Задача про переміщення дивану

Чи замислювалися ви над тим, що багато щоденних проблем можна вирішити, застосувавши глибокі (або не дуже) знання математики? Сьогодні ми розглянемо одну з серйозних і водночас цікавих тем, яка, можливо, допоможе частково знайти відповідь на запитання: "Куди можна прикладати математику?".

Ця задача була сформульована австрійсько-канадським вченим Лео Мозером у 1966 році, проте до 2024 року залишалася нерозвʼязаною.

Цілком логічно почати її розгляд із визначення нижньої межі. Ми можемо без труднщів пересунути диван квадратної форми, сторона якого дорівнює ширині коридору (для зручності, у цьому та наступних міркуваннях, будемо вважати ширину коридору рівною одиниці). Таким чином, ми знаємо, що A ≥ 1.

Далі нескладно переконатися, що диван у формі напівдиску одиничного радіусу теж спокійно піддається пересуванню, отже межа змінюється: A ≥ π\2 ≈ 1,57. Так а що буде наступним кроком?

У 1968 році Джон Хаммерслі підвищивнижню межу A ≥ π/2 + 2/π ≈ 2.,2074. Цього можна досягти за допомогою форми, схожої на слухавку старомодного телефону, що складається з двох чвертей диску радіусу 1, розташованих з обох боків прямокутника розміру 4/π, з якого видалено напівдиск радіусом 2/π.

Наступне покращення результату зробив Джозеф Гервер вже у 1992, який описав диван із 18 вигнутими секціями, кожна з яких має гладку форму. Відтепер A ≥ 2,2195.

Однак і це не було максимумом. Довгі роки математики намагалися знайти більш оптимальний варіант, проте цього вдалося досягнути лише у 2018 році.

Йоав Каллус і Дэн Ромік обмежили константу канапи значенням 2,37. Їхній підхід полягає в тому, щоб обертати коридор (а не саму канапу) через скінчену послідовність різних кутів (а не безперервно) і використовувати комп'ютерний пошук, щоб знайти положення для кожної оберненої копії, де їхній перетин матиме найбільшу можливу площу.

Проте доводили отримані результати вже не вони. Цим зайнявся корейський науковець Джінеон Бек, який у 2024 році опублікував наукову працю обсягом 119 сторінок, у якій детально обґрунтував правильність висновків своїх попередників.

Ми показуємо, що диван Гервера справді досягає максимальної площі 2,37. Доказ не потребує комп'ютерної допомоги, окрім числових обчислень, які можна виконати за допомогоюнаукового калькулятора (Бек, 2024).

Задача є складною, оскільки не існує універсальної формули для площі, яка підходить для всіх можливих рухомих диванів. Щоб вирішити цю проблему, ми доводимо властивість, звану умовою ін’єктивності, для рухомого дивану з максимальною площею Smax​. Для кожного рухомого дивану S, який задовольняє цю умову, ми визначаємо більшу форму R, що нагадує форму канапи Гервера. Площа Q(S) форми R є верхньою межею для площі S, і Q(S) збігається з точною площею S, якщо це канапа Гервера G. Умова ін’єктивності S гарантує, що межа області R утворює жорданову криву, що дозволяє обчислювати Q(S) за допомогою теореми Гріна...

Для дуже допитливих: за цим посиланням ви можете знайти статтю Бека та ознайомитися із цією задачею детальніше.

Отже, що ми отримали? Тепер ви точно знаєте, як правильно обирати диван, якщо плануєте переїзжати та як правильно обирати квартиру, якщо вже маєте свій диван. Окрім цього ви побачили ще одне цікаве застосування математики у не зовсім типовій для неї галузі.

Такі задачі лише видаються несерйозними, проте вони дають величезний поштовх до розвитку науки у різноманітних напрямках та до створення нових підходів для вирішення цікавих задач.

Сподіваємося, вас цікавлять подібні теми. Пишіть свої враження у коментарях та діліться улюбленими теоремами! До нових зустрічей! Любіть життя та математику. 💙