Задача 3
Найти три последовательных простых числа, сумма квадратов которых является простым числом.
Решение.
Обозначим искомые числа p, q, r (p<q<r). Любое простое число, отличное от 3, имеет вид 3n±1. Квадрат такого числа при делении на 3 даёт остаток 1. Значит, сумма квадратов трёх простых чисел, каждое из которых отлично от 3, делится на 3. Поскольку число p²+q²+r² простое, одно из чисел p, q, r должно быть равно 3. Возможны случаи:
1) p = 3: q = 5, r = 7, p²+q²+r² = 83 — простое число;
2) q = 3: p = 2, r = 5, p²+q²+r² = 38 — составное число;
3) r = 3: q = 2, простых чисел, меньших 2, нет.
Ответ: {(3; 5; 7)}.