Задача 5
Задача 5. Али-Баба пришёл в пещеру, где есть золото, алмазы и мешок, в котором их можно унести. Полный мешок золота весит 200 кг, полный мешок алмазов — 40 кг, пустой мешок ничего не весит. Килограмм золота стоит на базаре 20 динаров, килограмм алмазов — 60 динаров. Али-Баба может поднять и унести не более 100 кг. Какую наибольшее количество динаров он может получить за сокровища, которые он принесёт из пещеры за один раз?
Решение. Выгодно набить мешок полностью и по весу, и по объёму. Действительно, если мешок неполон, то можно небольшую часть золота заменить на равное по весу количество изумрудов. При этом объём и стоимость груза возрастут. Если же мешок весит меньше 100 лотов, то можно, наоборот, заменить небольшую часть изумрудов на в 5 раз большее по весу количество золота. При этом стоимость груза также возрастёт.
Предположим, Али смог унести из пещеры x лотов золота и y лотов изумрудов. По условию x + y = 100. Также, 1 лот золота занимает 1/200, а 1 лот изумрудов — 1/40 часть мешка, поэтому x/200 + y/40 = 1, т.е x + 5y = 200. Получаем (х; у) = (75; 25).
Стоимость груза равна 20x + 60y = 3000 динаров.
Ответ: 3000 динаров.