ).
Решение: Пусть искомое уравнение эллипса имеет вид:
Координаты данных точек удовлетворяют этому уравнению. Подставив вместо х и у сначала координаты точки М1, а затем координаты точки М2, получим систему уравнений
Полагая = m; = n, приходим к системе
решив которую, найдем m = , n = , откуда а2 = 16, b2 = 12. Следовательно, искомое уравнение эллипса имеет вид
Задание 1. Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что:
а) полуоси его равны соответственно 5 и 4
_____________________________________________________________
б) расстояние между фокусами равно 8 и большая ось равна 10;
По условию с = __; а = __. Следовательно, b = ______________
Простейшее уравнение эллипса примет вид: _____________
в) малая полуось равна 2 и расстояние между фокусами равно 6;
По условию с = __; b = __. Следовательно, а = ______________
Простейшее уравнение эллипса примет вид: _____________
г) большая полуось равна 10 и эксцентриситет ;
Простейшее уравнение эллипса примет вид: _____________
д) малая полуось равна 6 и эксцентриситет равен 0,8;
_____________________________________________________________
е) эксцентриситет равен 0,8 и расстояние между фокусами равно 8;
По условию с = __; . По определению эксцентриситета, найдем длину большой полуоси а = ____________.
Простейшее уравнение эллипса примет вид: _____________
Задание 2. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса: а) ;
Разделив обе части уравнения на ____ , получим уравнение эллипса в виде: ____________. Заключаем, что __, __ . Следовательно, а = __, b = __. Отсюда _______________, т.е. F1 (__; __ ) и F2 (__; __ ). Значит, .
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 3. Определить эксцентриситет эллипса, если:
а) его большая ось втрое больше малой;
Т.к. большая ось втрое больше малой, тогда b = ___, с = _____________
_______________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 4. Дан эксцентриситет эллипса . Найти отношение его полуосей. Как величина эксцентриситета характеризует форму эллипса?
_______________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 5. Привести уравнение эллипса к каноническому виду. Определить полуоси и центр данной кривой и построить ее.
Дополнив члены, содержащие и у до полного квадрата, получим:
_______________________или ______________. Разделив обе части уравнения на __, получим каноническое уравнение эллипса:
Следовательно данный эллипс с полуосями и имеет центр в точке (__;__)
Задание 6. Написать уравнения директрис эллипса .
Исходя из канонического уравнения эллипса, находим а = __ и b = ___
Отсюда, уравнения директрис получаем в виде: _____________
Задание 7. Изобразить эллипс, зная, что его эксцентриситет и уравнения директрис задаются уравнениями
По определению директрис, находим а = _______________________
Через отношение полуосей , найдем b = ________________
Cоставляем каноническое уравнение эллипса:
Задание 8. Расстояние между директрисами эллипса равно 36. Найти уравнение этого эллипса, зная, что фокальные радиусы некоторой его точки равны 9 и 15.
Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки М1 (4; 5) и М2 (1;3).
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Общее уравнение кривой второго порядка. Составление уравнений эллипса, окружности, гиперболы и параболы. Эксцентриситет гиперболы. Фокус и директриса параболы. Преобразование общего уравнения к каноническому виду. Зависимость вида кривой от инвариантов. презентация [301,4 K], добавлен 10.11.2014
Сведения о плоских кривых. Замечательные кривые третьего порядка. Классификация Ньютона кривых третьего порядка. Циссоида и ее свойства. Преобразования плоскости, переводящие кривые второго порядка в кривые третьего порядка. Преобразования Маклорена. дипломная работа [960,1 K], добавлен 22.04.2011
Замечательные линии 3-го порядка: Декартов лист, циссоида Диоклеса, строфрида, верзьера Аньези. Линии четвертого и высших порядков и некоторые трансцендентные линии: спираль Архимеда, кривая кратчайшего спуска. Площадь области, ограниченной лемнискатой. курсовая работа [1,1 M], добавлен 07.08.2015
По заданному уравнению кривой второго порядка определен вид кривой, фокусы и эксцентриситет. Составление уравнения параболы с вершиной в начале координат. Нахождение производных с помощью формул дифференцирования. Действия над комплексными числами. контрольная работа [113,6 K], добавлен 16.10.2013
Исследование кривой второго порядка. Определение типа кривой с помощью инвариантов. Приведение к каноническому виду, построение графиков. Исследование поверхности второго порядка. Определение типа поверхности. Анализ формы поверхности методом сечений. курсовая работа [231,0 K], добавлен 28.06.2009
Основные свойства кривых второго порядка. Построение кривой в канонической и общей системах координат. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений. курсовая работа [166,1 K], добавлен 17.05.2011
Общее уравнение кривой второго порядка, преобразование систем координат. Классификация кривых по инвариантам, исследование уравнения кривой второго порядка. Изучение и примеры исследования инвариант поворота и параллельного переноса систем координат. курсовая работа [654,1 K], добавлен 28.09.2019
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .
© 2000 — 2021
Замечательные кривые дипломная работа. Математика.
Контрольная работа по теме Кризис крепостничества и экономические идеи России периода зарождения капитализма
Реферат по теме Физиология как наука
Отчет по практике: Отчет и дневник производственной профессиональной практики по разделу Управление сестринским делом 2
Реферат: Abortion 19 Essay Research Paper AbortionAbortion is
Эссе На Тему Таулар Сыры На Казахском
Регламентирование недобросовестной конкуренции в праве Франции
Реферат по теме Привчання собак до пошуку та виявлення речей людини на ділянці місцевості
Реферат по теме Психолого-педагогические особенности тестовой формы контроля и методы составления тестовых заданий; их практическое применение при обучении студентов зубоврачебного отделения
Курсовая Работа На Тему Оценка Конкурентоспособности Вин
Реферат по теме Роман 'Евгений Онегин'
Учебное пособие: Методические указания по выполнению и оформлению квалификационной (дипломной) работы. Специальность 090102. 65 (075200) Компьютерная безопасность / Составители: Н. Ф. Богаченко, А. К. Гуц. Омск: ОмГУ, 2010. 23 с
Реферат по теме Сущность суждения
Чацкий Обречен На Одиночество Сочинение
Реферат по теме Криминологическая характеристика и предупреждение преступлений
Реферат: Дискретний логарифм
Недействительность сделки
Качественная И Количественная Информация Реферат
Деятельность Лабораторных Работ
Курсовая работа: Анализ издержек обращения в торговом предприятии
Дипломная Работа Профилактика
Учет операций с ценными бумагами на предприятии - Бухгалтерский учет и аудит курсовая работа
Обзор перспективных разработок в области ведения подземных горных работ с применением закладки - Геология, гидрология и геодезия отчет по практике
Набуття права інтелектуальної власності на винахід і корисну модель - Государство и право курсовая работа