Задача (А.В. Шаповалов)
На столе лежат 6 яблок, не обязательно одинакового веса. Таня разложила их по 3 на две чаши весов, и весы оказались в равновесии. Саша разложил те же яблоки иначе: 2 на одну чашу и 4 на другую, и весы снова оказались в равновесии.
Докажите, что можно положить на одну чашу одно яблоко, а на другую — два так, чтобы весы опять оказались в равновесии.
Решение.
Пусть общий вес всех яблок равен 2S. Тогда у Тани на каждой чаше лежат яблоки общим весом S.
У Саши весы тоже находятся в равновесии, поэтому два яблока на одной его чаше также весят S.
Эти два яблока не могут находиться в одной тройке Тани: иначе два яблока уже весили бы столько же, сколько вся тройка, что невозможно.
Значит, одно из них входит в одну Танину тройку, а второе — в другую.
Пусть два Сашиных яблока имеют веса a и b, а вместе с яблоком веса a в Таниной тройке лежат ещё два яблока весов c и d. Тогда
a + b = S,
a + c + d = S.
Следовательно,
b = c + d.
Значит, одно яблоко можно уравновесить двумя другими.