Законы случайных величин - Математика контрольная работа

Главная

Математика
Законы случайных величин

Дискретные системы двух случайных величин. Композиция законов распределения, входящих в систему. Определение вероятности попадания случайной величины в интервал; числовые характеристики функции; математическое ожидание и дисперсия случайной величины.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

1. Дискретные системы двух случайных величин
Задача 1 . По цели производиться два независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна р 1 =0.7, при втором р 2 =0.8 . Рассматривается дискретная система двух случайных величин , где - число попаданий при первом выстреле, - число попаданий при втором выстреле.
Для рассматриваемой дискретной системы случайных величин требуется:
а) Для описания закона распределения дискретной системы двух случайных величин необходимо определить множество всех возможных пар значений
и соответствующие вероятности. Результат удобно представить в виде таблицы 2.1
В первой строке указываются возможные значения случайной величины , а в первом столбце - возможные значения случайной величины ; в последней строке и в последнем столбце указываются безусловные вероятности возможных значений соответственно случайных величин и . В каждой клетке таблицы, стоящей на пересечении i-го столбца и j-й строки, указываются вероятности совместного осуществления события
Занесем полученные данные в табл. 2.2
По условию нормировки . Сделаем проверку:
б) Законы распределения отдельных дискретных случайных величин, входящих в систему, получим из закона распределения дискретной системы случайных величин (см. табл. 2.2). Возможные значения случайных величин и известны, найдем соответствующие им вероятности. Для случайной величины вероятности возможных значений определяются по формуле
т.е. суммируем вероятности «по столбцам»:
Аналогично для случайной величины используем формулу
т.е. суммируем вероятности «по строкам»:
Законы распределения случайных величин и представим в виде ряда распределения для каждой величины (табл. 2.3, 2.4).
в) Условным законом распределения случайной величины при условии, что величина приняла определенное значение , называется совокупность возможных значений величины и соответствующих этим значениям условных вероятностей , определяемых по формуле
Условный закон распределения случайной величины при условии, что величина приняла значение, равное 1, находим по формуле (1), полагая =0:
Запишем условный закон распределения случайной величины в виде ряда распределения (табл. 2.5).
Используя данные табл. 2.5 и формулу условного математического ожидания случайной величины при условии, что величина приняла определенное значение :
вычислим условное математическое ожидание :
г) Установить зависимость или независимость случайных величин и , входящих в систему , можно, проверив необходимое и достаточное условие независимости
следовательно, случайные величины и независимы.
е) Найдем основные числовые характеристики дискретной системы случайных величин и . Используя табл. 2.3 и 2.4, найдем по формулам:
Корреляционный момент вычислим с помощью данных табл. 2.2 и следующей формулы:
Коэффициент корреляции определяется как отношение корреляционного момента к произведению среднеквадратичных отклонений случайных величин и :
Так как коэффициент корреляции , то можно утверждать, что случайные величины и линейно независимы.
2. Непрерывные системы двух случайных вел и чин
Задача 2 . Система случайных величин задана совместной плотностью вероятности
в треугольной области АВС с координатами А(-1; 0), В(0; 1), С(-1; 2).
а) вычислить константу а в выражении для плотности вероятности ;
б) вычислить вероятность попадания случайной точки в треугольную область АВD с координатами D(-1; 1);
в) найти безусловные плотности вероятности и случайных величин и ;
г) найти условные плотности вероятности , ;
д) установить, являются ли случайные величины и независимыми;
е) вычислить основные числовые характеристики системы :
ж) найти условные математические ожидания и (случайной величины относительно и случайной величины относительно );
з) построить линии регрессии ( по и по ).
Изобразим треугольную область АВС (рис. 2.1).
а) Для нахождения константы а в выражении для плотности вероятности , воспользуемся условием нормировки
Напоминание. Площадь треугольника, построенного на векторах и , равна
б) Вероятность попадания равномерно распределенной в области D случайной точки в некоторую область , найдем по формуле:
Точка D(0; 4) (см. рис. 2.1), следовательно,
в) Зная совместную плотность вероятности , можно найти безусловную плотность вероятности любой из случайных величин, входящих в систему по формулам:
Для расстановки пределов интегрирования в последних формулах составим уравнения прямых АВ, ВС и АС.
Напоминания: 1. Уравнение прямой, проходящей через две точки и , имеет вид
2. Уравнение прямой в отрезках имеет вид
где а - абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох,
b - ордината точки пересечения прямой с осью Оу.
Треугольник АВС не является областью, стандартной относительно оси (см. рис. 2.1). Линия входа - отрезок прямой АВ (). Линия выхода - отрезок прямой ВС (), если .
Плотность вероятности должна удовлетворять условию нормировки
Для его проверки построим график (рис. 2.2).
Площадь треугольника, ограниченного графиком и осью Ох, равна 1. Следовательно, условие нормировки выполняется.
Треугольник АВС является областью, стандартной относительно оси Ох (см. рис. 2.1). Линия входа - отрезок оси Оу (), линия выхода - отрезок прямой АВ (), если , и отрезок прямой ВС ()
Для проверки условия нормировки построим график (рис. 2.3).
Согласно рис. 2.3 площадь треугольника, ограниченного графиком и осью Оу , равна 1. Следовательно, условие нормировки выполняется.
г) Условные плотности вероятности выражаются через безусловные по формулам:
Заметим, что условие нормировки должно выполняться для любого фиксированного у, а условие нормировки должно выполняться для любого фиксированного х.
д) Установить зависимость или независимость случайных величин и , входящих в систему , можно, сравнив условные , и безусловные , плотности, или, проверив необходимое и достаточное условие независимости =•. В нашем случае и , следовательно, и зависимы. Очевидно также, что , что подтверждает сделанный вывод.
е) Вычислим основные числовые характеристики системы :
Заметим, что если система случайных величин распределена равномерно в треугольной области АВС, где А(х 1 , y 1 ), B(х 2 , y 2 ), C(х 3 , y 3 ), то
(,) - так называемый центр рассеивания.
Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой
Аналогично вычислим дисперсию случайной величины :
Корреляционный момент , характеризующий связь между случайными величинами и , найдем по формуле
Для этого вычислим сначала второй смешанный начальный момент
Безразмерной характеристикой связи между случайными величинами и служит коэффициент корреляции :
Коэффициент корреляции отражает «степень линейной зависимости» случайных величин и . Так как = 0, и независимы.
ж) Условные математические ожидания случайных величин и , входящих в систему , найдем по формулам:
Заметим, что в случае равномерного распределения системы функции и являются линейными.
з) Построим линии регрессии, определяемые уравнениями и . В рассматриваемой задаче
Графики линий регрессии приведены на рис. 2.4.
Заметим, что линия регрессии графически изображает зависимость «в среднем» случайной величины от возможных значений случайной величины . Аналогично для .
Задача 3. Случайная точка распределена по нормальному закону с параметрами , Требуется:
а) написать выражение для плотности вероятности системы ;
б) изобразить на плоскости области и вычислить вероятности попадания случайной точки в эти области, если
в) вычислить вероятность того, что при трех независимых опытах случайная точка попадет хотя бы один раз в область ;
г) вычислить вероятность того, что при первых двух опытах случайная точка окажется хотя бы один раз в области , а при третьем опыте - в области ;
д) определить, какое минимальное количество опытов нужно произвести для того, чтобы случайная точка оказалась в области с вероятностью не меньшей 0,95.
а) Нормальный закон распределения для системы двух случайных величин имеет плотность вероятности вида
где - математические ожидания случайных величин, - средние квадратические отклонения, - коэффициент корреляции. Поэтому плотность вероятности данной системы имеет вид
б) Область является прямоугольником с осями, параллельными главным осям рассеивания (рис. 2.5). По формуле
где - функция Лапласа, значения которой находятся по таблице, вычисляем вероятность попадания случайной точки в данную область:
Область является прямоугольником с осями, параллельными главным осям рассеивания и центром в центре рассеивания (рис. 2.6).
Следовательно, для вычисления искомой вероятности целесообразно применение формулы
Область является квадрантом с вершиной в точке (-3-2) (рис.2.7).
Найдем вероятность попадания в область :
Область является квадрантом с вершиной в центре рассеивания
Искомую вероятность можно найти, исходя из симметричности поверхности распределения относительно плоскостей :
Вероятность попадания случайной точки в эллипс рассеивания (рис.2.9) вычисляем по соответствующей формуле:
где - размеры полуосей эллипса рассеивания в единицах среднего квадратического отклонения по направлению главных осей рассеивания.
случайный величина распределение дисперсия
в) Для определения вероятности хотя бы одного попадания в область при трех независимых опытах перейдем к противоположному событию, т.е. к тому, что в результате трех опытов случайная точка ни разу не окажется в области . Вероятность того, что случайная точка в результате опыта не попадет в область , равна
Затем находим вероятность того, что случайная точка при трех опытах ни разу не попадет в :
г) Вероятность того, что при первых двух опытах случайная точка окажется хотя бы один раз в области , а при третьем опыте - в области , равна по теореме умножения вероятностей произведению вероятности того, что при двух опытах случайная точка попадет хотя бы раз в область :
и вероятности попадания случайной точки в область :
д) Если событие в каждом опыте может наступить с вероятностью , то количество опытов, которые необходимо произвести для того, чтобы с вероятностью можно было утверждать, что данное событие произойдет хотя бы один раз, находится по формуле
т.е. необходимо провести как минимум 1 опыта.
4. Закон распределения функции одной случайной величины
Задача 4 . Случайная величина задана плотностью вероятности
Другая случайная величина связана с функциональной зависимостью =. Требуется:
а) определить плотность вероятности случайной величины ;
б) построить графики функций , и проверить условие нормировки для этих функций;
в) вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал .
а) Функция на отрезке [-2; 0] возможных значений случайной величины монотонно возрастает и, следовательно, имеет обратную функцию , которая монотонно возрастает на отрезке и является дифференцируемой. Поэтому искомую плотность вероятности найдем по формуле
Таким образом, случайная величина = имеет следующую плотность вероятности:
б) Графики функций , приведены на рис. 2.10, 2.11.
Проверим условия нормировки для функций и:
в) Используя формулу , находим искомую вероятность:
Однако этот же результат можно получить, применяя формулу
5. Числовые характеристики функции одной случайной величины
Задача 5 . Случайная величина имеет плотность вероятности
Другая случайная величина связана с функциональной зависимостью
а) проверить условие нормировки для функции и построить ее график;
б) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины .
а) Если функция является плотностью вероятности случайной величины , то она должна удовлетворять условию нормировки
Замечание. Опущенные выкладки полного исследования функции предлагается выполнить самостоятельно.
б) Способ 1. Для нахождения математического ожидания и дисперсии случайной величины необязательно находить закон ее распределения; можно воспользоваться формулами
Замечание. Полученный результат должен принадлежать интервалу возможных значений случайной величины , т.е. .
Способ 2. Пользуясь определением математического ожидания функции случайного аргумента, его свойствами и указанными формулами (способ 1), получим:
6. Числовые характеристики функции двух случайных величин
Задача 6 . Случайная величина распределена равномерно в интервале (2;4), а независимая от нее случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами , . Требуется:
а) записать плотности вероятности и для случайных величин и ;
б) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины
в) вычислить математическое ожидание случайной величины
а) Так как случайная величина имеет равномерное распределение, а - нормальное распределение, то их плотности вероятности определяются соответственно выражениями:
б) Запишем числовые характеристики исходных случайных величин:
Используя свойства математического ожидания и дисперсии функции случайных величин, получим:
Итак, искомые числовые характеристики
в) Зная числовые характеристики исходных случайных величин, пользуясь свойствами и определением математического ожидания функции непрерывной случайной величины, имеем:
7. Числовые характеристики функции трех случайных величин
Задача 7 . Для системы трех случайных величин (,,) даны математические ожидания , , и корреляционная матрица
а) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины
б) вычислить математическое ожидание случайной величины
Согласно заданной корреляционной матрице имеем:
Искомые числовые характеристики найдем, пользуясь свойствами математического ожидания, дисперсии и корреляционного момента:
Задача 8. Для данной плотности вероятности найти характеристическую функцию и с её помощью вычислить математическое ожидание .
I способ. Воспользуемся методами операционного исчисления. Так как данная плотность вероятности является оригиналом, то характеристическая функция для неё является изображением. Найдём его, учитывая свойство линейности преобразования Лапласа и соотношение
II способ. Характеристическую функцию можно найти и по определению:
Вычислим , используя формулу . Имеем:
9. Композиция законов распределения
Задача 9. Независимые случайные величины и распределены равномерно на отрезке [2; 4], т.е. их плотности вероятностей имеют вид:
Определить плотность вероятности случайной величины , проверить условие нормировки для и построить графики функций ,, .
Воспользуемся аппаратом характеристических функций и методами операционного исчисления. Для этого найдём характеристические функции и как изображения для плотностей вероятностей и . Далее, учитывая независимость случайных величин и , получим характеристическую функцию как произведение характеристических функций слагаемых случайных величин =•. После этого, совершив обратное преобразование Лапласа, найдём искомую плотность вероятности как оригинал для характеристической функции .
Найдём для и характеристические функции и , используя свойства линейности преобразования Лапласа, запаздывания оригинала и операционное соотношение
Далее, используя свойство запаздывания оригинала и операционное соотношение , находим искомую плотность как оригинал для характеристической функции
Проверим условие нормировки для функции :
Графики функций ,, приведены на рис. 2.13 - 2.15:
10. Предельные теоремы теории вероятностей
Задача 10 . По полосе укреплений противника сбрасывается 108 серий бомб. При сбрасывании одной такой серии МО числа попаданий равно m=5, а . Пусть , i=-число попаданий в i-й серии , - общее число попаданий.
а) записать приближенное выражение для плотности вероятности случайной величины ;
б) вычислить приближенно вероятности: , ;
в) определить интервал наименьшей длины, симметричный относительно математического ожидания , в котором с вероятностью, не меньшей 0,9 будет заключена случайная величина .
Таким образом, плотность вероятности случайной величины приближенно равна
где - функция Лапласа, при , , получим
Так как минимально возможное значение, принимаемое случайной величиной
в) Обозначим через половину длины наименьшего интервала, симметричного относительно математического ожидания , в котором с вероятностью, не меньшей 0,9, будет заключена случайная величина . Тогда по условию.
По таблице значений функции Лапласа находим то значение аргумента х, для которого . Это значение приближенно равно
Таким образом, искомый интервал наименьшей длины, симметричный относительно математического ожидания = 540, следующий:
1. Е.И. Гурский. Высшая математика. Основы теории вероятностей случайных процессов и математической статистики. Изд. МВИЗРУ ПВО, 1983.
2. Е.И. Гурский. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике. Минск «Вышэйшая школа», 1984.
3. А.А. Гусак, Е.А. Бричикова. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач. Минск ТетраСистемс, 1999.
4. В.Е. Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М. «Высшая школа», 1975.
5. Е.И. Гурский, Т.В. Скобля, В.Э. Юшкевич. Методическое пособие по теории вероятностей и математической статистике. Изд. МВИЗРУ ПВО,1973.
6. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под редакцией А.А. Свешникова. М.: Наука, 1970.
7. Сборник задач по математике. Теория вероятностей и математическая статистика. Под редакцией А.В. Ефимова. М.: Наука, 1990.
События и случайные величины. Функция распределения и ее характерные свойства. Сущность и определение основных числовых характеристик случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, моменты. Критерии и факторы, влияющие на их формирование. контрольная работа [118,5 K], добавлен 30.01.2015
Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания, дисперсия случайной величины, их суммы. Функция от случайных величин, ее математическое ожидание. Коэффициент корреляции, виды сходимости последовательности случайных величин. лекция [285,3 K], добавлен 17.12.2010
Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Дискретные случайные величины и законы их распределения. Числовые характеристики системы случайных величин. Законы равномерного и нормального распределения систем случайных величин. дипломная работа [797,0 K], добавлен 25.02.2011
Определение вероятности попадания в мишень по формуле Бернулли. Закон и многоугольник распределения случайной величины. Построение функции распределения, графика. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение случайной величины. контрольная работа [86,4 K], добавлен 26.02.2012
Понятия теории вероятностей и математической статистики, применение их на практике. Определение случайной величины. Виды и примеры случайных величин. Закон распределения дискретной случайной величины. Законы распределения непрерывной случайной величины. реферат [174,7 K], добавлен 25.10.2015
Математическое ожидание дискретной случайной величины, его свойства и определение. Дисперсия и формула для ее вычисления. Среднее квадратическое отклонение. Ковариация и коэффициент корреляции. Коррелированные и некоррелированные случайные величины. курсовая работа [133,7 K], добавлен 05.06.2011
Понятие и направления исследования случайных величин в математике, их классификация и типы: дискретные и непрерывные. Их основные числовые характеристики, отличительные признаки и свойства. Законы распределения случайных величин, их содержание и роль. презентация [1,4 M], добавлен 19.07.2015
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Законы случайных величин контрольная работа. Математика.
Реферат: Cyberstalking Essay Research Paper CYBERSTALKINGThe World Wide
Доклад по теме Инструментарий регулирования денежной ликвидности
Контрольная работа: Основи розвитку регіону. Видатки місцевих органів влади
Дипломная работа по теме Совершенствование кадровой работы в филиале ООО 'Росгосстрах' Новосибирской области
Дипломная работа по теме Организация безопасности труда на предприятии ОАО МАЗ
Реферат Характеристика Легкоатлетических Специальных Беговых Упражнений
Реферат: Athletic Injuries Essay Research Paper Athletes with
Реферат: Оценка влияния инфляции на формирование финансовых результатов
Структура Эссе Общество Егэ
Доклад по теме Договор Филиппа VI с нормандцами о завоевании Англии
Реферат: СПИД и его профилактика. Скачать бесплатно и без регистрации
Контрольная Работа На Тему Управление Непрерывным Образованием Персонала В Организации
Реферат: Русский язык - основа национального единства и русской культуры
Реферат по теме Селигер – жемчужина Верхневолжья
Карамзин Сочинение
Как Книги Влияют На Человека Сочинение Рассуждение
Реферат по теме Международные операции в индустрии гостеприимства
Вводная Контрольная Работа По Алгебре
Контрольная работа: Активы в финансовом менеджменте
Курсовая Работа Как Правильно Написать
Тенденции развития уголовного законодательства в России в ХХ веке - Государство и право курсовая работа
Изучения конструкции и принципа работы карьерных экскаваторов. Особенности нагрузок рабочего оборудования в процессе работы - Геология, гидрология и геодезия реферат
Государство и церковь. Правовое регулирование их взаимоотношений - Государство и право курсовая работа