Задача
Вокруг правильного 7-угольника описали окружность и вписали в него окружность. То же проделали с правильным 17-угольником. В результате каждый из многоугольников оказался расположенным в своем круговом кольце. Оказалось, что площади этих колец одинаковы. У какого из многоугольников длина стороны больше: у 7-угольника или 17-угольника?
Решение. Пусть 2a — длина стороны правильного многоугольника, r и R — радиусы вписанной и описанной окружности соответственно. Вписанная окружность касается стороны в её середине, поэтому проведённый туда радиус перпендикулярен стороне. По теореме Пифагора a² + r² = R². Поэтому площадь кольца между этими окружностями равна π(R² – r²) = πa², откуда следует, что площадь кольца зависит лишь от длины стороны правильного многоугольника и не зависит от количества сторон.