Задача 7
Из пункта A в пункт B ведут две непересекающиеся дороги. Известно, что две машины, выезжающие по разным дорогам из A в B и связанные верёвкой некоторой длины, меньшей 2l, смогли проехать из A в B, не порвав верёвки. Могут ли разминуться, не коснувшись, два круглых воза радиуса l, центры которых движутся по этим дорогам навстречу друг другу?
Решение.
Обозначим за x долю расстояния от A до B по первой дороге, заключённую между A и находящимся на этой дороге экипажем; за y — долю расстояния от A до B по второй дороге, заключённую между A и находящимся на ней экипажем. Каждому положению двух экипажей на дорогах соответствует точка (x; y), где x ∊ [0: 1] и y ∊ [0: 1]; и такое соответствие является взаимно однозначным.
В частности, начальное положение машин в пункте A описывает точка O(0: 0), а их прибытие в пункт B — точка M(1; 1); само движение машин из пункта A в пункт B изображает некоторая кривая внутри квадрата OLMN, ведущая из O в M. Аналогично, начальному положению центров возов соответствует точка N(0; 1), конечному — точка L(1; 0), движению — непрерывная кривая внутри квадрата, ведущая из N в L. Две непрерывные кривые OM и NL пересекаются. Точке их пересечения соответствует такое положение пары возов, которое ранее занимала пара машин. В этом положении расстояние между центрами возов меньше 2l, т.е. разминуться не удастся.
Использованный в решении задачи квадрат ONML называют фазовым пространством (фазовой плоскостью) движения двух экипажей, точки этого квадрата — фазовыми точками, кривую движения — фазовой траекторией. Фазовое пространство — это пространство внутренних параметров системы. Данная задача показывает, что само обращение к этому понятию может служить методом решения задачи.
В.И. Арнольд начинает своё учебное пособие «Обыкновенные дифференциальные уравнения» для аспирантов механико-математических специальностей университетов этой задачей Н.Н. Константинова о возах. Сама задача не имеет никакого отношения к дифференциальным уравнениям, но её решение основано на введении понятия фазового пространства — ключевого понятия, на базе которого знаменитый математик строит изложение своего курса.