Задача на собственные вектора
Задача на собственные вектораСкачать файл - Задача на собственные вектора
Найти собственные числа и векторы линейного оператора, заданного матрицей: Сначала построим харакреристическое уравнение, то есть отнимем по главной диагонали, и приравняем этот определитель к нулю. Вычислим определитель, чтобы свести всё к уравнению. Теперь поочерёдно подставляем каждое конкретное из найденных , и формируем однородную систему. Здесь есть единственная информация: Переменной в системе нет, но это значит, что она может принимать любое значение, она не влияет на систему уравнений. Распространённая ошибка в данном случае - думать, что если коэффициенты при нулевые, то. На самом деле является свободной неизвестной. Невырожденного минора 2-го порядка здесь нет. Таким образом, 1-я переменная свободная, и пусть даже 2-я через неё здесь не выражена, а просто равна 0, но всё равно свободной переменной мы можем присвоить любое значение, например 1. Итак, ФСР в данном случае 1,0 , и именно это и является собственным вектором. Ранг системы равен 1, а вот базисный минор можно выбрать как в 1-м так и во 2-м столбце, поэтому любую переменную можно считать свободной. Неважно, какую выразить через другую, всё равно одна и та же информация:. Задавая одну, получаем вторую. Действительно, мы нашли такой вектор, который при умножении на эту матрицу становится больше в 3 раза. Найти собственные числа и векторы для матрицы. Корни , то есть и 5. Одну переменную выразим через вторую. Однородная система состоит всего лишь из одного уравнения. При этом формально свободная переменная, так как базисный минор 1-го порядка во втором столбце, а 1-й столбец тогда не базисный. То есть можно присваивать любое значение, например 1. Итак, собственный вектор 1,0. Двух линейно-независимых собственных векторов для этого оператора нет. Вообще, количество собственных векторов меньше или равно кратности корня. Найти собственные числа и векторы. Вычтем 2 по диагонали, получим систему уравнений. Из этих уравнений следует, что , про нет информации, это свободная переменная. Вычтем 3 по диагонали, получим систему уравнений. Из этих уравнений следует , ФСР: Базисный минор здесь во 2 и 3 столбцах, так что могло считаться свободной переменной. Вычтем 4 по диагонали, получим систему уравнений. Базисный минор можно найти, например, в левом верхнем углу, тогда считаем свободной переменной и все остальные выразим именно через неё. Из 2-го , а затем из 1-го , то есть. Итак, , корни 1,1,2, они же собственные числа. Два характеристических корня совпали 1 это корень кратности 2. Теперь ищем собственные векторы. То есть мы видим, что в случае корня кратности 2, ранг понизился сразу на 2 пункта, здесь будет 2 свободных неизвестных. Итак, система из 1 уравнения с 3 неизвестными: Тогда , свободные переменные поочерёдно принимают значение 1, ФСР из двух векторов: Ещё два уравнения в ней пропорциональны, так что в итоге, у нас есть такое общее решение: Кратный корень два вектора: Доказать, что линейный оператор не имеет собственных векторов. Если линейный оператор в 3-мерном пространстве, то характеристический многочлен 3 степени, и в том случае есть по крайней мере хотя бы один действительный корень. Доказать, что для оператора поворота в общем случае нет собственных векторов, и найти такие углы , при которых собственные векторы есть. При матрица линейного оператора примет вид , тогда все векторы плоскости являются собственными, и соответствуют числу. При матрица , все векторы собственные, соответствуют. Найти собственные числа и векторы для линейного оператора. Видно, что есть по крайней мере один корень. Затем разделим многочлен на , получим крадратичное уравнение и там найдём ещё 2 корня. Для многочлена 2 степени: Корни , то есть 3 и 4. Из 1-го сразу , подставляя во 2-е, можно также и выразить через: При этом свободная переменная. ФСР это вектор 1,2,3. Из 1-го уравнения сразу очевидно. Если учесть , то так что очевидно, что и. По диагонали коэффициенты при квадратах, а остальные должны быть разделены поровну, то есть. Квадратичную форму привести к главным осям. Сначала построим её матрицу: Характеристическое уравнение , собственные числа. Ищем собственные векторы для каждого из них. Нормируем этот вектор, то есть делим на его длину, которая составляет. Как видим, эти векторы ортогональны. Это потому, что матрица оператора симметрична что и так следует из теоремы 7, см. Обратите внимание, что этот новый базис - повёрнутый на 45 0 декартов базис, то есть 1,0 и 0,1. Синим цветом нарисованы векторы 1,0 и 0,1 а красным и. При таком преобразовании плоскости не искажаются площади фигур. Если бы мы не нормировали векторы, то при линейном преобразовании искажались бы площади, коэффициенты квадратичной формы в новом базисе не получились бы равны собственным числам. Причём если это именно 2-й а не 1-й, то преобразование плоскости получается без зеркального отражения, то есть просто поворот. Запишем связь старых и новых координат, новые мы обозначаем. Итак, верны такие формулы: В записи квадратичной формы заменим по этим формулам. Мы увидим, что после приведения подобных сократятся все произведения, содержащие разные переменные, вида , и останутся только квадраты, причём коэффициентами как раз и окажутся собственные числа. Найдём собственные числа и векторы. Решаем две однородные системы, для каждого по отдельности. Затем нужно нормировать их, то есть поделить на длину. Итак получили новый ортонормированный базис:. Обозначим новые координаты , тогда взаимосвязь старых и новых координат через матрицу перехода выглядит так:. Если мы подставим эти в исходную квадратичную форму , то увидим, что в ней не будет произведений типа , а коэффициенты при квадратах - это и будут ранее найденные собственные числа. Ищем собственные числа и векторы. Фактически, здесь одно уравнение: Однако его ещё надо нормировать. Итак, нормированный собственный вектор. Можно в качестве ФСР принять вектор. Итак, новый базис состоит из векторов и. Последнее изменение этой страницы: Все права принадлежать их авторам. Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления. Задачи на поиск собственных чисел и векторов.
Математический форум Math Help Planet
Какие грибы растут под березой фото
Рисунки на печку своими руками
Решение
Мангалы из металла фото чертеж
Цитаты про сильных духом людей
Поглотитель запаха своими руками
Задачи на поиск собственных чисел и векторов.
Проверь вычисления на калькуляторе
Стихи поэтов шестидесятников о любви
Работает ли чернобыльская аэс сейчас
Собственные векторы и собственные значения квадратной матрицы
От какой части речи образуется глагол