Задача (Г.Э. Дьюдени)
У семи торговок было соответственно 20, 40, 60, 80, 100, 120 и 140 яблок. Они пришли на рынок и продали все свои яблоки, соблюдая два строгих правила:
1) Цены на яблоки на рынке в любое время в течение дня были у всех абсолютно одинаковыми.
2) Каждая из семи торговок в итоге выручила одну и ту же сумму денег.
Как это могло получиться?
Решение. Секрет решения в том, что цена могла меняться в течение дня, но в каждый момент была одинаковой для всех торговок. Дьюдени предлагает разделить продажи на два этапа.
Сначала (до полудня) каждая торговка продаёт яблоки партиями по 7 штук за 1 монету.
Затем (после полудня) цена меняется одновременно для всех, и оставшиеся яблоки продаются по одному — по 3 монеты за яблоко.
Посмотрим, что получится.
Первая торговка: 20 = 2·7 + 6,
поэтому она получила 2 + 6·3 = 20 монет.
Вторая: 40 = 5·7 + 5,
5 + 5·3 = 20.
Третья: 60 = 8·7 + 4,
8 + 4·3 = 20.
Дальше остаток каждый раз уменьшается на единицу, а число полных семёрок увеличивается на 3:
80 = 11·7 + 3,
100 = 14·7 + 2,
120 = 17·7 + 1,
140 = 20·7.
Поэтому выручка каждой торговки равна 20 монет.
Действительно,
11 + 3·3 = 14 + 2·3 = 17 + 1·3 = 20.
Ответ: 7 яблок за 1 монету, а оставшиеся сверх полных семёрок — по 3 монеты за яблоко; каждая торговка получила 20 монет.