Задача
Имеются две урны. В одной из них лежит один шар, о котором мы знаем, что он может быть белым или чёрным с одинаковой вероятностью. В другой урне лежат один белый шар и два чёрных. В первую урну добавили белый шар, встряхнули и наудачу вытащили один шар, который оказался белым.
Вопрос:
Если мы хотим вытащить ещё один белый шар, какая стратегия даст большую вероятность успеха:
(1): выбрать наугад одну урну из двух и из неё тащить шар, или
(2): сначала не глядя пересыпать все шары в одну какую-нибудь урну и тащить из неё?
Решение.
Найдём сначала вероятность того, что в урне остался белый шар, если известно, что наугад вынутый из неё шар оказался белым.
Изначально были возможны четыре равновероятных события:
1) В урне был белый шар, добавлен белый, вынут белый № 1, остался белый.
2) Был белый, добавлен белый, вынут белый № 2, остался белый.
3) Был чёрный, добавлен белый, вынут белый, остался чёрный.
4) Был чёрный, добавлен белый, вынут чёрный.
Известно, что четвёртый вариант не осуществился. Стало быть, остались три, и они по-прежнему равновероятны. Поскольку белый шар остаётся в двух случаях из трёх, искомая вероятность равна ⅔.
Можно этот ответ получить, применив формулу условной вероятности.
Пусть событие А — «в урне остался белый шар»,
событие В — «из урны был вынут белый шар».
Тогда P (А|В) = Р(АВ) / Р(В).
АВ — событие состоящее в том, что мы вынули белый шар из урны, и в ней остался белый шар. Его вероятность равна, очевидно, вероятности того, что урна содержала два белых шара, то есть изначально в ней был белый. Эта вероятность равна ½ .
Найдём вероятность вынуть белый шар Р(В). Она складывается из вероятности того, что мы вынули тот же шар, что и положили (½) и того, что в урне сначала находился белый шар и мы вынули именно его (½∙½ = ¼), то есть ½ + ¼ = ¾.
Поделив ½ на ¾, получаем ⅔. Это и есть искомая вероятность.
(1): Предположим теперь, что мы сначала наугад выбираем урну, а потом из этой урны вытаскиваем шар. Какова вероятность вытащить белый?
½∙⅔ + ½∙⅓ = ⅓ + ⅙ = ½.
Итак, при первой процедуре вероятность вытащить белый шар равна ½.
(2): Мы складываем все шары в одну урну, а потом тащим. В этой урне, таким образом, у нас четыре шара: два чёрных, один белый, и один, для которого вероятность быть белым равна ⅔. Вероятность вытащить белый шар равна
¼ + ¼∙⅔ = ¼ + ⅙ = ⁵∕₁₂.
⁵∕₁₂ < ½, следовательно, первая процедура выгоднее.