Задача «Высота Эльбруса»

Московская олимпиада школьников по астрономии 2018–2019. Очный этап. 10–11 классы

Условие

Находясь в Кавказской горной обсерватории МГУ (43°44′10″ с.ш., 42°40′03″ в.д., высота над уровнем моря h = 2061 м), астроном сделал фотографию Эльбруса с длительной экспозицией. На полученной фотографии он смог отождествить треки наиболее ярких звёзд созвездия Эридан:

1. Тхеемин (υ2 Eri): α = 4h 35m 18s , δ = -30°31′31″
2. Тимим (Беемин II, υ3 Eri): α = 4h 24m 46s , δ = -33°58′27″
3. Беемин I (υ4 Eri): α = 4h 18m 38s , δ = -33°45′12″

Считая, что нижняя сторона фотографии соответствует положению математического горизонта, оцените высоту западной вершины г. Эльбрус над уровнем моря. Географические координаты западной вершины: 43°20′45″ с.ш., 42°26′55″ в.д. В решении обязательно необходимо указать, какая именно из вершин является западной.

Разбор

Определим взаимное положение Кавказской горной обсерватории (КГО) и Эльбруса. КГО находится на ∆φ = 23′25″ севернее и на ∆λ = 13′08″ восточнее, чем западная вершина Эльбруса. Поскольку на Эльбрус астроном смотрит с севера, то западная вершина видна справа. Расстояние до вершины можно найти с помощью сферического треугольника:

Ту же самую величину можно найти приближённо, воспользовавшись тем, что расстояние между горой и обсерваторией невелико и можно пренебречь отличием координатной сетки от прямоугольной. Здесь надо учесть, что градус долготы на широте φ короче в cos φ раз:

Если забыть про косинус широты, то ответ получается 26′51″, что приводит к завышению расстояния на 6%. Средний радиус Земли R равен 6371 км, откуда расстояние до вершины l получается равным примерно 46,8 км.

Для того чтобы определить масштаб на фотографии (число градусов на сантиметр), необходимо измерить в сантиметрах какой либо известный угловой масштаб. Для этой цели хорошо подходит разность склонений двух звёзд. Разность склонений между υ2 Eri и υ3 Eri составляет 3,45°, а между υ2 Eri и υ4 Eri — 3,23°. Чтобы уменьшить погрешность, измерения надо провести несколько раз. Отсюда видимый угловой размер вершины составляет 4,13°.

Если мы просто пересчитаем видимый угловой размер Эльбруса в линейный, воспользовавшись известным расстоянием l, то получим в ответе чуть более 3 км, что мало для высочайшей вершины России. Однако надо учесть следующие два обстоятельства. Во-первых, фотограф расположен на высоте более 2 км над уровнем моря. Во-вторых, Эльбрус находится достаточно далеко, чтобы сказывалось понижение горизонта. Таким образом, математический горизонт «обрезает» Эльбрус на высоте

Значит, высота горы составляет

Здесь α – угловой размер вершины на фотографии. Реальная высота западной вершины составляет 5642 м.

Источник