Задача 2
Найдите все простые числа p такие, что число
p² + 11 имеет ровно 6 различных делителей.
Решение. Заметим, что
p² + 11 = (p – 1)(p + 1) + 12.
Если p ≥ 5 и простое, то числа
p – 1 и p + 1 чётны и одно из них кратно 3.
Поэтому произведение
(p – 1)(p + 1) делится на 12, следовательно,
p² + 11 также делится на 12, а значит,
имеет не менее семи делителей (6 делителей числа 12 и само число p² + 11 > 12). Осталось проверить p = 2 и p = 3.
При p = 2 число p² + 11 = 2² + 11 = 15 имеет четыре делителя: {1, 3, 5, 15};
при p = 3 число p² + 11 = 3² + 11 = 20 имеет шесть делителей: {1, 2, 4, 5, 10, 20}.
Ответ: 3.