Задача
На башне висят часы с тремя стрелками — часовой, минутной и секундной. В полночь на часовую стрелку села мышка и поехала на ней. В момент, когда стрелка с мышкой равняется с другой стрелкой, мышка перепрыгивает на эту новую стрелку. Сколько кругов сделает мышка за 12 часов? (Известно, что все три стрелки сходятся вместе только в полдень и в полночь.)
Решение. Посадим изначально на секундную и минутную стрелки ещё по одной пышке, и пусть каждые две мышки при встрече меняются местами между собой. В результате все 3 мышки в сумме проедут 12∙60+12+1=733 круга, при этом, возможно, мышка, сидящая первоначально на минутной стрелке имеет преимущество на 1 круг перед мышкой, сидящей на часовой, а на минутной — на 1 круг перед мышкой, сидящей на минутной. Поскольку 733=1 (mod 3), то возможен только вариант, когда мышка, сидящая изначально на секундной стрелке, обогнала на 1 круг обеих мышек, проехавших поровну кругов. Значит, данная мышка, изначально сидящая на часовой, проехала (733–1):3 = 244 круга.
Ответ: 244.