X N X N X X
⚡ TÜM BİLGİLER! BURAYA TIKLAYIN 👈🏻👈🏻👈🏻
X N X N X X
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Der Text ist unter der Lizenz „Creative Commons Attribution/Share Alike“ verfügbar; Informationen zu den Urhebern und zum Lizenzstatus eingebundener Mediendateien (etwa Bilder oder Videos) können im Regelfall durch Anklicken dieser abgerufen werden. Möglicherweise unterliegen die Inhalte jeweils zusätzlichen Bedingungen. Durch die Nutzung dieser Website erklären Sie sich mit den Nutzungsbedingungen und der Datenschutzrichtlinie einverstanden.
Wikipedia® ist eine eingetragene Marke der Wikimedia Foundation Inc.
In der Mathematik versteht man unter der bernoullischen Ungleichung eine einfache, aber wichtige Ungleichung , mit der sich eine Potenzfunktion nach unten abschätzen lässt.
Für jede reelle Zahl
x
≥
−
1
{\displaystyle x\geq -1}
[1] und jede ganze Zahl
n
≥
0
{\displaystyle n\geq 0}
gilt
Benannt ist die Ungleichung nach dem Schweizer Mathematiker Jakob I Bernoulli . [3]
Jakob Bernoulli veröffentlichte diese Ungleichung zuerst in seiner Arbeit Positiones Arithmeticae de Seriebus Infinitis (Basel, 1689), in der er diese Ungleichung häufig anwandte. [4]
Laut Joseph E. Hofmann geht die Ungleichung aber auf den Mathematiker Sluse zurück, der sie 1668 in seiner Arbeit Mesolabum veröffentlicht haben soll. [5] [4]
Die bernoullische Ungleichung lässt sich mit vollständiger Induktion beweisen. [6] Der Induktionsanfang
n
=
0
{\displaystyle n=0}
ist erfüllt:
Als Induktionsvoraussetzung gelte nun
(
1
+
x
)
n
≥
1
+
n
x
{\displaystyle (1+x)^{n}\geq 1+nx}
für
n
∈
N
0
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}
,
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
und
x
≥
−
1
{\displaystyle x\geq -1}
.
Dann folgt wegen
1
+
x
≥
0
{\displaystyle 1+x\geq 0}
und der Induktionsvoraussetzung
Nach dem Induktionsprinzip gilt die Behauptung für alle
n
∈
N
0
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}
.
Für
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
kann die Bernoulli-Ungleichung auch über den binomischen Lehrsatz bewiesen werden. Es gilt hier
für alle reellen
a
≥
1
{\displaystyle a\geq 1}
.
Beweis: Zunächst sei
x
n
≥
0
{\displaystyle x_{n}\geq 0}
definiert durch
Dann gilt nach der Bernoulli-Ungleichung
Ebenfalls als bernoullische Ungleichung wird folgende Ungleichung bezeichnet, die ein „strikt größer“ statt eines „größer gleich“ verwendet:
Für alle reellen Zahlen
x
>
−
1
{\displaystyle x>-1}
,
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
und alle natürlichen Zahlen
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
gilt
Der Beweis lässt sich ebenfalls mit Induktion nach dem gleichen Muster wie der Beweis für die Formulierung mit „größer gleich“ durchführen. [3]
Für reelle Exponenten lassen sich folgende Verallgemeinerungen durch Vergleich der Ableitungen zeigen: Für alle
x
>
−
1
{\displaystyle x>-1}
gilt
wenn
r
≥
1
{\displaystyle r\geq 1}
, und
wenn
0
≤
r
≤
1
{\displaystyle 0\leq r\leq 1}
.
Betrachtet man keine Potenz, sondern ein Produkt unterschiedlicher Faktoren, so lässt sich folgende Verallgemeinerung mittels vollständiger Induktion zeigen:
falls
−
1
<
x
i
<
0
{\displaystyle -1
0
{\displaystyle x_{i}>0}
für alle
i
{\displaystyle i}
und
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
. [3]
Setzt man dabei
u
i
:=
−
x
i
{\displaystyle u_{i}:=-x_{i}\;}
und betrachtet den Spezialfall
−
1
≤
x
i
≤
0
{\displaystyle -1\leq x_{i}\leq 0}
, also
0
≤
u
i
≤
1
{\displaystyle 0\leq u_{i}\leq 1}
, so erhält man die sogenannte Weierstraß-Produkt-Ungleichung [7] [8]
Die bernoullische Ungleichung ist bei vielen Abschätzungen hilfreich. Es sei
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
fix, dann ist
x
n
≥
−
1
{\displaystyle {\frac {x}{n}}\geq -1}
für hinreichend großes
n
{\displaystyle n}
.
Mit der bernoullischen Ungleichung gilt daher
Um die Konvergenz
lim
n
→
∞
q
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }q^{n}=0}
für reelle Zahlen
q
{\displaystyle q}
mit
0
<
q
<
1
{\displaystyle 0
0
{\displaystyle \epsilon >0}
ist. Hierfür kann die Bernoulli-Ungleichung verwendet werden. Zunächst formt man die Zielungleichung
q
N
<
ϵ
{\displaystyle q^{N}<\epsilon }
durch Äquivalenzumformungen um:
Wegen
0
<
q
<
1
{\displaystyle 0
1
{\displaystyle {\tfrac {1}{q}}>1}
. Setzen wir
1
+
x
=
1
q
{\displaystyle 1+x={\tfrac {1}{q}}}
so ist
x
>
0
{\displaystyle x>0}
und außerdem nach der Bernoulli-Ungleichung
Alternativ kann also auch ein
N
∈
N
{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
gefunden werden, so dass
1
+
N
⋅
x
>
1
ϵ
{\displaystyle 1+N\cdot x>{\tfrac {1}{\epsilon }}}
ist. Ist nämlich
1
+
N
⋅
x
>
1
ϵ
{\displaystyle 1+N\cdot x>{\tfrac {1}{\epsilon }}}
dann folgt aus obiger Ungleichung
(
1
q
)
N
≥
1
+
N
⋅
x
{\displaystyle \left({\tfrac {1}{q}}\right)^{N}\geq 1+N\cdot x}
, dass automatisch auch
(
1
q
)
N
>
ϵ
{\displaystyle \left({\tfrac {1}{q}}\right)^{N}>\epsilon }
ist. Die Existenz von
N
{\displaystyle N}
ist durch das archimedische Axiom gewährleistet.
Der Vorteil der obigen Vorgehensweise ist der, dass hier im Beweis nicht auf den Logarithmus zurückgegriffen werden muss, welcher am Anfang einer Analysis-Vorlesung in der Regel noch nicht zur Verfügung steht.
Unter Verwendung einer Abschätzung mit der bernoullischen Ungleichung lässt sich die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel über vollständige Induktion beweisen. Es ist sogar so, dass die Bernoulli-Ungleichung äquivalent zur Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist. [9]
From Wikipedia, the free encyclopedia
Algebraic expansion of powers of a binomial
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
{\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}}
The binomial coefficient
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
appears as the k th entry in the n th row of Pascal's triangle (counting starts at 0 ). Each entry is the sum of the two above it.
(
x
+
y
)
4
=
x
4
+
4
x
3
y
+
6
x
2
y
2
+
4
x
y
3
+
y
4
.
{\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.}
(
x
+
y
)
n
=
(
n
0
)
x
n
y
0
+
(
n
1
)
x
n
−
1
y
1
+
(
n
2
)
x
n
−
2
y
2
+
⋯
+
(
n
n
−
1
)
x
1
y
n
−
1
+
(
n
n
)
x
0
y
n
,
{\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},}
(
x
+
y
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
n
−
k
y
k
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
k
y
n
−
k
.
{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.}
(
1
+
x
)
n
=
(
n
Xnxx Videoları
Roket Tubaponro
Gizli Çekim Banyodaki Türk Kızları