Задачи по теоретической механике кинематика точки

Скачать файл - Задачи по теоретической механике кинематика точки

В задачах данного раздела определяются координаты, скорость, ускорение точки в любой назначенный момент времени при различных способах задания движения. Из всех способов задания движения точки наибольшее распространение получили координатный и естественный способы. Рассмотрим вначале координатный способ задания движения точки. Положение в пространстве движущейся точки определяется тремя координатами в декартовой системе координат. Эти координаты задаются как функции времени: Зависимости 1 называются уравнениями движения точки в декартовых координатах. Если движение точки происходит в плоскости ху , то задаются только два уравнения движения: При прямолинейном движении точки достаточно задать одно уравнение движения: Скорость точки представляет собой вектор, характеризующий быстроту и направление движения точки в данный момент времени. При задании движения точки уравнениями 1 проекции скорости на оси декартовых координат равны: Направление скорости определяется направляющими косинусами: Если движение точки задается в плоскости ху , то ;. При прямолинейном движении по оси х: Характеристикой быстроты изменения скорости является ускорение а. Ускорение точки равно производной от вектора скорости по времени: При задании движения точки уравнениями 1 проекции ускорения на координатные оси равны: Направление ускорения определяется направляющими косинусами. При прямолинейном движении по оси х. Далее рассмотрим естественный способ задания движения точки. Считается, что движение точки задано естественным способом, если указаны ее траектория и закон изменения криволинейной координаты. При этом на траектории указывается начало отсчета, а также положительное направление отсчета координаты s в виде стрелки. Модуль скорости точки определяется по формуле. Вектор скорости V направлен по касательной к траектории в сторону стрелки , если , и в противоположную сторону, если. Ускорение точки определяется как векторная сумма касательного и нормального ускорений точки: Модуль касательного ускорения определяется по формуле. Модуль нормального ускорения определяется по формуле. Если движение точки задано координатным способом, то можно определить параметры движения, характерные для естественного способа задания движения. Так можно, например, по уравнениям движения точки 1 найти уравнение ее траектории в форме зависимости между координатами. Для этого надо из уравнений движения исключить время t. Затем можно найти закон движения точки по траектории , используя формулу 4. В законе движения 8 за начало отсчета координаты s принимается начальное положение точки, когда. Рассмотрим случай, когда движение точки задается в полярных координатах. Пусть точка М движется все время в одной и той же плоскости. Следовательно, закон движения точки в полярных координатах будет задаваться уравнениями. Формулы 9 и 10 определяют скорость точки в полярных координатах при плоском движении. Рассмотрим примеры решения задач. Определить скорость этой точки. Подставив эти значения в уравнение эллипса, получим. Из последнего равенства для радиуса-вектора имеем. Воспользовавшись формулами 1 и 2 , найдем радиальную и трансверсальную составляющие скорости. Рассмотрим методику решения задач, в которых движение точки задано координатным способом. Уравнения 1 определяются либо из геометрических условий, либо в результате интегрирования дифференциальных уравнений движения точки. Получение уравнений 1 с использованием геометрии движения рассмотрим на примере исследования движения точки обода колеса. Найти уравнения движения точки М обода колеса радиуса R вагона, который движется по прямолинейному участку пути со скоростью V. Колесо катится без скольжения. Точка М в начальный момент движения соприкасалась с рельсом, то есть занимала положение М 0 рис. Изобразим на расчетной схеме рис. Рассмотрим два положения колеса: Отметим положение точки М на ободе колеса и положение центра С колеса в момент t , координаты точки: Расстояние от центра колеса до рельса остается постоянным и равным R ; это значит, что центр C колеса движется по прямой, параллельной оси х. Чтобы получить уравнения движения точки М , надо координаты этой точки представить как функции времени. Из расчетной схемы рис. Из треугольника МЕС имеем;. Теперь уравнения 12 будут иметь вид. Полученные уравнения представляют собой уравнения движения точки М. В аналитической геометрии показано, что это параметрические уравнения циклоиды параметром в данном случае является время t. Таким образом, траектория точки обода колеса, движущегося по прямолинейному участку пути без проскальзывания, является циклоидой. Длина одной ветви циклоиды L рис. Даны уравнения движения точки: Определить уравнение траектории и построить ее. Определить начальное положение точки на траектории. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки. Построить график движения точки. Это — уравнение прямой линии. Для построения прямой представим ее уравнение в отрезках. Через полученные точки проводим прямую рис. В момент пересечения точкой оси у координата х равна нулю, а первое уравнение системы 13 примет вид: В момент пересечения точкой оси х координата у равна нулю, а второе уравнение системы 13 примет вид: Но косинус не может быть больше 1. Следовательно, точка не пересекает ось х см. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой 8. За начало отсчета координаты s примем начальное положение точки М 0. Это направление движения точки примем за положительное направление отсчета координаты s см. Из закона 14 следует, что координата s не может быть отрицательной, то есть точка движется по полупрямой М 0 М рис. График движения точки — это графическое представление зависимости расстояния s от времени t. Для построения такого графика по оси абсцисс откладывают последовательные значения времени t , а по оси ординат — соответствующие им значения расстояния s. Построенные точки соединяют плавной линией. График зависимости 14 можно построить быстрее, если воспользоваться известным графиком косинуса. Определить начальное положение точки на ее траектории. Определить время T прохождения точкой полной окружности. Чтобы найти уравнение траектории точки необходимо из уравнений движения 15 исключить время t. За начало отсчета координаты s примем точку М 0. Из системы уравнений 18 видно, что с увеличением времени t от нуля x уменьшается, а y увеличивается. Такое возможно, если после выхода из начального положения точка будет двигаться по окружности против часовой стрелки. Определим время Т прохождения точкой полной окружности. Т — время, по истечении которого s в формуле 16 станет равным длине окружности: Определить уравнение траектории точки. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже. Уравнение траектории получается подстановкой в первое уравнение системы 17 величины , полученной из второго уравнения этой системы: Для заданного движения 17 имеем. Траектория точки 18 представляет собой косинусоиду. Для построения траектории найдем по уравнению 18 пять точек, задавшись пятью значениями у: По этим точкам построена траектория на рис. Для этих положений точки построим векторы скорости и ускорения. Вдоль этих осей от точки М 1 отложим отрезки, равные проекциям V 1x и V 1y с учетом их знаков ; затем построим прямоугольник, диагональ которого есть вектор. Для того чтобы получить уравнение траектории, необходимо из уравнений движения 19 исключить время. Запишем эти уравнения в виде. Возведем оба уравнения в квадрат, вычтем второе из первого и получим уравнение траектории: Построим траекторию точки по уравнению Действительной осью гиперболы является ось х рис. Вектор скорости построим следующим образом: Диагональ прямоугольника, построенного на этих отрезках, есть вектор. Затем на этих отрезках строим прямоугольник, диагональ которого есть вектор. Даны уравнения движения точки М шатуна АВ кривошипно-ползунного механизма рис. Чтобы определить уравнение траектории, следует исключить время из уравнений движения Траектория представляет собой эллипс с полуосями 20 см и 40 см. Определить моменты остановки точки. Определить путь, пройденный точкой за 10 с. Определим проекцию скорости на касательную , учитывая 22 ,. Теперь отложим найденные проекции скорости из точек M 0 и M 1 по соответствующим касательным: Определим проекции ускорения на естественные оси координат, учитывая 22 ,. Отложим из точек М 0 и М 1 по естественным осям проекции , , ,. Чтобы найти моменты остановки, необходимо найти время , когда скорость точки равна нулю. Из уравнения 23 получим. Поскольку за 10 с точка сделала две остановки см. Путь, пройденный точкой за 10 сек , равен. По заданным уравнениям движения точки: В момент времени сек.: По полному ускорению 26 и касательному ускорению 27 найдем модуль нормального ускорения точки для сек. Даны уравнения движения точки в плоскости xy: Задача относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах координатный способ задания движения точки , а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу. Из уравнения движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки параболы, рис. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси. Аналогично найдем ускорение точки. Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения 32 , определены и даются равенствами 30 и Ускорение находим по его касательной и нормальной составляющим. По заданному уравнению движения точки М. Определяем вид траектории движения точки М. Движение точки М задано векторным способом. Выберем систему отсчета xoy рис. Соединяя концы радиусов-векторов , получим траекторию точки М. Рисунок показывает, что траекторией движения является луч, параллельный оси x , с началом в точке М 0. Скорость точки М находим по формуле. По заданным уравнениям движения точки М. Движение точки М задано координатным способом. Траекторией движения точки М является эллипс рис. Центр эллипса С имеет координаты. В точке М 1 параллельно осям x , y , в выбранном масштабе, откладываем. Величину скорости точки М найдем по ее проекциям на координатные оси: Поскольку величина скорости зависит от времени , то движение точки неравномерное. Выберем масштаб и построим вектор скорости в положении М 1 по составляющим и. Модуль ускорения точки М определяем аналогично. Выберем масштаб, построим вектор ускорения рис. Вектор ускорения должен лежать в плоскости траектории и направлен в сторону ее вогнутости. Проведем через точку М 1 рис. Разложим полное ускорение на составляющие вдоль этих осей. Аналитически касательное ускорение определяется по формуле. Если — движение ускоренное,. Если — движение замедленное. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. В случае криволинейного движения, оно всегда существует и определяется по формуле. Радиус кривизны параболы в точке М 1 найдем из выражения. Установить вид движения точки М в этот момент времени. Траектория движения точки М — окружность радиуса 2м. Воспользуемся естественным способом задания движения точки. Выберем на траектории какую-нибудь неподвижную точку О рис. Положение точки М на траектории определим дуговой координатой S , которая с течением времени будет изменяться по закону. На траектории получим точку М 1. Исходные данные в см и сек: Уравнения движения 37 являются параметрическими уравнениями траектории точки М. Чтобы получить уравнение траектории в обычной координатной форме, исключим время t из уравнений движения. Для определения скорости точки находим проекции скорости на оси координат: Аналогично проекции ускорения точки. Касательное ускорение находим путем дифференцирования модуля скорости Пользуясь уравнением 38 , строим траекторию рис. Определить полное ускорение в начале и конце движения. В задаче рассматривается равнопеременное движение точки. Определим касательное ускорение из уравнений: Так как равномерно замедленное, то касательное ускорение в течени и всего времени движения постоянно. Уравнение движения тела имеет вид. Определить ускорение a 0 и скорость тела v 0 в начальный момент времени, а также среднее ускорение a ср за первые 5 секунд движения. Максимальная высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту, может быть найдена из общей формулы пути при равнопеременном движении в проекции на вертикальную ось. Неизвестную проекцию начальной скорости на вертикальную ось v 0 y можно найти из формулы скорости при равнопеременном движении в проекции на вертикальную ось: Вычтем почленно 4 из 3 , и с учетом 2 получим: Из 5 находим v 0y: Далее из 1 находим высоту подъема: Из формулы связи углового и линейного тангенциального ускорения найдем: Нормальное ускорение найдем из формулы , где скорость. Теперь находим полное ускорение: Даны уравнения движения точки в плоскости ху: Для определения траектории исключим из заданных уравнений движения время t , воспользовавшись подстановкой: Найдем проекции вектора скорости на оси координат: Найдем проекции вектора ускорения: Касательное ускорение найдем по формуле. Пользуясь уравнением траектории, вычерчиваем параболу рис. Уфа, почтовый ящик

Задачи по теоретической механике кинематика точки

Скачать файл - Задачи по теоретической механике кинематика точки

Теоретическая механика Типовые задачи и методы решения кинематика

Теоретическая механика Типовые задачи и методы решения кинематика

Теоретическая механика Типовые задачи и методы решения кинематика

Теоретическая механика Типовые задачи и методы решения кинематика

Report Page