Задача 8
Решить в простых числах уравнение xʸ + yˣ = z.
Решение.
Заметим, что среди чисел x, y и z должно быть хотя бы одно чётное. Действительно, если x и y нечётны, то xʸ и yˣ тоже нечётны, а значит z = xʸ + yˣ — чётно.
С другой стороны, единственное чётное простое число — это 2. Значит, одно из чисел x, y, z равно 2. Если z = 2, то x = y = 1 — не простые. Таким образом, одно из чисел x, y равно 2. Пусть это число x. Получим: 2ʸ + y² = z.
Поскольку 2² + 2² = 8 — число не простое, то y ≠ 2, а значит, число нечётно. Следовательно, 2ʸ при делении на 3 даёт остаток 2.
Если y ≠ 3, то число y не делится на 3. Значит, число y² при делении на 3 даёт остаток 1. Итак, при y ≠ 3 получаем z = 3, что невозможно, поскольку z > y > 3.
Таким образом, остаётся только вариант x = 2, y = 3, z = 2³ + 3² = 17.
Ответ: (x; y; z) ∊ {(2; 3; 17); (3; 2; 17)}.