Задача
Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы иметь возможность взвесить любое число фунтов от 1 до 40 на чашечных весах, если гири можно класть на обе чашки весов?
Решение. Не нарушая общности можно полагать, что взвешиваемый продукт находится на левой чаше.
Для каждого взвешивания, любая гиря может быть в трёх состояниях: находиться слева, находиться справа и не участвовать во взвешивании.
Таким образом, мы можем составить не более чем 3ⁿ различных взвешиваний (где n это число гирь).
По условиям задачи, мы должны иметь возможность составить минимум 40 различных взвешиваний. Значит, число гирь не может быть меньше 4 (3 гири могут дать не более 27 комбинации).
Теперь просто приведём значения этих гирь.
Гиря 1 фунт — позволяет отвесить 1 фунт.
Гиря 3 фунта — позволит отвесить: 2 фунта (3–1), 3 фунта (3) и 4 фунта (3+1).
Следующая гиря — 9 фунтов: имеем возможность отмерить все веса от 5 фунтов (9–4) до 13 фунтов (9+4).
Добавив гирю 27 фунтов, получим возможность отмерять веса от 14 фунтов (27–13) до 40 фунтов (27+13).
Таким образом, мы показали, что минимальное число гирь не может быть меньше четырёх, а число гирь равное четырём, достигается на приведённом примере.