Задача 4
В многограннике чёрные грани — правильные пятиугольники, а белые — правильные шестиугольники. В каждой вершине сходится по три грани. Сколько в этом многограннике чёрных граней?
Решение. Допустим, что мы взяли n шестиугольников и m пятиугольников. Посчитаем, сколько у нас будет вершин, рёбер и граней. Каждый из n шестиугольников даёт по шесть вершин, а каждый из m пятиугольников — по пять, значит всего будет 6n + 5m вершин. Однако заметим, что каждую из этих вершин мы посчитали трижды, потому что склеивали по три многоугольника в каждой вершине. Итого в графе В = (6n + 5m)/3 вершин. Аналогично получаем, что Р = (6n + 5m)/2. Очевидно, что количество граней просто равно количеству многоугольников: Г = m + n.
Теперь запишем формулу Эйлера:
(6n + 5m)/3 – (6n + 5m)/2 + m+n = 2.
Отсюда получим: m = 12.
Таким образом, при любом количестве шестиугольников потребуется ровно 12 пятиугольников.
Заметим, что многогранники, удовлетворяющие свойствам из условия задачи, называют фуллеренами. (Вообще-то, изначально, фуллерены — это одна из аллотропных форм углерода: сферические молекулы из атомов углерода, каждый атом в которых принадлежит ровно трём углеродным кольцам, состоящим из 5 или 6 атомов. )