Задача
У некоторого k-угольника (не обязательно выпуклого) ровно 17 углов больше 90°. Найдите наибольшее возможное значение k.
Решение. У k-угольника 17 углов больше 90° и меньше 360°, а остальные k − 17 углов не превосходят 90°. Поскольку общая сумма углов равна 180°(k − 1), получаем:
180·(k–2) < 360·17 + 90·(k–17).
Преобразовывая, находим k < 55, т. е. k ≤ 54. Ясно также, что значение k = 54 возможно: существует 54-угольник с 17 углами 359° и 37 углами 3257°/37 < 90°. Например, такой, как изображен на рисунке.
Ответ: 54.