Язык математики

У математики есть свой язык, по своему прекрасный, но понятен далеко не каждому. Эта статья попытка рассказать о наиболее частых символах, значениях и терминах, которые встречаются в различных разделах математики. Можно сказать, что это краткое введение на тему "как читать на математическом".

Множества

Множество - это просто набор различимых предметов, обладаемых общим признаком. Ученики в классе, планеты в космосе, ручки в пенале, четные числа - все это примеры множеств. Обычно множества представляют в виде заглавных букв, а элементы множеств - в виде строчных букв.

Множества можно задать с помощью простого перечисления элементов, которое задается в фигурных скобках

• Ученики в классе = {Вася, Миша, Катя, Ксюша}

Или с помощью предиката, об этом чуть позже.

Для того чтобы показать, что элемент входит в множество, используется следующий символ, похожий на зеркальную букву "Э"

Для того чтобы показать, что какой-то элемент не входит в множество, используется следующий символ

Так, например, если мы возьмем множество А - страны, расположенные в Европе, то Италия входит в это множество, а Австралия - нет

Иногда нам нужно найти объединение множеств, т.е. такие элементы, которые есть хотя бы в одном множестве. Для этого используется символ

Для пересечения множеств (т.е. те элементы, которые есть как в первом, так и во втором множестве) используется символ

Например, возьмем 2 множества A и B

Для множеств есть такое понятие как мощность-это количество элементов в множестве. Оно обозначается также, как модуль числа - прямыми линиями слева и справа

Если мы возьмем некоторое множество A = {1, 2, 5, 11} и возьмем только некоторые элементы из него, например {1, 11}, то мы получим подмножество B = {1, 11}. Понятно, что все элементы, которые входят в B, встречаются и в A. Обозначают подмножества следующим образом

Также существует следующий символ

Присмотритесь к символам и заметите, что эти символы очень похожи на знак меньше и меньше или равно. Горизонтальная черта последнего символа указывает на это - множество B меньше ИЛИ равно множеству A, т.е. возможно эти множества равны. Символ без черты говорит, что множество B строго меньше чем A.

Множество может не содержать элементов, такое множество называется пустым и обозначается

Кванторы

В математике довольно часто встречаются утверждения, начинающихся со слов "для всех, все, для каждого, для любого" и т.к. Также часто можно встретить утверждения, которые начинаются со слов "существует хотя бы один, есть, можно найти" и т.д. Для замены таких выражений используются кванторы. В основном используются следующие:

• квантор всеобщности (от англ. all - все, для любого)

• квантор существования (от англ. exist - существует, найдется). Если добавить после квантора знак восклицания, то это указывает на не только существование, но и единственность.

Предикаты

В математике утверждения - это такие выражения, на которые можно ответить только или true, или false (утверждение правдиво или ложно). Можно сказать что это тип boolean в языках программирования.

Предикат - это такое выражение, которое может быть или верным, или нет, но пока в него не подставят конкретные значения - оно не равно ничему. Например, "число x-четное" - предикат, мы можем взять конкретное число и тогда получим следующее утверждение "число 4 - четное", оно верно. Или "число 5 - четное", оно неверно.

Связывая предикат с программированием, можно рассматривать его как функцию, которая принимает 1 параметр и на его основе возвращает true/false (например, в Java есть функциональный интерфейс Predicate с одним методом test).

Введем предикат p(a, b), который возвращает true если человек a является родителем человека b (считаем, что у каждого человека есть родители, хотя бы биологические). Пусть у нас также будет множество людей H. Тогда, с учетом кванторов, можно сказать следующее

Нужно время, чтобы привыкнуть к такому языку. Здесь сказано следующее

Если по-простому - у каждого есть родитель. Заметим, насколько короче получается запись формулировки с помощью кванторов и специальных символов.

Множества с помощью предикатов обычно записываются с помощью вертикальной черты, которая читается "такой, что", "который". Например множество A состоит из чисел, меньших 10, а множество В - из таких городов, которые являются столицей какой-либо страны.

Интервалы

С интервалами все просто. Если скобка квадратная - она включается в диапазон. Если круглая - нет. Всего есть 4 варианта

Например, если вы видите интервал [0, 1) - то ноль включен в интервал, а 1 - нет.

Множества чисел

Отдельные буквы есть для различных множеств чисел, т.к. они используются наиболее часто.

Изначально у людей появилась потребность в счете, например животных или предметов. Мы все начинаем изучать числа с понятия натурального (N - natural) числа - это числа 1, 2, 3 и т.д. (однозначного мнения по поводу того, включать ли ноль в натуральные числа нет, поэтому обычно об этом просто договариваются изначально).

Со временем мы учимся складывать и вычитать числа, и иногда получаем ноль или отрицательные числа. Так мы приходим к понятию целого (Z - zero) числа.

Научившись умножать и делить, иногда мы получаем числа записанные в виде дроби, или отношения двух чисел. Так бывает, когда мы делим одну пиццу на нескольких людей - каждый получит только часть пиццы. Такие числа называют рациональными и обозначаются буквой Q (Q - quotient). Записать рациональные числа можно следующим образом

Но это еще далеко не все. Есть такие числа, которые нельзя представить как отношение двух чисел. Например, квадратный корень из 2, число е, число пи. Такие числа называются иррациональными и обозначаются как I (I - irrational).

Вместе рациональные и иррациональные числа образуют действительные (или вещественные) числа. Если вы возьмете и нарисуете числовую прямую, единичный отрезок и начало отсчета, то вся прямая будет состоять из действительных чисел, в какую точку прямой не указать. Рациональные числа стали нужны тогда, когда математики пришли к понятию непрерывности. С помощью натуральных чисел мы можем только перескакивать от одного числа к другому, от одного к двум. Но с помощью действительных чисел мы можем подойти к двум сколь угодно близко.

Со временем математики столкнулись с уравнениями вида

Нет такого (действительного) числа, которое при возведении себя в квадрат давало бы отрицательное число. Но такие числа стали появляться не только в математике, и как следствие появились комплексные числа. Такие числа обозначаются буквой C (C - complex).

Конечно в разных областях встречаются и другие числовые множества, например множество простых чисел (P - prime), но знание этих множеств необходимо.

Все числовые множества обычно обозначаются не просто заглавной буквой, а с еще одной черточкой, которая указывает на принадлежность именно к данному множеству. Ниже приведены все эти множества с несколькими примерами в скобках. Обратите внимание на начертание букв.

Можно заметить, что некоторые числовые множества включают в себя другие множества. Это можно записать так

Или в виде изображения (взято с википедии).

Функции

Возьмем некоторое множество А, множество В и придумает такую операцию, при которой элемент из множества А переходит в элемент множества В. Вполне возможно, что оба множества, и А и В, относятся к одному классу, например действительные числа. Такое преобразование называется отображением множеств. Визуально его можно представить так

В большинстве случаев вы встречались с понятием функции. Это тоже отображение, но обычно считают что в функции каждый элемент переходит в другой элемент этого же множества, причем каждый элемент переходит только в один другой элемент (т.е. для каждой переменной x есть свое и только одно значение y). Примером функции может быть y = 2x. Мы берем элемент множества действительных чисел (пусть это число 1), преобразуем его (умножаем на 2) и получаем элемент число 2, которое также действительное.

У функций есть различные способы, но в основном используются следующие. Для примера функции f: y=2x, где x, y принимает действительные числа, можно записать следующее

У функции может быть обратная функция. Например, возьмем функцию y=2x, обратная к ней будет y=(1/2)x. Для получения обратной функции нужно поменять местами x и y, и выразить снова x. Так мы получим x=2y, y =(x/2) или y=(1/2)x.

Обратная функция обозначается со степенью -1

Композиция функций обычно обозначается кружочком и обозначает, что нам нужно выполнить одну функцию и ее результат подать другой функции. Например

В программировании это можно показать так: System.out.println(Math.abs(Math.floor(-5.3))); т.е.

Есть некоторое количество функций, которые следует знать.

• модуль числа - определяется следующей функцией

например

• факториал числа - это произведение числа на все натуральные числа, меньше самого числа. Например,

• логарифм. Вспомним понятие возведение в степень числа, например

Теперь предположим, что мы забыли в какую степень мы возводили число, и запишем вместо тройки просто n

Вопрос - чему равно n? В данном примере найти его несложно, но в других примерах на это может уйти много сил. Запись логарифма заменяет значение этой степени. Таким образом, логарифм показывает в какую степень (показатель степени) нужно возвести основание (в данном случае 5), чтобы получить нужное значение (число 125)

Основание может быть любым, но особое распространение получили следующие логарифмы(натуральный, десятичный, двоичный)

• Степень, в которую возводят число может быть и дробным и отрицательным значением. В случае дроби это означает, что нужно возвести в степень числителя и извлечь корень степени знаменателя.

Отрицательное значение степени означает следующее

• Тригонометрические функции - просто перечислим: sin(синус), cos(косинус), tg(тангенс), ctg(котангенс), sec(секанс), cosec(косеканс), arcsin(арксинус), arccos(арккосинус), arctg(арктангенс), arcctg(арккотангенс), arcsec(арксеканс), arccosec(аркосеканс)
• Вам может встретиться функция целая часть действительного числа, ее также называют антье функция, или по-простому пол (floor). Кроме пола есть и потолок (ceiling). Вот что это такое.

Возьмем действительное число 3.7. Целая часть числа - это наибольшее целое число, которое не превосходит указанное, т.е. число 3. Функция потолок - это наименьшее целое число, которое не меньше указанного. Для 3.7 это число 4. Т.е. это просто округление в большую и меньшую сторону.

У таких функций есть особое обозначение (похожи на квадратные скобки, но без черточек вверху или внизу). Тут главное не запутаться с отрицательными значениями.

Свойства алгебраических операций

Придумаем некоторую операцию и обозначим ее как кружочек (это может быть сложение, умножение и т.д.). Пусть у нас есть некоторое множество P

• Коммутативность (или переместительный закон) - алгебраическая операция обладает свойством коммутативности, если

По-простому - от перестановки местами значение не изменится. Со сложением это так, а вот с вычитанием - нет. Действительно 5+3=3+5, но 5-3!=3-5

• Ассоциативность (или сочетательный закон) - алгебраическая операция обладает свойством ассоциативности, если

Т.е. когда нам неважно как раскрыть скобки. Опять же, со сложением это так, а с вычитанием - нет (5+3)+1=5+(3+1), но (5-3)-1!=(5-(3-1)).

• Дистрибутивность (или распределительный закон) - алгебраическая операция обладает свойством дистрибутивности, если (здесь нам понадобится еще одна операция)

Классический пример - дистрибутивность умножения относительно сложения. 5 * (3 + 1) = (5 * 3) + (5 * 1).

Алгебраические структуры

Множество называется структурой, если на нем определены некоторые операции, обладающие определенными принципами.

Группа - это множество, на котором

• определена операция, которую можно выполнить не выходя за пределы группы, т.е.если у вас есть операция над 2-мя элементами, то результат операции также находится в этом множестве.(при вычитании на множестве натуральных чисел можно выйти за пределы множества т.е. получить отрицательные значения)
• выполняется ассоциативный закон
• существует так называемый нейтральный элемент, при выполнении операции с которым элемент не меняется (a + 0 = a, a * 1 = a)
• для каждого элемента a существует обратный элемент (-a), при выполнении операции с которым получается нейтральный элемент (a - a = 0)
• если для группы выполняется коммутативный закон, то такую группу называют коммутативной (или абелевой) группой.

Самый простой пример группы - множество целых чисел с операцией сложения.

Кольцо - это структура с двумя операциями, которые обычно называют сложение и умножение, и удовлетворяющая следующим условиям

• относительно сложение множество - абелева группа
• выполняется дистрибутивность умножения относительно сложения

Примером кольца может быть множество целых чисел относительно обычных операций сложения и умножения

Поле - это структура с операциями сложения, вычитания, умножения и деления, которое

• является коммутативным кольцом с единицей
• содержит обратный элемнент по умножению

Кстати, такие структуры называются алгебрами, и поэтому математика распадается на алгебру и геометрию.

Классический пример - поле действительных чисел.

В следующий раз, если вы услышите что-то вроде "используй дистрибутивный закон умножения относительно сложения над полем действительных чисел", это будет звучать не так страшно и всего лишь обозначает, что нужно раскрыть скобки.

Сравнимость

На большинстве стрелочных часов есть значения только от 0 до 12 (одно и то же значение), но часов в сутках 24. Поэтому, когда нам днем говорят что время 2 часа - мы понимаем, что на самом деле время 14:00.

Можно сказать так: сейчас 2 часа по модулю 12, или

Знак, похожий на равно, но с 3-мя черточками показывает на равенство по модулю, указанному после mod.

Математический анализ

Представим ситуацию, вы заказали себе пиццу, и решили съесть ее в одиночку. В какой-то момент вам позвонил друг и сказал, что скоро придет к вам - теперь вам нужно разделить пиццу на 2, т.е. каждый получит по 0.5 пиццы. А если друзей будет все больше и больше? Если их будет 10, каждый получит по 0.1 пиццу Если 100 - по 0.01. А если мы продолжим бесконечно количество, то каждый получит ничего (настолько маленькую часть пиццы что ее не будет совсем).

Вот как это можно записать на языке пределов

Единица заменяет пиццу, n - количество друзей (которое бесконечно увеличивается), а lim (от англ. limit - предел) указывает на то, что n стремится к какому-то числу.

Если вы видите выражение, в котором есть следующие символы, то здесь речь о производной (производная показывает как быстро меняется значение функции, за очень короткий промежуток времени. Самый простой пример - спидометр автомобиля, который показывает пройденное расстояние за промежуток времени, т.е. скорость, а мгновенная скорость (прямо в этот момент) - это и есть производная расстояния по времени).

Если видите что-то вроде такого

то речь об интегралах (неопределенный или определенный). Основная идея интеграла - посчитать что-то целое как сумму очень маленьких простых частей. Даже сам символ интеграла неспроста похож на букву S (sum).

Последовательности

Иногда возникают формулы, в которых нам надо найти суммы или произведения последовательностей выражений. Начнем с простого. Запишем сумму первых чисел от 0 до 10. Конечно, записывать все числа было бы неудобно, поэтому для суммы есть специальный символ сигма

Внизу от символа обозначается переменная, которая меняет значения (в примере это i, изначально равная нулю). Сверху от символа обозначается последнее значение, которое примет переменная i. В каком то смысле это цикл for(int i = 0; i <= n; i++) {...}, в котором после каждой итерации мы прибавляем результат к итоговому значению.

Аналогично вместо суммы может понадобиться произведение элементов

Здесь все то же самое, но вместо суммы - произведение.

Кроме суммы и произведения есть еще пересечение и объединение нескольких множеств

Константы

Основные константы, их значения и обозначения, которые могут встретиться

• Основание натурального логарифма (число e)

• отношение длины окружности к диаметру

• бесконечность (иногда уточняют, положительная или отрицательная)

• мнимая единица i - один из корней уравнения

• научная нотация числа - любое числа можно представить как дробное число, целая часть которого больше 0, но меньше 10 и степени 10, на которую нужно умножить это число. Например, возьмем число 12345, его можно представить как 1.2345 * 10^4, или 1.2345E4. Большинство языков программирования также поддерживают научную запись числа.

Необходимость и достаточность

Выражения, которые часто путают - необходимое и достаточное условие. Мы также встречаемся с этими терминами в жизни. Например, для того, чтобы человек победил в соревнованиях по шахматам, необходимо чтобы он вышел в финал (но не достаточно, он может проиграть в финале). Для того чтобы человек стал призерем (т.е. занял место с 1 по 3), ему достаточночно выйти в финал (он точно займет или 1, или 2 место).

Для того чтобы число делилось на 2, достаточно того, чтобы оно делилось на 6 (т.к. мы можем представить 6 как 2*3, любое число, которое делится на 2*3 делится и на 2). Но для того, чтобы число делилось на 6, необходимо чтобы оно делилось на 2 (но не достаточно, 10 делится на 2, но не делится на 6. Если число не делится на 2 - оно нечетное и точно не делится на 6).

Выражения необходимо/достаточно нередко возникают при доказательстве теорем (особенно в мат.анализе), причем бывает что отдельно доказывают сначала необходимость условия, а затем его достаточность.

Чтобы лучше понять эти термины, начнем с самого простого. Утверждения - это выражения, на которые можно ответить что они правда или ложь. Снег белый - правда, медведи летают - ложь.

Символ конъюнкции заменяет союз И. Конъюнкция верна тогда, когда верны оба высказывания, например

Дизъюнкция заменяет союз или. Она верна когда верно хотя бы одно из высказываний

Символ не меняет значение утверждения с true на false, и наоборот

Теперь самое интересное - импликация. Она появляется повсюду в доказательствах, и звучит "Если А, то В". Обозначается она стрелкой вправо

Утверждение А может быть истинным или ложным, как и В. Всего у нас есть 4 варианта

Может показаться на первый взгляд странным, что импликация ложна только в случае (true -> false). Но что вообще представляет импликация? Она отвечает на вопрос, верно ли мы перешли от утверждения А к утверждению В. Если они оба правдины, то все хорошо. Если мы перешли от верного утверждения к неверному - логика рассуждений нарушена (если число 4 четное, то (4+1) - тоже четное. Этот переход абсолютно неверен, из того, что 4 - четное число не означает, что 5 - тоже четное, мы перешли от true к false, но такой переход неверный).

Но в случае, когда утверждение "Если ..." неверно, нам не так важно что будет дальше. "Если 5 делится на 2 без остатка - то я умею видеть сквозь стены". Это правда, т.к. когда 5 станет четным числом, я буду видеть сквозь стены (проблема в том, что этого никогда не произойдет). Но я также могу сказать, "Если 5 делится на 2 без остатка - то я человек". Здесь опять же, не важно что мы говорим после "если", когда это утверждение ложно, т.к. оно никогда не станет верным. Из лжи следует все что угодно.

Вернемся к импликации, и установим такое правило: если А верно, то В также верно. Если А неверно, то В может быть любым. Тогда А называют достаточным условием для В (для верности В нам достаточно верности А), а В - необходимым условием для А.

Посмотрим на следующее изображение. Для истинности В достаточно того, чтобы А было верно. Например, для того, чтобы число делилось на 2 достаточно, чтобы оно делилось на 10. Если делится на 10 - делится на 2, но не необходимо чтобы оно делилось на 10 (например 8). Но истинность высказывания В является необходимым условием для истинности А, т.к. мы ввели правило: если А верно, то В верно. Если многоугольник - ромб, необходимо, чтобы он был четырехугольником, но этого не достаточно, т.к. не любой четырехугольник ромб.

Введем следующие утверждения: А - сумма квадратов двух меньших сторон треугольника равна квадрату большей стороны и В - треугольник прямоугольный. То можно сказать следующее (теорема Пифагора)

Так мы пришли к понятию необходимо и достаточно, который обозначается стрелкой в обе стороны сразу. Читается он обычно как "тогда и только тогда".

Термины из доказательств

Вам часто будут попадаться следующие термины

Лемма - так обычно говорят об утверждении, которое доказано но само по себе не так ценно, а просто нужно в другом доказательстве (например в теореме).

Теорема - утверждение, истинность которого доказана с помощью других теорем, лемм и аксиом.

Аксиома (или постулат) - это то, что принимают без доказательств из-за очевидности или как отправную точку в других теоремах.

Гипотеза - предположение, которое еще не сумели доказать или опровергнуть. Впоследствии она может стать теоремой (если ее докажут) или просто ошибочным предположением. Не стоит путать гипотезу и теорию.

Следствие - утверждение, которое легко доказать из предыдущего утверждения.

Примеры

Давайте потренируемся читать на математическом.

• Последовательность значений

называется монотонно возрастающей, если (для любого числа n из множества натуральных чисел любое число a с индексом n будет меньше, чем число с индексом n+1)

• Множества А и В называются равными тогда и только тогда, когда для любого выбранного элемента x если он присутствует в множестве А, то он присутствует и в множестве В, и наоборот

• Равенство двух многочленов записывается следующим образом. Пусть у нас есть многочлены

тогда (многочлены P и Q равны тогда, и только тогда, когда равны коэффициенты при соответствующих степенях)

• Формула включений исключений из теории множеств (для того, чтобы посчитать мощность объединения множеств А с индексами от 1 до n, нужно найти сумму мощностей от пересечения всех меньших множеств, умноженную на (-1) в степени количество используемых множеств - 1)

• Определение предела числовой последовательности. Наличие предела функции f(x), равного b

означает, что (для любого эпсилон, большего нуля найдется такое натуральное число N, что для любого числа больше этого N выполнится неравенство модуль разницы значения функции и числа a меньше эпсилон, то a - предел числовой последовательности)

Заключение

Пожалуй одно из самых распространенных выражений в математике - "очевидно, что ...". Но очевидно только то, что далеко не все очевидно.

В различных областях есть еще множество своих терминов, символов, обозначений (например линейная алгебра, геометрия, теория вероятности). В этой статье были представлены наиболее часто встречающиеся понятия из математики.