Задачи в школьном курсе математики - Педагогика лекция

Главная

Педагогика
Задачи в школьном курсе математики

Задача – объект мыслительной деятельности, содержащий требование ответа на теоретический вопрос посредством раскрытия отношения между известными и неизвестными элементами. Умение решать математические задачи – показатель обученности и развития учащихся.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
1. Роль задач в обучении математике
2. Основные этапы в решении задачи. Общие умения по решению задач
3. Классификация задач. Роль алгоритмов и эвристик в обучении решению задач
4. Организация обучения решению математических задач
5. Системы упражнений и требования к ним
1. Роль задач в обучении математике
В психологии, дидактике известны попытки дать определение задачи. Например, одно из них: «Задача - объект мыслительной деятельности, содержащий требование некоторого практического преобразования или ответа на теоретический вопрос посредством поиска условий, позволяющих раскрыть связи (отношения) между известными и неизвестными элементами» (Л.Л.Гурова. Психологический анализ задач. - Воронеж, 1976).
Задачи в обучении математике занимают важное место: это и цель, и средство обучения. Умение решать задачи - показатель обученности и развития учащихся.
При обучении математике задачи имеют образовательное, развивающее, воспитательное значение. Они развивают логическое и алгоритмическое мышление учащихся, вырабатывают практические навыки применения математики, формируют диалектико-материалистическое мировоззрение, являются основным средством развития пространственного воображения, а также эвристического и творческого начал.
При обучении теоретическим знаниям задачи способствуют мотивации введения понятий, выявлению их существенных свойств, усвоению математической символики и терминологии, раскрывают взаимосвязи одного понятия с другими.
В процессе изучения теоремы задачи выполняют следующие функции: способствуют мотивации ее введения; выявляют закономерности, отраженные в теореме; помогают усвоению содержания теоремы; обеспечивают восприятие идеи доказательства, раскрывают приемы доказательства; обучают применению теоремы; раскрывают взаимосвязи изучаемой теоремы с другими теоремами.
Воспитательное воздействие оказывает общий подход к решению задач: система задач, место, методы и формы ее решения, стиль общения учителя и учащихся, учащихся между собой при решении задач. Решение задач позволяет учащимся воспитывать в себе настойчивость, трудолюбие, активность, самостоятельность, формирует познавательный интерес, помогает вырабатывать и отстаивать свою точку зрения, воспитывать достоинство личности.
Развивающие функции задач заключаются в том, что в деятельности решения задач вырабатываются умения применять теоретические знания на практике, выделять общие способы решения, переносить их на новые задачи, развиваются логическое и творческое мышление, внимание, память, воображение.
С изменением роли и места задач в обучении обновляются и видоизменяются и сами задачи. Раньше они формулировались с помощью слов «найти», «построить», «вычислить», «доказать», в современной школе чаще используются слова «обосновать», «выбрать из различных способов решения наиболее рациональный», «исследовать», «спрогнозировать различные способы решения» и т д.
Решение задач является наиболее эффективной формой развития математической деятельности.
Очень важно на уроках выполнять анализ условия задачи всем классом.
Для того чтобы научиться решать задачи, надо приобрести опыт их решения. Редкие ученики самостоятельно приобретают такой опыт. Долг учителя - помочь учащимся приобрести опыт решения задач, научить их решать задачи. Однако помощь учителя не должна быть чрезмерной. Если учитель много будет помогать ученику, на долю последнего ничего не останется или останется слишком мало работы по приобретению опыта решения задач. Так ученик не научится решать задачи. Если же помощь учителя будет мала, ученик также может не научиться решать задача. Учитель должен помогать ученику путем советов, как решать задачу, или вопросов, отвечая на которые ученик успешнее решит задачу. Иногда учитель разыгрывает решение задачи, сам задавая вопросы и сам же отвечая на них. Ученики подражают ему в этом, постепенно приучаясь решать задачи. Но такой вариант обучения требует большей затраты времени и не всегда приводит к хорошим результатам. Можно сказать, что механическое подражание не метод обучения решению задач. Нужны вопросы и советы учителя ученику, вызывающие развивающие мыслительную деятельность школьников, помогающие развивать творческий подход к решению задач.
Такие вопросы и советы должны обладать общностью для различных задач, иначе ученики не научатся решать многие задачи, а будут учиться решать каждую конкретную задачу в отдельности. В то же время вопросы и советы должны быть естественны и просты, должны иметь своим источником простой здравый смысл. Они должны оказывать ученику действенную, но не назойливую помощь. Но одних вопросов и советов учителя ученику недостаточно для обучения решению задач. Нельзя забывать, что "умение решать задачи есть искусство, приобретаемое практикой" .
Вопросы и советы ученику условно можно подразделить на четыре группы. Это подразделение вопросов, вообще говоря, не является категоричным. Может оказаться, что вопросы, рекомендуемые для первого этапа, окажут помощь и на втором этапе, а рекомендуемые для второго этапа - на третьем и т. п. Дело в том, что этапы решения задачи не могут быть строго изолированы один от другого, между ними существует определенная связь, в их единстве заключается процесс решения задачи.
Вопросы и советы для осмысления условия задачи (1-й этап).
Нельзя приступать к решению задачи, не уяснив четко, в чем заключается задание, т. е. не установив, каковы данные и искомые или посылки и заключения.
Первый совет учителя: не спешить начинать решать задачу. Этот совет не означает, что задачу надо решать как можно медленней. Он означает, что решению задачи должна предшествовать подготовка, заключающаяся в следующем: а) сначала следует ознакомиться с задачей, внимательно прочитав ее содержание. При этом схватывается общая ситуация, описанная в задаче; б) ознакомившись с задачей, необходимо вникнуть в ее содержание. При этом нужно следовать такому совету: выделить в задаче данные и искомые, а в задаче на доказательство -посылки и заключения; в) если задача геометрическая или связана с геометрическими фигурами, полезно сделать чертеж к задаче и обозначить на чертеже данные и искомые (это тоже совет, которому должен следовать ученик); г) в том случае, когда данные (или искомые) в задаче не обозначены, надо ввести подходящие обозначения. При решении текстовых задач алгебры и начал анализа вводят обозначения искомых или других переменных, принятых за искомые; д) уже на первой стадии решения задачи, стадии понимания задания, полезно попытаться ответить на вопрос: "Возможно ли удовлетворить условию?" Не всегда сразу удается ответить на этот вопрос, но иногда это можно сделать.
Отвечая на вопрос: "Возможно ли удовлетворить условию?", полезно выяснить, однозначно ли сформулирована задача, не содержит ли она избыточных или противоречивых данных. Одновременно выясняется, достаточно ли данных для решения задачи.
Составление плана решения задачи (2-й этап). Составление плана решения задачи, пожалуй, является главным шагом на пути ее решения. Правильно составленный план решения задачи почти гарантирует правильное ее решение. Но составление плана может оказаться сложным и длительным процессом. Поэтому крайне необходимо предлагать ученику ненавязчивые вопросы, советы, помогающие ему лучше и быстрее составить план решения задачи, "открыть" идею ее решения:
1). Известна ли решающему какая-либо родственная задача? Аналогичная задача? Если такая или родственная задача известна, то составление плана решения задачи не будет затруднительным. Но далеко не всегда известна задача, родственная решаемой. В этом случае может помочь в составлении плана решения совет.
2). Подумайте, известна ли вам задача, к которой можно свести решаемую. Если такая задача известна решающему, то путь составления плана решения данной задачи очевиден: свести решаемую задачу к решенной ранее. Может оказаться, что родственная задача неизвестна решающему и он не может свести данную задачу к какой-либо известной. План же сразу составить не удается.
3). Стоит воспользоваться советом: "Попытайтесь сформулировать задачу иначе". Иными словами, попытайтесь перефразировать задачу, не меняя ее математического содержания.
При переформулировании задачи пользуются либо определениями данных в ней математических понятий (заменяют термины их определениями), либо их признаками (точнее сказать, достаточными условиями). Надо отметить, что способность учащегося переформулировать текст задачи является показателем понимания математического содержания задачи.
Некоторые авторы относят к переформулировке задачи и перевод ее на язык математики, т. е. язык алгебры, геометрии или анализа. Это, скорее, формализация задачи, "математизация" ее. К такому приему и приходится часто прибегать при решении многих текстовых задач.
4). Составляя план решения задачи, всегда следует задавать себе (или решающему задачу ученику) вопрос: "Все ли данные задачи использованы?" Выявление неучтенных данных задачи облегчает составление плана ее решения.
5). При составлении плана решения задачи иногда бывает полезно следовать совету: "Попытайтесь преобразовать искомые или данные". Часто преобразование искомых или данных способствует более быстрому составлению плана решения. При этом искомые преобразуют так, чтобы они приблизились к данным, а данные - так, чтобы они приблизились к искомым. Так, при каждом случае тождественных преобразований данные преобразуются, постепенно приближаясь к результату (искомому). Аналогично уравнение, систему уравнений, неравенство или систему неравенств преобразуют в равносильные, чтобы найти их корни или множество решений.
6). Нередко случается так, что, следуя указанным выше советам, решающий задачу все же не может составить план ее решения. Тогда может помочь еще один совет: "Попробуйте решить лишь часть задачи", т. е. попробуйте сначала удовлетворить лишь части условий, с тем чтобы далее искать способ удовлетворить оставшимся условиям задачи.
7). Нередко в составлении плана решения задачи помогает ответ на вопрос: "Для какого частного случая возможно достаточно быстро решить эту задачу?" Обнаружив такой частный случай, решающий ставит перед собой новую цель - воспользоваться решением задачи в найденном частном случае для более общего (но, может быть, не самого общего) случая. Так можно поступить, постепенно обобщая задачу до исходной, решаемой задачи. Предполагаемый вариант рассуждений - явное применение полной индукции. Итак, совет: "Рассмотрите частные случаи задачной ситуации, решите задачу для какого-нибудь частного случая, примените индуктивные рассуждения".
Осуществление плана решения задачи (3-й этап).
План указывает лишь общий контур решения задачи. При реализации плана решающий задачу рассматривает все детали, которые вписываются в этот контур. Эти детали надо рассматривать тщательно и терпеливо. Но при этом ученику (решающему задачу) полезно следовать некоторым советам:
1). Проверяйте каждый свой шаг, убеждайтесь, что он совершен правильно. Иными словами, нужно доказывать правильность каждого шага ссылками на соответствующие, известные ранее математические факты, предложения.
2). Обратить внимание учащихся на необходимость выбора такого способа оформления решения, чтобы зафиксировать решение в краткой и ясной форме.
Изучение найденного решения задачи (4-й этап).
Заключительный этап является необходимой и существенной частью решения задачи. Основным содержанием его должно быть осмысление выполненного решения, формулирование и решение (если это окажется возможным) других задач, явно связанных с решенной, и извлечение из всей проделанной работы выводов о том, как находятся и выполняются решения.
Таким образом, после оформления решения необходимо выявление идей (главной мысли), положенных в основу решения. Решение задачи н е сколькими способами является одним из путей проверки правильности полученного результата; важно сопоставление найденных решений, выделение более рациональных и поучительных. Это путь воспитания гибкости математического мышления и находчивости.
Даже очень хорошие ученики, получив ответ и тщательно изложив ход решения, считают задачу решенной. А ведь получение результата не означает еще, что задача решена правильно. Тем более не означает, что для решения выбран лучший, наиболее удачный, изящный, если можно так выразиться, вариант. По В. М. Брадису, задачу можно считать решенной, если найденное решение: 1) безошибочно, 2) обоснованно, 3) имеет исчерпывающий характер.
Итак, два совета: "Проверьте результат", "Проверьте ход решения". Проверка результата может производиться различными способами. Проверяя правильность хода решения, мы тем самым убеждаемся и в правильности результата. Значит, надо выполнить совет: "Проверьте все узловые пункты решения", еще раз убедитесь в истинности проведенных рассуждений.
Второй способ проверки результата заключается в получении того же результата применением другого метода решения задачи, поэтому полезно всегда задавать решающему вопрос: "Нельзя ли тот же результат получить иначе?" Иными словами, стоит последовать совету: "Решите задачу другим способом". Если при решении задачи другим способом получен тот же результат, что и в первом случае, задачу можно считать решенной правильно. К тому же получение различных вариантов решения одной и той же задачи имеет важное обучающее значение.
Изложенные выше советы для решения задач позволяют решать многие задачи, но, разумеется, не могут служить рецептом для решения любой задачи. Эти советы, многие из которых сформулировал Д. Пойа, правильно ориентируют решающего задачи на поиск решения, сокращают время решения многих задач, повышают вероятность отыскания верного и рационального способа решения задач. Единого же рецепта для решения любых задач попросту не существует.
От общих советов к частным . Начинать надо с общих вопросов, с общих советов, т. е. именно с тех, которые были приведены выше. Может оказаться, что общие вопросы не окажут помощи какому-то ученику. Тогда надо обратиться к дополнительным, более частным вопросам, так чтобы дойти до вопросов, соответствующих уровню развития и математической подготовке ученика. Переходить к частным, конкретным вопросам надо постепенно, чтобы на долю ученика досталась наибольшая часть работы по решению задачи. Задавая более частные, дополнительные вопросы, нужно учитывать следующее: вопросы должны быть такими, чтобы они направляли мысль ученика в нужную сторону, заставляя его активно мыслить над решением задачи. Разумеется, предлагая вопросы ученикам, надо предоставить время на обдумывание ответов на эти вопросы.
2. Проверка совпадения размерности ответа с требованием задачи. Например, при нахождении пути значение скорости (км/ч) умножается на значение времени (ч). Умножение наименований должно дать наименование длины (км).
3. Проверка симметричности ответа, если в условии задачи какие-то данные симметричны. Например, если уравнения, входящие в систему, симметричны относительно переменных, то и найденные значения различных переменных должны быть равны.
4. Проверка ответа по здравому смыслу. Например, скорость пешехода не может быть равной 15 км/ч, количество рабочих не может быть дробным и т. д.
5. Проверка с помощью грубой прикидки. При этом данные грубо округляются и выясняется порядок возможного результата.
6. Проверка с помощью обратной задачи или с помощью другого способа решения.
7. Проверка текстовых задач, решенных с помощью составления уравнения, по смыслу. При этом необходимо, чтобы все промежуточные величины, зависящие от х, которые появляются в ходе решения задачи, имели бы смысл при полученном значении переменной.
Приведенные формы проверки, кроме 6, не дают полной гарантии правильно найденного и выполненного решения, но, тем не менее, с ними полезно ознакомить учащихся.
В работах, посвященных самоконтролю, предлагается следующая этапность в формировании самоконтроля: контроль за деятельностью учителя, взаимоконтроль - контроль учащихся за деятельностью товарища, контроль за собственной деятельностью. При этом речь, как правило, идет о контроле над исполнительской деятельностью. Такая последовательность имеет достаточное основание. Деятельность контроля состоит в сопоставлении, в сравнении двух действий: своего и контролируемого, а не просто в выполнении действия. Еще труднее посмотреть под новым углом зрения на свое исполнение действия.
3 . Классификация задач. Роль алгоритмов и эв ристик в обучении решению задач
В современной методической и психологической литературе принята классификация задач. По характеру требования:
-- задачи с дидактическими функциями;
-- задачи с познавательными функциями;
-- задачи на геометрические преобразования;
По числу объектов в условии задачи и связей между ними:
По компонентам учебной деятельности:
Кроме того, различают задачи: стандартные и нестандартные; теоретические и практические; устные и письменные; одношаговые, двушаговые и др.; устные, полуустные, письменные и т.д.
При организации процесса обучения учащихся решению математических задач учитель сталкивается с вопросами: задачи какой сложности предложить ученикам, знакомы ли школьники с теми действиями, которые нужно применить при решении задач и т.п.
Если взять за основу следующую классификацию задач: на вычисление, на доказательство, на построение, на исследование, то такое деление не может быть инструментом в обучении школьников решению задач, потому что задачи этих видов не отличаются друг от друга уровнем сложности, характером деятельности человека по их решению. Например, в задачах на вычисление и построение приходится много доказывать, а в задачах на построение и доказательство приходится много исследовать и т.д., поэтому такая классификация задач ничего не дает. Кроме того, задачи делят на правильные, с противоречивыми данными, с лишними данными, теоретические и практические, стандартные и нестандартные и т.д.
В задаче выделяют основные компоненты:
2. Базис решения -- теоретическое обоснование решения;
3. Решение -- преобразование условия задачи для нахождения требуемого заключением искомого;
4. Заключение -- конечное состояние.
Математическими считаются все задачи, в которых переход от начального состояния (1) к конечному (4) осуществляется математическими средствами, т.е. математическим характером компонентов: обоснование (2) и решение (3).
Если все компоненты задачи (условие, обоснование, решение, заключение) -- математические объекты, то задача называется чисто математической, если математическими являются только компоненты решение и базис решения, то задача называется пр и кладной математической зад а чей.
На основе рассмотренной модели общего понятия задачи и ее основных компонентов строят дидактически направленную модель типологических особенностей задачи, зависящих от того, на каком этапе обучения эта задача предъявлена учащимся, какими знаниями и опытом обладают школьники в момент ее предъявления, в какой форме сформулирована задача и т.д.
Проблемный характер задачной системы определяется тем, какие из основных компонентов задачи неизвестны.
Стандартной называется задача, в которой четко определено условие, известны способ решения и его обоснование, а также даны упражнения на воспроизведение известного. Задача называется обучающей, если в ней неизвестен или плохо определен один из основных компонентов. Если неизвестны два компонента, задача назевается поисковой, а если три -- проблемной.
Если рассматривать задачи как объект мыслительной деятельности учащихся, важно учитывать характер связей между элементами задачи, соотношение между воспроизводящей и творческой деятельностью учеников при решении задач, которое во многом определяется указанными связями.
Классификация задач, учитывающая характер связей между элементами задачи, соотношение между воспроизводящей и творческой деятельностью учеников:
Алгоритмические задачи -- задачи, которые решаются с помощью непосредственного применения определения, теоремы, т.е. для решения которых имеется алгоритм. Например, задача на нахождение гипотенузы в прямоугольном треугольнике по известным катетам по формуле Пифагора. Применение алгоритма быстро и легко приводит к желаемому результату.
Полуалгоритмические задачи -- задачи, правила решения которых носят обобщенный характер и не могут быть полностью сведены к объединению элементарных актов. Связи между элементами этих задач легко обнаруживаются учениками. Полуалгоритмические задачи в качестве подзадач содержат алгоритмические задачи. Например, известны две стороны треугольника и высота, опущенная на третью сторону. Необходимо найти периметр треугольника.
Решая полуалгоритмические задачи, ученик учится «сворачивать» знания, фиксируя их в сознании крупными блоками. При этом он начинает применять усвоенные алгоритмы в разных ситуациях.
Эвристические задачи -- задачи, для решения которых необходимо выявить некоторые скрытые связи между элементами условия и требования или найти способ решения, причем этот способ не является очевидной конкретизацией некоторого обобщенного правила, известного ученику, или сделать и то и другое. Например, известны стороны треугольника. Нужно найти расстояние от середины высоты, проведенной к меньшей стороне, до большей стороны треугольника.
При решении эвристических задач ученик должен использовать эвристические приемы и методы.
Алгоритмические методы решения задач
Значительное количество задач предполагает при своем решений не творческую деятельность, а применение в основном определенного правила, формулы, определения, теоремы.
Например, для решения любого уравнения первой степени необходимо известные слагаемые перенести в правую часть, а слагаемые, содержащие неизвестные, перенести в левую часть, привести подобные члены и обе части уравнения разделить на коэффициент при неизвестном, если он отличен от нуля. Если он равен нулю, то поступают известным образом.
Приведенное правило - предписание алгоритмического типа, или алгоритм решения линейного уравнения. Правила сравнения чисел, действий над числами в различных числовых множествах, решения линейных, квадратных уравнений, неравенств - все это примеры алгоритмов. Под алгоритмом понимается точное общепонятное предписание о выполнении в определенной последовательности операций для решения любой из задач, принадлежащих некоторому классу.
Алгоритм может быть задан в виде таблицы, правила, формулы, определения, описания. Алгоритм может регламентировать действие с различной степенью подробности - свернутости, в зависимости от того, кому он предназначается. Если алгоритм предъявлен в форме последовательности команд, то это готовая программа действия. Приведем пример. Чтобы сложить десятичные дроби, нужно: 1) уравнять в этих дробях количество знаков после запятой; 2) записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой; 3) выполнить сложение, не обращая внимания на запятую; 4) поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях (Випенкин Н.Я. и др. Математика 5- М., 2000).
Если алгоритм задан в виде формулы, правила, таблицы, определения, то программы нет. Ее предстоит создать решающему задачу. Рассмотрим в качестве примера определение решения системы неравенств с переменной как значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство. Определение подразумевает следующие шаги решения системы неравенств: 1) решить каждое неравенство; 2) найти пересечение полученных множеств.
Алгоритмы можно разделить на алгоритмы распознавания и преобразования. Признаки делимости, рассмотренные ранее алгоритмы подведения под определение и под понятие являются примерами алгоритмов распознавания. Алгоритмы по применению формул являются алгоритмом» преобразования. Однако при применении конкретной формулы, например, квадрата суммы двух чисел, вначале происходит узнавание формулы, доказательство того, что выбор формулы сделан правильно, а затем производится собственно преобразование: актуализация формулы и использование ее по шагам. Описанная деятельность состоит из следующих шагов: 1) найти первый член двучлена; 2) найти второй член двучлена; 3) возвысить первый член двучлена в квадрат; 4) составить произведение первого и второго членов двучлена; 5) удвоить результат предыдущего шага; 6) возвысить второй член двучлена в квадрат; 7) результаты третьего, пятого и шестого шагов сложить.
Значительное число различных правил в школьных учебниках математики в последнее время сообщается учащимся в форме алгоритма с выделенной последовательностью шагов. Использование правила в этом случае представляет собой меньшую трудность для учащихся, чем использование правила при отсутствии выделенных шагов или если какие-то операции - шаги действия в предписании пропущены, только подразумеваются и должны быть восполнены учащимися самостоятельно.
Рассмотрим правило сложения чисел с разными знаками в следующей форме: чтобы сложить два числа с разными знаками, надо: 1) из большего модуля вычесть меньший; 2) поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.
Этот алгоритм требует от школьника доработки, т. к. в нем не обозначены шаги: найти модуль каждого числа; сравнить модули и выделить число с большим модулем; определить знак числа, имеющего больший модуль. Эти шаги отдельными учащимися легко выполняются, а для других их выделение представляет существенные трудности.
В отдельных случаях операции, входящие в состав действий, приведены в учебниках в описательной форме или показаны на примерах, и для осуществления действий учащимся требуется выделить операции - отдельные шаги действия самостоятельно, как, например, при составлении пропорций при использовании подобия треугольников.
Проблема составления алгоритмов по изученному материалу связана с рядом важнейших проблем обучения математике: применение теоретических знаний на практике и развитие алгоритмического мышления. Под алгоритмическим мышлением понимается особый аспект культуры мышления, характеризующийся умением составлять и использовать различные алгоритмы.
Составлению, выделению алгоритмов необходимо специально обучать.
Это может происходить с помощью проведения обобщений при решении нескольких аналогичных задач. Необходимо обучать чтению формул словами, необходимо обучать переходу от речевой, формы в аналитическую и обратно, необходимо обучать строить программы действий в тех случаях, когда материал в книге или в рассказе предъявлен в описательной форме. Это и будет означать обучение применению теоретических знаний на практике и развитие алгоритмического мышления. Необходимо также обучать разворачивать, дополнять алгоритмы, предъявленные в готовой форме.
При использовании готовых алгоритмов целесообразно пользоваться компактным методом. Метод состоит в том, что (алгоритм) правило произносится по частям, на которые оно разбито по смыслу, и каждая операция выполняется вслед за произнесением соответствующего текста (пример приведите самостоятельно). Тем самым обеспечивается сознательное усвоение соответствующего правила. Компактный метод противопоставляется раздельному, когда произнесение правила целиком и его применение следуют друг за другом.
Вторая рекомендация по использованию алгоритмов вытекает из положений теории деятельности. Она заключается в требовании проведения всех операций, содержащихся в алгоритме (правиле) во внешнем плане и в развернутой форме, т. е. в написании и проговаривании всех операций без пропусков.
Типовые (полуалгоритмические) задачи и методы их решения
Рассмотрим две задачи, которые можно решить с помощью одной и той же теоретической базы - с помощью векторов.
ЗАДАЧА 1. Доказать, что диагонали ромба перпендикулярны.
Пусть ABCD - ромб. Для доказательства введем два неколлинеарных вектора: ВА и ВС и выразим векторы АС и В D , расположенные на диагоналях, через введенные:
Чтобы доказать перпендикулярность векторов АС и BD, достаточно доказать равенство нулю их скалярного произведения.
Равенство нулю скалярного произведения двух ненулевых векторов говорит о том, что косинус угла между ними равен 0°, а значит, угол между векторами - прямой, т. е. прямые, на которых располагаются рассматриваемые векторы, перпендикулярны.
ЗАДАЧА 2. Доказать с помощью векторов свойство средней линии трапеции.
Пусть АВСО - трапеция, точки Е и F -середины отрезка АВ и CD соответственно.
Введем векторы и выразим вектор EF из двух многоугольников:
Сложим почленно полученные равенства:
Последнее равенство можно интерпретировать следующим образом: т. к. векторы ВС и AD коллинеарны по определению трапеции, то и вектор EF также коллинеарен им, т. к. является линейной комбинацией этих векторов, а значит, отрезок EF параллелен основаниям трапеции. Т. к. векторы ВС и AD сонаправлены, то длина вектора равна сумме длин векторов ВС и AD и, следовательно, длина вектора EF равна полусумме длин векторов ВС я AD . А значит, длина отрезка EF соответственно равна полусумме длин отрезков ВС и AD .
Что можно заметить на примере решения приведенных двух задач? При их решении можно выделить одинаковую схему - одинаковые шаги решения, а именно:
переформулирование условия и требования задачи на язык векторов;
решение вновь сформулированной задачи с помощью векторного аппарата (определений, законов действий и т. д.);
интерпретирование результатов, полученных на языке векторов, на обычный геометрический язык.
По выделенной схеме решается как первая, так и вторая задача. По этой же схеме с помощью векторного аппарата можно решить многие геометрические задачи. Перечисленные шаги образуют прием решения задач векторным методом.
Этот прием учитель может представить ученикам в готовом виде. Но большую познавательную ценность имеет работа по самостоятельному выделению учащимися под руководством учителя шагов приведенного приема. Некоторые методисты отрицательно относятся к решению типовых задач как к натаскиванию. Однако учащиеся, знакомые с приемом, умеют решить не одну конкретную задачу, а целый класс задач, к которым они подходят с более высоких позиций обобщения учебного материала. Материал лучше структу
Задачи в школьном курсе математики лекция. Педагогика.
Отчет по практике по теме Система менеджмента качества на ОАО "Серовский завод ферросплавов"
Рыхлая Соединительная Ткань И Ее Особенности Реферат
Национальное Искусство И Философия Эссе
Курс Лекций На Тему Управление Сложными Системами
Реферат: Демографічна ситуація в Україні
Клише Для Вывода В Сочинении
Курсовая работа: Цикличность развития экономики и экономические кризисы. Скачать бесплатно и без регистрации
Собрание Сочинений В Томах Fb2 Торрент
Сочинение Обычный Человек 9 Класс
Сочинение по теме Анализ поэтического сборника В.Ф. Ходасевича "Путем зерна"
Дипломная работа по теме 9-и этажный 3-х секционный жилой дом в г. Вологде
Высшая Школа Реферат
Реферат: Значення пізнавальних процесів в роботі юриста
Учебное пособие: Психологическая диагностика Акимова М К
Сочинение: Удивительное рядом
Доклад: Технические приемы против размера
Дипломная работа по теме Образование как социальный институт
Контрольная Работа По Гидросфере 6 Ответы
Реферат На Тему Циклотронний Резонанс
Дипломная работа по теме Оценка рыночной стоимости производственно-административного здания
Методы управления стрессами в туристической организации ООО "Сеть Магазинов Горящих Путевок" и его персонала - Менеджмент и трудовые отношения дипломная работа
Построение организационной структуры - Менеджмент и трудовые отношения курсовая работа
Профилактика и психические расстройства при бруцеллезе. Бруцеллез у животных - Медицина реферат