Задача 5
В стране, дома жителей которой представляют собой точки плоскости, действуют два закона:
1) Человек может играть в баскетбол, лишь если он выше ростом большинства своих соседей.
2) Человек имеет право на бесплатный проезд в транспорте, лишь если он ниже ростом большинства своих соседей.
В каждом законе соседями человека считаются все люди, живущие в круге некоторого радиуса с центром в доме этого человека. При этом каждый человек сам выбирает себе радиус для первого закона и радиус (не обязательно такой же) для второго закона. Может ли в этой стране не менее 90% людей играть в баскетбол и не менее 90% людей иметь право на бесплатный проезд в транспорте?
Решение. Приведём пример. Пусть в стране 10 человек, все их дома располагаются на одной прямой, в порядке возрастания ростов этих людей. Пусть расстояния между ними таковы: 1 км, 2 км, 3 км, 4 км, 5 км, 4 км, 3 км, 2 км, 1 км:
Тогда все, кроме самого высокого, могут бесплатно ездить в транспорте. Действительно, пятеро самых низких могут выбрать круг радиуса 100 км, тогда они будут ниже 5 из 9 своих соседей. Остальные должны выбрать круг, в котором будет только один сосед. С другой стороны, все, кроме самого низкого, могут играть в баскетбол – для этого пятерым самым высоким нужно выбирать круг радиуса 100 км, а остальным – круг, содержащий только одного соседа.
Ответ: может.