Задача
В выпуклом 17-многоугольнике проведены все диагонали. Они разбивают его на многоугольники. Выберем среди них многоугольник с наибольшим числом сторон. Какое наибольшее число сторон он может иметь?
Решение. Занумеруем вершины: 1, 2, ..., 17.
Пусть n — искомый максимум, аᵢ — число сторон соответствующего многоугольника, проходящих через вершину i. Ясно, что аᵢ ≤ 2. Очевидно, что
2n = а₁ +а₂ + ... + а₁₇ (множитель 2 появляется, т. к. каждая сторона в сумме справа появляется два раза). Таким образом, n меньше или равно 17.
Пусть наш многоугольник — правильный. Рассмотрим многоугольник разбиения, содержащий его центр. При повороте на 2π/17 вокруг центра вся картинка переходит в себя, следовательно, этот многоугольник тоже. Значит, он имеет ровно 17 сторон.
Ответ: 17.