Задачи на максимум и минимум в геометрии - Математика курсовая работа
Главная
Математика
Задачи на максимум и минимум в геометрии
История, понятия и методы решения задач на экстремум. Знаменитые задачи на максимум и минимум: Кеплера, Фаньяно, Дидоны и Ферма–Торричелли–Штейнера. Аналитический и геометрический методы как более подходящие инструменты решения с научной точки зрения.
посмотреть текст работы
скачать работу можно здесь
полная информация о работе
весь список подобных работ
Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
ФГАОУ ВПО «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Факультет естественнонаучного и математического образования
Кафедра геометрии и методики преподавания математики
Задачи на максимум и минимум в геометрии
1. Задача на экстремум в математике
1.1 История решения задач на экстремум
1.3 Методы решения задач на экстремум
1.4 Примеры геометрических экстремумов
2. Знаменитые задачи на максимум и минимум
2.4 Задача Ферма - Торричелли - Штейнера
Данная работа посвящена рассмотрению темы «Задачи на максимум и минимум в геометрии».
Задачи на максимум и минимум в геометрии или, как их называют по - другому, задачи на экстремум в геометрии можно признать особенно важными для самой математике и ее приложений. О таких задачах писал великий русский математик П.Л. Чебышев. Он указывал, что «практическая деятельность человека представляет чрезвычайное разнообразие, и для удовлетворения всех ее требований, разумеется, недостает науке многих и различных метод. Но из них особенную важность имеют те, которые необходимы для решения различных видоизменений одной и той же задачи, общей для всей практической деятельности человека: как располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды?» [2, 6] П. Л. Чебышев добавляет: «Решение задач этого рода составляет предмет так называемой теории наибольших и наименьших величин. Эти задачи, чисто практического характера, имеют особенную важность и для теории: все законы, определяющие движение материи весомой и невесомой, представляют решение задач этого рода. Нельзя не заметить особенно благотворного влияния их на развитие наук математических». [2, 6]
Задачи на экстремум используются не только в алгебре или геометрии, но они часто встречаются и в природе.
Охарактеризуем методологический аппарат исследования:
· объект исследования: задачи на экстремум;
· предмет исследования: решение задач на минимум и максимум в геометрии;
· цель исследования заключается в рассмотрении задач на экстремумы, рассмотрение истории, понятий и методов решения задач на экстремум;
1. изучить представленную научную литературу;
2. описать историю решения задач на экстремум;
3. описать понятия задач на экстремум;
4. рассмотреть методы решения задач на экстремум;
5. рассмотреть задачи Кеплера, Фаньяно, Дидоны, Ферма - Торричелли - Штейнера;
Курсовая работа состоит из введения, двух частей, заключения и списка литературы. Общий объем курсовой работы составляет 35 страниц. Из них 29 страниц основной текст, 1 страницы список литературы.
Во введении: обосновывается актуальность исследования, определяются объект и предмет курсовой работы, формулируется цель, указываются задачи исследования.
Первая часть: посвящена теоретическому материалу по задачам на экстремум, выявлению основных понятий и методов решения.
Вторая часть: посвящена решению исторических геометрических задач.
В заключении: обобщены результаты исследования, удовлетворяющие поставленным во введении задачам.
В приложении представлены: биография Иоганна Кеплера и решена задача на экстремум.
1. Задача на экстремум в математике
1.1 История решения задач на экстремум
Экстремальными задачами человек интересуется с античных времен. В Древней Греции уже давно (во всяком случае до VI века до н.э.) знали об экстремальных свойствах круга и шара: среди плоских фигур с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет круг (среди пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности (решение изопериметрической экстремальной задачи); шар имеет максимальный объем (решение изопифанной экстремальной задачи). История сохранила легенду о следующей самой древней экстремальной задаче, известной как задача Дидоны. Финикийская царевна Дидона (IX век до н.э.) решила организовать поселение на берегу понравившегося ей залива в Северной Африке. Она уговорила вождя местного племени отдать ей клочок земли, который можно охватить воловьей шкурой. Воины Дидоны разрезали шкуру на тонкие полоски, и Дидона охватила ремнем, составленным из этих полосок, участок земли на берегу залива. Так возник город Карфаген. Задача Дидоны состоит в указании формы границы участка, имеющей заданную длину, при которой площадь участка максимальна. Если знать экстремальное свойство круга, то решение получается немедленно: граница участка представляет часть окружности, имеющей заданную длину. Экстремальными задачами занимались многие античные ученые (Евклид, Архимед, Аристотель и др.). Известна следующая задача Евклида (IV век до н.э.): в заданный треугольник ABC вписать параллелограмм ADEF наибольшей площади. Нетрудно доказать, что решением этой задачи является параллелограмм, вершины D, E, F которого делят соответствующие стороны треугольника пополам.
После гибели античной цивилизации научная жизнь в Европе стала возрождаться только в XV веке. Задачи на экстремумы оказались среди тех, которыми интересовались лучшие умы того времени. Если в античные времена задачи на экстремумы исследовались только геометрическими методами и каждая задача для своего решения требовала специфического приема, то в XVII веке появились общие методы изучения задач на экстремумы, которые привели к созданию дифференциального и интегрального исчислений. Первые элементы математического анализа были созданы И. Кеплером (1615 год), который так описывает появление своего открытия: "Мне как хорошему хозяину следовало запастись вином. Я купил его несколько бочонков. Через некоторое время пришел продавец - измерить вместимость бочонков, чтоб назначить цену на вино. Для этого он опускал в каждый бочонок железный прут и, не прибегая ни к какому вычислению, немедленно объявлял, сколько в бочке вина". После размышлений Кеплер открыл секрет такого простого способа измерения объема бочек. Оказалось, что бочары за долгую историю научились изготавливать бочки такой формы, при которой они имели наибольший объем при заданной длине мокрой части прута. А поскольку в окрестности максимума значения функции изменяются мало (в этом суть открытия И. Кеплера), то торговец вина почти не ошибался при объявлении объема бочки по одному измерению.
Открытое И. Кеплером основное свойство экстремумов было затем оформлено в виде теоремы сначала П. Ферма (для многочленов), потом И. Ньютоном и Г.В. Лейбницем для произвольных функций и носит теперь название теоремы Ферма, согласно которой в точке экстремума x0 непрерывной функции f (x) производная функции равна нулю:
С тех пор исследование функций с помощью анализа бесконечно малых величин стало одним из мощнейших математических методов и привело к созданию современного математического анализа.
Экстремум (лат. extremum -- крайний) в математике - максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум - точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум - точкой максимума.
Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1 < x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).
Точка x0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки x0, для всех точек которой верно неравенство f(x) f(x0) (f(x) ? f(x0)).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.
Необходимые условия экстремума. Если точка x0 является точкой экстремума функции f(x), то либо f '(x0) = 0, либо f (x0) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.
Первое достаточное условие. Пусть x0 - критическая точка. Если f '(x) при переходе через точку x0 меняет знак плюс на минус, то в точке x0 функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x0 экстремума нет.
Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f '(x) в окрестности точки x0 и вторую производную в самой точке x0. Если f '(x0) = 0,
f”(x0) > 0, то точка x0 является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же f”(x0) = 0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.
Экстремальные задачи - задачи на максимум и минимум - во все времена привлекали внимание учёных. Из попыток решить ту или иную экстремальную задачу возникали и развивались новые теории, а иногда и целые направления математики.
Максимумы и минимумы постоянно возникают в инженерных расчётах, в архитектуре, экономике и т.д. Кроме того, экстремальные задачи самым неожиданным образом находят применение в науках о природе: физике, химии, биологии. Давно уже было замечено, что окружающий мир во многом устроен по экстремальным законам. Леонард Эйлер (1707-1783), один из величайших математиков, говорил: «В мире не происходит ничего, в чём бы не был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума». С экстремальными задачами человек начинает знакомиться в средней школе. Вот, пожалуй, самая известная из них: на плоскости дана прямая l и точки A и B по одну сторону от неё. Найти на прямой точку M, для которой сумма AM + BM наименьшая.
Для решения отразим точку B относительно прямой l, получим точку B?.
Отрезок BM переходит при симметрии в отрезок B?M, следовательно, AM + BM = AM + B?M. Согласно неравенству треугольника, сумма AM + B?M принимает наименьшее значение, когда точка M лежит на отрезке AB?. Таким образом, M - точка пересечения прямой l с отрезком AB?; для этой точки сумма AM + BM равна длине отрезка AB?, при другом выборе точки M эта сумма будет больше AB?.
С её помощью можно объяснить закон отражения света «угол падения равен углу отражения», поскольку в однородной среде свет распространяется по кратчайшему пути. Кроме того, эта простая задача лежит в основе так называемых фокальных свойств конических сечений -- эллипса, гиперболы и параболы.
Считается, что впервые задача о кратчайшем пути между двумя точками с заходом на прямую, или задача об отражении света, была решена древнегреческим математиком Героном Александрийским (I век н. э.) в трактате «О зеркалах». Поэтому её иногда называют задачей Герона. Её можно интерпретировать и как сугубо практическую: где на прямой дороге нужно поставить автобусную остановку, чтобы суммарный путь до неё от деревень A и B был наименьшим?
1.3 Методы решения задач на экстремум
Различны и многообразны приёмы и методы решения задач на экстремумы, как аналитические (перебора, оценки, неравенств и др.) так и геометрические (преобразование плоскости, оценка, перебор). Каждый метод по - своему уникален и неповторим. Эти приёмы можно отнести к элементарным, т.к. они не предполагают применения математического анализа, а ограничиваются алгебраическим или геометрическим подходом к решению задачи на экстремум. Каждый их таких элементарных приемов является мостиком к решению не большого класса задач на экстремум. Кроме того, применение этих методов для ряда задач будет более рационально, чем использование инструментов математического анализа.
Рассмотрим основные методы решения задач на экстремумы и их применение при решении конкретных задач.
Общий прием решения задач на экстремум опирается на теорему Ферма: Если функция y = f(x) (имеющая производную) при х ~ х0 принимает локальный максимум или минимум, то производная от этой функции при х = х0 обращается в 0.
Геометрически это означает, что касательная к графику функции в соответствующей точке его параллельна оси ОХ.
Теорема Ферма очень наглядна. И все же докажем ее.
Пусть х0 -- точка максимума функции у = f (x), то есть при х = х0 эта функция принимает наибольшее значение. Дадим х0 достаточно малое положительное приращение h. Новое значение аргумента х0 + h будет достаточно близким к х0, и так как при х = х0 данная функция имеет максимум, то (xo + h) - f(х0)0. Поэтому , а значит .
Если же дать х0 отрицательное приращение (достаточно малое по абсолютной величине), то получим: f(х0 + h) - f(х0) 0 и , а значит, 0.
Оказалось, что одно и то же число f'(x) не положительно и неотрицательно. Это означает, что это число равно 0, то есть f'(х0) = 0. Рассуждения в случае минимума аналогичны.
Решение задач на экстремумы с помощью основного метода.
Чтобы проиллюстрировать рассмотренный общий прием решения задач на экстремумы, возьмем пример задачи о прямоугольнике наибольшей площади.
Из куска, стекла, имеющего указанные на рисунке форму и размеры, нужно вырезать прямоугольную пластину наибольшей площади.
Площадь пластины S = ху. За независимое переменное примем
х (0х100). Тогда из подобия треугольников ABE и CDE следует: или , откуда у = х + 80. Поэтому S = х2 + 80х. Исследуем эту функцию на экстремум. S' = х + 80, х + 80 =0, х = 200.
Найденное значение х выходит из промежутка изменения х. Поэтому внутри этого промежутка стационарных точек нет. Значит, наибольшее значение S принимает в одном из концов промежутка, а именно при х = 100 мм, а тогда у = 60 мм и S = 6000 мм2.
1.4 Примеры геометрических экстремумов
Если обратиться к геометрическим задачам на экстремумы, решаемым с помощью геометрических средств, то окажется, что используемые здесь приемы особенно разнообразны. Для нахождения экстремумов геометрических величин могут быть использованы многие теоремы геометрии.
Задача 1. Дан угол ABC и внутри него точка D. Требуется построить треугольник, две вершины которого лежали бы соответственно на сторонах данного угла, а третьей вершиной была бы точка D, и который имел бы наименьший периметр.
Возьмем произвольный треугольник DKL, две вершины которого лежат соответственно на сторонах ВА и ВС, а третьей вершиной служит точка D (рис. 3). Построим точки Е и F симметричные точке D относительно сторон угла ВА и ВС, и соединим отрезками прямой эти точки соответственно с вершинами К и L треугольника. Так как КЕ = KD и LF = LD, то длина ломаной EKLF равна периметру треугольника DKL. Но нас интересует треугольник с наименьшим периметром, а наименьшим будет периметр, равный длине отрезка EF. Поэтому вершины К1 и L2 искомого треугольника определяются как точки пересечения прямой EF со сторонами данного угла (рис. 4).
Задача 2. Какой из треугольников с двумя данными сторонами имеет наибольшую площадь?
Построим отрезок АС, равный одной из данных сторон. Из конца его Л, как из центра, радиусом, равным второй данной стороне, опишем окружность. На этой окружности возьмем произвольную точку В (не лежащую на прямой АС). Соединив эту точку В отрезками с точками Л и С, получим треугольник с двумя данными сторонами (рис. 4). Из всех таких треугольников наибольшую площадь будет иметь тот, у которого высота hb будет наибольшей. Но наибольшее возможное значение высоты равно длине радиуса окружности (АВ1). Поэтому наибольшую площадь из всех треугольников с двумя данными сторонами имеет такой, в котором эти стороны образуют прямой угол.
Задача 3. Внутри угла А дана точка О. Требуется провести прямую через точку О так, чтобы она отсекла от угла А треугольник с наименьшим периметром. Впишем в данный угол окружность, проходящую через данную точку О (из двух таких окружностей возьмем ту, радиус которой больше, рис. 5). Через точку О проведем касательную MN к этой окружности. Эта касательная и отсечет треугольник наименьшего периметра. Докажем это. Проведем через О какую-нибудь иную прямую ED, пересекающую стороны угла (она пересечет и дугу ВОС). Сравним периметр треугольника AED с периметром треугольника AMN.
Для этого построим еще касательную KL к дуге ВОС, параллельную ЈD. Сравним периметры треугольников AMN и AKL. Они равны, так как каждый из них равен сумме отрезков АВ и АС. Но периметр треугольника AED больше периметра треугольника AKL, а значит, больше и периметра треугольника AMN.
Задача 4. Внутри угла А дана точка О. Требуется провести через О прямую так, чтобы она отсекла от угла треугольник наименьшей площади.
Искомой прямой будет такая прямая ВС, отрезок которой, заключенный между сторонами угла, делится точкой О подолам (рис. 6). Для доказательства построим еще какую-нибудь прямую, проходящую через О и пересекающую стороны угла. Сравним площади треугольников ABC и AED, Если через С провести прямую, параллельную ЕВ, то получим треугольник OCF, равный треугольнику ЕВО, Поэтому площадь треугольника OCD больше площади треугольника ОЕВУ и, значит, площадь треугольника ABC меньше площади треугольника AED.
Задача 5. Дан треугольник ABC и внутри него две точки D и Е (рис. 7). Как кратчайшим путем пройти из одной точки в другую, побывав на каждой стороне треугольника?
Выполним следующее построение. Построим точки D1 и Е1 симметричные D и Е относительно АС и ВС.
Построим также точку D2, симметричную D1 относительно АВ. Проведем отрезок D2E1 и построим ломаную DMKLE. Длина ее равна длине отрезка D2E1. Легко сообразить, что всякий иной путь из D в Е, с тем же порядком захода на стороны данного треугольника, будет длиннее. Но можно было бы порядок захода на стороны треугольника избрать иной (выполнив такие же построения). Всего таких ломаных линий, как DMKLE, получится три. Останется выбрать из них имеющую наименьшую длину, для чего достаточно сравнить три таких отрезка, как D2E1.
Задача 6. Рассмотрим еще задачу об экономном расходовании материалов. Попытаемся установить, для какой крыши (двускатной или четырехскатной) потребуется больше кровельного материала.
Будем считать, что оба ската двускатной крыши наклонены к горизонтальной плоскости под углом , скаты 1 и 2 четырехскатной крыши - под тем же углом , а 3 и 4 - под углом (рис. 8). При этих предположениях и указанных на чертеже размерах площадь двускатной крыши будет равна S1 = , а четырехскатной - S2 = .
Для сравнения этих площадей рассмотрим разность S2 - S1 = bm( Здесь b > 0, m > 0, 0 < < 90° и 0 < < 90°. Поэтому при < получим S2 - S1 < 0, при = будем иметь S2 -- S1 = 0, а при > S2 -- S1 < 0. Следовательно, если все скаты как двускатной, так и четырехскатной крыш будут одинаково наклонены к горизонтальной плоскости, то кровельного материала понадобится одинаково на обе крыши. Если же скаты 3 и 4 четырехскатной крыши будут иметь больший угол наклона, чем скаты 1 и 2, то для четырехскатной крыши кровельного материала понадобится больше, чем для двускатной, а при меньшем угле - меньше.
2. Знаменитые задачи на максимум и минимум
«По обе стороны от места наибольшего значения убывание вначале нечувствительно». - И. Кеплер.
«Когда историю жизни Кеплера сопоставляешь с тем, кем он стал и что он сделал, радостно изумляешься и при этом убеждаешься, что истинный гений преодолевает любые препятствия», -- писал Гёте. [4, 51]
Кеплер описывает событие из своей жизни, случившееся осенью 1613 года, в книге «Стереометрия винных бочек». «В ноябре прошлого года я ввел в свой дом новую супругу в то время, когда Австрия, закончив обильный сбор благородного винограда, распределяла свои богатства. Весь берег в Линце был завален винными бочками, продающимися по сходной цене. Поэтому ко мне на дом было принесено и поставлено несколько бочек, а через четыре дня пришел продавец и промерил подряд все кадки, без различия, не обращая внимания на форму, без всяких соображений и вычислений. Медный наконечник линейки просовывался через наливное отверстие полной бочки поперек до пятки того и другого деревянного круга, которые мы по - домашнему называем днищами, и после того, как в обоих случаях эта длина от верхней точки до нижней того и другого дощатого круга оказывалась равной, продавец объявлял количество амфор, вмещаемых бочкой, заметив лишь число на линейке в том месте, на котором оканчивалась заданная длина. Я удивился». Кеплеру показалось странным, как с помощью одного измерения можно вычислить вместимость бочек разной формы. «Я, как новобрачный, счел для себя подходящим, -- пишет далее Кеплер, -- взять новый предмет математических занятий, и исследовать геометрические законы такого удобного в домашнем хозяйстве измерения, и выяснить его основания, если таковые имеются». Для выяснения «такого рода оснований» Кеплеру пришлось заложить основы дифференциального и интегрального исчисления, а заодно выдвинуть новые идеи для решения задач на максимум и минимум. Ключевое место в книге «Стереометрия винных бочек» занимает теорема V части второй: «Из всех цилиндров, имеющих одну и ту же диагональ, самым большим и вместительным будет тот, в котором отношение диаметра основания к высоте равно ».
Иначе говоря, в этой теореме дается решение следующей задачи: вписать в заданный шар цилиндр наибольшего объема. К нему естественно примыкает планиметрический вариант: вписать в заданный круг прямоугольник наибольшей площади.
Первую из сформулированных задач мы называем далее задачей Кеплера, вторую -- планиметрической задачей Кеплера. Сначала решим задачу Кеплера методом, которым решил бы ее Тарталья. Пусть шар имеет радиус R. Половину высоты цилиндра обозначим через х. Тогда радиус г основания цилиндра равен и объем цилиндра равен 2(). А у Тартальи было .
Тогда из формулы предыдущего рассказа получим, что максимальное х' = , r' = = R. Таким образом, отношение диаметра основания экстремального цилиндра к высоте равно .
Но Кеплер именно так и сформулировал, как мы видели, свой результат. Кеплер мог бы воспользоваться своей же идеей о нечувствительности изменения функции вблизи максимума. Но он прошел мимо этой возможности и дал чисто геометрическое решение. Вопрос о наиболее вместительном цилиндре, вписанном в шар, Кеплер сводит к решению следующей задачи на максимум: из всех прямоугольных параллелепипедов с квадратными основаниями, вписанных в шар, куб имеет наибольший объем. Этот результат доказан в теореме IV части второй книги Кеплера.
Прямоугольные параллелепипеды с квадратными основаниями Кеплер называет коротко столбами. Возможны два случая:
Пусть куб ABCDEFGH и «столб» A'B'C'D'E'F'G'H' вписаны в одну и ту же сферу.Сравним их объемы. Из куба «выпирают» два параллелепипеда с квадратными основаниями: сверху A'B'C'D'A''B''C''D'' и равный ему по объему нижний параллелепипед. При этом от куба «отнимается» гораздо больше. Усмотреть это совсем просто: у каждой стороны квадрата A''B''C''D'' прилегает к столбу параллелепипед с квадратным основанием, равным (конгруэнтным) самому квадрату A''B''C''D''.
Один из таких параллелепипедов мы обозначили A”B”QRMNPL. Уже эти четыре параллелепипеда занимают больший объем, чем выпирающие части столба. Действительно, объем выпирающих частей равен 2|А”В”|2 |А”А'|, а объем четырех прилегающих параллелепипедов равен 4|А”В”|2 |А”М|. Действительно, объем выпирающих частей равен 2|А”В”|2 |А”А'|, а объем четырех прилегающих параллелепипедов равен 4|А”В”|2 |А”М|. Но |А”М| = Теперь рассмотрим треугольник А'АА”. Угол = А'АА” опирается на дугу А'С, угол = АЕС опирается на большую дугу АС. Значит, < , и, следовательно, |А”А'| : |А”А| = tg < tg= |CA| : |АЕ| = . Получаем, что
2|А”В”| 2 |A"A| < 2|A”B”|2 |A"A| = 2|А”В”| 2 |A”M| = 4|А”В”|2|А”М|. Нужное неравенство для объемов доказано.
Остается разобрать случай б) (рис. 12). Пусть снова куб ABCDEFGH и столб A'B'C'D'E'F'G'H' вписаны в одну и ту же сферу (точки Н, D', H' на рис. 12 не видны). Сравним их объемы. Из столба выпирают два параллелепипеда с квадратными основаниями общим объемом 2|АВ|2|АА”|. Объем части столба, выпирающей из куба, меньше. Кеплер доказывает это так. Приложим, говорит он, к каждой боковой стороне куба параллелепипед толщины, равной толщине выпирания столба. (На рис. 6 изображен один из четырех таких параллелепипедов ABFEPQRS.) Их общий объем равен
4|АВ|2|АР| = . И снова, рассмотрев треугольники АА'А” и АЕС, устанавливаем, что угол больше угла , и значит, |АА"|:|А”А”| >. Но, как справедливо отмечает Кеплер, если прилепить к кубу четыре параллелепипеда, то они все - таки не закроют всего столба, будут «зиять» четыре параллелепипеда у ребер (один из них -- B”LB'OF”MF'N (точка F” не видна). Каждый из этих параллелепипедов составляет часть столбиков, вытянувшихся у каждого из ребер АЕ, BF, CG и DH. Объем каждого такого столбика равен |АВ||АР|2. Но когда мы приложили к каждой грани параллелепипед, то они «выдаются за высоту столба восемью столбиками» (один из этих восьми -- BQPATA”B'.
Объем каждого из восьми столбиков равен |АВ| |АР| |АА”|. Очевидно, неравенство 2|АА”| > 2|А”А'| = 4|АР|, из которого следует, что четыре столбика у ребер также уступают в объеме выделяющимся восьми параллелепипедам. Итак, «выпирает» из столба объем 2|АБ|2|АА”| > 4|АВ|2|АР|, а из куба меньше, чем 4|АВ|2|АР| - 8|АВ||АР||АА”| + 4|АB||АР|2 < 4|АВ|2|АР|. Итак, куб больше теряет, чем приобретает. Вспомогательная задача решена. Остальное совсем просто. В каждый цилиндр можно вписать столб и отношение объема цилиндра к объему вписанного столба постоянно и равно. Значит, наибольшим по объему является цилиндр, в который можно вписать куб. А у него отношение высоты к диаметру основания равно. Доказав эту теорему, Кеплер пишет: «Отсюда ясно, что австрийские бочары как бы по здравому и геометрическому смыслу при построении бочки соблюдают правило, чтобы за радиус днища брать треть длины клепок. Именно при таком устройстве цилиндр, мысленно построенный между двумя днищами, будет иметь две половины, весьма близко подходящие к условиям теоремы V, и потому будет самым вместительным, хотя бы при постройке бочки от точных правил несколько и отступили, потому что фигуры, близкие к оптимальной, очень мало меняют свою вместимость..., ибо по обе стороны от места наибольшего значения убывание в начале несущественно».
В начале XVIII века итальянский инженер и математик Фаньяно деи Тоски (1682--1766) поставил следующую задачу: вписать в данный остроугольный треугольник ABC треугольник наименьшего периметра так, чтобы на каждой стороне треугольника ABC лежала одна вершина треугольника.
Воспользуемся приёмом: с помощью движений плоскости попробуем выстроить стороны вписанного треугольника в ломаную линию. Тогда периметр будет не меньше отрезка, соединяющего концы этой ломаной. А наименьший периметр будет соответствовать случаю, когда стороны ломаной лежат на одной прямой.
Итак, пусть точки A1, B1, C1 лежат на сторонах треугольника ABC (A1-- на стороне BC и т. д.). Отразим точку A1 симметрично относительно сторон AB и AC, получив точки A2 и A3 соответственно рис. 7. Длина трёхзвенной ломаной A3B1C1A2 равна периметру треугольника A1B1C1. Для того, чтобы периметр был наименьшим (равным отрезку A2A3), нужно, чтобы вершины B1 и C1 лежали в точках пересечения отрезка A2A3 со сторонами треугольника AB и AC. Осталось понять, как выбрать точку A1 на стороне BC таким образом, чтобы длина отрезка A2A3 была наименьшей. Для этого заметим, что треугольник A2AA3 - равнобедренный (A3A=A2A=A1A), а угол при его вершине A равен 2ЃЪBAC и потому не зависит от выбора точки A1.
Итак, при движении точки A1 по стороне BC углы треугольника A2AA3 не меняются. А его линейные размеры будут наименьшими, когда наименьшей будет сторона A2A, которая равна A1A. Значит, A1A -- высота, опущенная на сторону BC.
Мы видим, что существует единственный вписанный треугольник наименьшего периметра, его вершина A1 - основание высоты. Если провести те же рассуждения c вершинами B1 и C1, получим, что они также являются основаниями высот (поскольку треугольник минимального периметра - единственный).
Теорема Фаньяно. Среди всех треугольников, вписанных в данный остроугольный треугольник, наименьший периметр имеет ортотреугольник (т. е. треугольник с вершинами в основаниях высот).
Столько купили земли и дали ей имя Бирса, Сколько смогли окружить бычьей шкурой.
Прекраснейшим телом является шар, а прекраснейшей плоской фигурой -- круг.
Дидона - древняя финикийская, дочь тирского царя, бежала из дома, спасаясь от преследований своего брата, отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря искать себе прибежище. Ей приглянулось одно место на побережье нынешнего Тунисского залива. Дидона повела переговоры с местным предводителем Ярбом о продаже земли. Запросила она совсем немного - столько, сколько можно «окружить бычьей шкурой». Дидоне удалось уговорить Ярба. Сделка состоялась, и тогда Дидона изрезала шкуру быка на мелкие тесемки, связала их воедино и окружила большую территорию, на которой основала крепость, а вблизи от нее - город Карфаген.
Этот эпизод дает повод задуматься над вопросом: сколько же земли можно окружить бычьей шкурой? Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно правильно математически поставить задачу: среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающую максимальную площадь.
Основные пути решения задачи Дидоны или, как ее называют по - другому, классической изопериметрической задачей были намечены еще во времена античности. Строгое доказательное оформление этих идей было сделано математиками гораздо позже. Актершев приводит схему доказательства Я. Штейнера.
Теорема: Из всех изопериметрических замкнутых плоских кривых окружность является экстремальной.
Лемма 1: Экстремальная кривая выпукла.
Доказательство: Если кривая не выпукла, то на ней найдутся две точки А и А1 такие, что обе дуги АВА1 и АВ1А1, соединяющие точки А и А1, лежат по одну сторону от прямой АА1 (рис. 15). Заменив одну из дуг ее зеркальным отражением относительно прямой АА1, мы получим кривую той же длины, но большей площади.
Лемма 2: Если точки А и В делят длину экстремальной кривой пополам, то хорда АВ делит площадь фигуры пополам.
Доказательство: Если хорда АВ делит площадь на две неравные части, то большую часть можно зеркально отразить относительно прямой АВ и, взяв большую часть вместе с ее зеркальным отражением, получить новую фигуру с тем же периметром, но большей площади.
Лемма 3: Пусть точки А и В делят длину экстремальной кривой пополам, и точка С любая точка кривой. Тогда угол АВС - прямой.
Доказательство: Допустим, что угол АВС не является прямым. Площадь, ограниченная дугой АСВ и хордой АВ, разбита на три части: треугольник АСВ и два сегмента, прилегающие к хордам АС и СВ. Представим, что сегменты жесткие, а в точке С находится шар
Задачи на максимум и минимум в геометрии курсовая работа. Математика.
Реферат по теме Концепция управления человеческими ресурсами в организации
Курсовая работа по теме Рынок ценных бумаг в Республике Беларусь
Реферат: Violence In Our Schools Essay Research Paper
Политические Институты В Современной России Реферат
Реферат по теме Факторы благополучия (неблагополучия) городов
Дипломная работа: Анализ финансово-экономической деятельности на примере ГУРП КР "Сайсары"
Реферат На Тему Інтерференція Світла
Лабораторная Работа Наблюдение Действия Магнитного
Предотвращение Ядерной Войны Реферат
Реферат: Бобровский, Александр Алексеевич
Методичка: Курс электромонтажника по силовым сетям и электрооборудованию. Скачать бесплатно и без регистрации
Курсовая работа по теме Техническое обслуживание и ремонт локомотивов подвижного состава
Реферат: Rulers From Asia Essay Research Paper Rulers
Риск Менеджмент Курсовая Работа
Летние Забавы Сочинение 5 Класс
Реферат На Тему Мифы Древней Греции
Контрольная работа по теме Атомистика
Реферат: по дисциплине «Технологическая оснастка» на тему: «Установочные элементы станочных приспособлений и базирования заготовок с установкой на них»
Роман Бевзенко Диссертация
Реферат: Види страхування життя і їх місце в особовому страхуванні
Создание МЧС России - Безопасность жизнедеятельности и охрана труда презентация
Скульптор, живописец и ювелир Андреа дель Верроккьо - Культура и искусство презентация
Пословицы и афоризмы в системе социального и индивидуального знания - Иностранные языки и языкознание реферат