Задача про лукум

Кондитерская изготовила лукум в виде куба, поверхность которого целиком обсыпали сахарной пудрой. Затем куб разрезали на несколько одинаковых кубиков. Оказалось, что среди них есть кубики с одной обсыпанной сахарной пудрой гранью, причём их столько же, сколько кубиков, у которых все грани не обсыпаны сахарной пудрой.       

На сколько кубиков разрезали куб?

Ответ: 8*8*8=512.

Пусть куб имеет размеры NxNxN.

На каждой грани на границу куба выходят (N-2)*(N-2) кубиков, у которых ровно одна грань обсыпана сахарной пудрой; всего таких кубиков будет 6*(N-2)*(N-2).

А необсыпанные сахарной пудрой кубики составляют куб со стороной N-2 внутри нашего куба, то есть их (N-2)*(N-2)*(N-2).

Получаем равенство 6*(N-2)*(N-2) = (N-2)*(N-2)*(N-2).

Заметим, что N не равно 2 (иначе кубиков, у которых все грани не обсыпаны сахарной пудрой, нет).

Тогда равенство можно поделить на (N-2)*(N-2) и получить 6=N-2, откуда N=8.