Задача
По кольцевой дорожке длиной 60 см движутся в обе стороны муравьи со скоростью 1 см/c. Когда два муравья сталкиваются, они мгновенно разворачиваются и движутся с той же скоростью в противоположных направлениях. Оказалось, что за минуту произошло 48 попарных столкновений. Сколько муравьев могло быть на дорожке?
Решение. Заметим, что ситуация не изменится, если считать, что после столкновении муравьи не разворачиваются, а продолжают свое движение, не меняя направления и скорости. Пусть какие-то два муравья столкнулись, тогда через 30 секунд после этого каждый из них проползёт половину круга, и они столкнутся вновь. Следовательно, у каждой такой пары произойдёт ровно два столкновения за минуту.
Таким образом, если x муравьев ползут в одну сторону, а y — в противоположную, то 2xy = 48, то есть xy = 24. Следовательно, величина x + y может принимать значения: 1 + 24 = 25, 2 + 12 = 14, 3 + 8 = 11, 4 + 6 = 10.
Ответ: 10, 11, 14 или 25.