Задача Арнольда о мятом рубле
Автором этой задачи является В.И. Арнольд. Впервые он сформулировал её в 1956 г. Позднее в США задача прославилась как «задача о салфетке Маргулиса» (по имени советского математика, эмигрировавшего в США).
Формулировка задачи: Можно ли сложить прямоугольный лист бумаги (бумажный рубль) в плоский многоугольник так, чтобы периметр полученного многоугольника был больше периметра исходного многоугольника?
Математическая бумага подразумевается бесконечно тонкой, т.е. допускающей любое количество сложений (реальную бумагу больше 8 раз сложить затруднительно). Рвать и резать бумагу, разумеется, не разрешается.
Ответ на задачу зависит от того, что понимать под словом «сложить».
Если просто складывать многоугольник вдоль какой-нибудь прямой, считая, что после сгибания лист склеивается с собой, то при каждом сложении периметр будет уменьшаться.
Если же допустить, что лист не склеивается и разрешено отогнуть какие-то куски, то на некоторых шагах периметр может увеличиваться. Можно ли путём таких операций увеличить периметр исходного листа, неизвестно.
Под складыванием можно понимать ещё более общую операцию: представьте себе, что мы разметили складки заранее и сгибаем лист целиком, так, что все области, на которые разбит лист складками, остаются плоскими, а перегибание происходит только по складкам. В такой постановке правильный ответ — «можно».
Удивительно то, что возможность увеличить периметр таким образом была обнаружена в построении одной из самых древних фигурок оригами — традиционного японского журавлика. Первая дошедшая до нас книга «Сембацуру ориката», посвящённая вся складыванию журавлика, датируется 1797 г., а математики сумели найти первое решение только в 1998 г.!
Журавлика складывают из специальной заготовки, из двух концов которой делаются два крыла, а два другие «утоньшаются», из них получаются хвост и шея. Если же эту «операцию утоньшения» применить дважды к каждому большому концу, то заготовку можно будет выложить на плоскости так, что периметр превысит периметр исходного квадрата — увеличится примерно на 0,5%. Если операцию «утоньшения» проводить много раз, то в пределе можно добиться увеличения периметра на (√2 – 1) ≈ 41,4%. (Практическую неосуществимость таких операций, связанную с необходимостью сгибать лист сразу в огромном числе мест мы не принимаем во внимание.)
Ещё один способ некоторого увеличения периметра предложил И.В. Ященко (1998 г., в статье «Make your dollar bigger now!!!»). Каждая итерация в его способе добавляет пару слоёв около вогнутого угла; общее число слоёв в этой модели гораздо больше чем в заготовке журавлика.
Наиболее полное решение задачи о мятом рубле было найдено А.Тарасовым (2004 г.). Он придумал оригинальную конструкцию, названную впоследствии «расчёска Тарасова». Его метод позволяет сделать периметр сложенной фигуры сколь угодно большим. Для тех, кто хочет подробно изучить алгоритм Тарасова, рекомендуем описание на сайте «Математические этюды»: https://etudes.ru/etudes/napkin-folding-problem/
А мы предлагаем просто полюбоваться прекрасной анимацией этого алгоритма, взятой с сайта:
1. Петрунин, А., Плоское оригами и длинный рубль. Задачи Санктпетербургской олимпиады школьников по математике, 2008, 116–125.
2. Тарасов, А.С., Решение задачи Арнольда «о мятом рубле». Чебышёвский сборник, 5, (2004), выпуск 1, 174–187.
3. Сайт «Математические этюды»: https://etudes.ru/etudes/napkin-folding-problem/