Вынужденные колебания. Амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики . Реферат. Физика.

💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.


Помощь в написании работы, которую точно примут!

Похожие работы на - Вынужденные колебания. Амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики

Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе


Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе


Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе

Нужна качественная работа без плагиата?

Не нашел материал для своей работы?


Поможем написать качественную работу Без плагиата!

Белорусский государственный университет


Факультет радиофизики и электроники


Колебания – такие процессы, при которых параметры,
характеризующие состояние колебательной системы, повторяются с течением
времени. Например, колебания маятника в маятниковых часах, суточные колебания
освещённости данного участка Земной поверхности и т.д.


Рис. 1 Система с вынужденными колебаниями

Рассмотрим колебательную систему, показанную
на рисунке 1.


Она состоит из горизонтального пружинного
маятника и кривошипо-шатунного механизма. Кривошипо-шатунный механизм - механизм,
который преобразует вращательное движение в возвратно-поступательное.


Тогда II-й закон Ньютона для данной системы
запишется в виде:



где - масса
тела, – его ускорение,
 - сила тяжести, - сила реакции опоры, - сила вязкого трения ( ), - внешняя вынуждающая сила, - сила упругости пружины ( ).


Введём обозначения ( – показатель затухания, - коэффициент сопротивления), ( – циклическая частота свободных
колебаний системы в отсутствие трения), – приведённая сила. Тогда можем переписать уравнение
в общем виде:


Уравнение (4) – дифференциальное уравнение
вынужденных колебаний, линейное, второй степени, неоднородное (с правой
частью). Исследуем его. Как известно из теории дифференциальных уравнений,
решением уравнения (4) является сумма двух решений: общего решения однородного
уравнения соответствующего данному неоднородному и частного решение неоднородного
уравнения в целом.


Однородное уравнение соответствующее данному неоднородному есть уравнение
затухающих колебаний


Решением этого уравнения является функция:


Частное решение неоднородного уравнения в целом
будем искать следующим образом. Как показывает практика, не зависимо от
начальных условий осциллятора через достаточно большой промежуток времени
(время разгорания/релаксации) в системе установятся гармонические колебания с
частотой вынуждающей силы и амплитудой , зависящей от частоты .


Различные случаи установления
гармонических колебаний:

Рис. 4 Произвольный случай разгорания

Здесь – это время разгорания колебаний.


Это значит, что через достаточно большой
промежуток времени первым слагаемым можно пренебречь. Действительно в (6) при , . Таким образом


где -
амплитуда установившихся колебаний с частотой - частотой внешней вынуждающей силы, - сдвиг фаз между
смещением и фазой внешней силы.


Найдем, чему равны и при частоте внешней силы . Для этого найдем 1-ю и 2-ю производные
от (7):


Данное уравнение будет справедливо при любом , если коэффициенты при и будут равны нулю:


Из этой системы найдем зависимость амплитуды установившихся колебаний и
сдвига фаз от частоты внешней вынуждающей силы:


Исследуем выражение (11) на
экстремумы. Очевидно, что амплитуда колебаний будет максимальной в том случае,
если подкоренное выражение в (11) будет минимальным. Обозначим . Запишем условие
экстремума подкоренного выражения:


Таким образом, подкоренное
выражение (и, соответственно, амплитуда колебаний) принимает экстремальное
значение при:


Если производная , при подстановке корня
(12) и (13) будет положительна, то в этом случае подкоренное выражение будет
минимальным, а амплитуда – максимальной. Вторая производная от подкоренного
выражения равна:


Значение этой производной при равно а при , равно . Учитывая, что в колебательных системах, как
правило, , видим,
что максимуму амплитуды соответствует частота вынуждающей силы .


Явление резкого увеличения
амплитуды вынужденных колебаний при определённой частоте вынуждающей силы
называется резонансом .


Таким образом, резонансная частота
равна


Учитывая это значение, по (10) и (11)
находим резонансные значения сдвига фаз и амплитуды колебаний:                                  


Из (15) и (16) видно, что при
отсутствии трения ( )
амплитуда колебаний при резонансе неограниченно возрастает, а сдвиг фаз между
смещением и фазой вынуждающей силой равен .


Для вынужденных колебаний вводят,
так называемые, амплитудо-частотные (зависимость амплитуды колебаний от
частоты вынуждающей силы) и фазово-частотные (зависимость сдвига фаз от
частоты вынуждающей силы) характеристики . Графически эти зависимости при
различных значениях приведены
на рисунках 5 и 6:


Рис.5 Амплитудно-частотные характеристики

Рис.6 Фазово-частотные характеристики

Отметим здесь,
что в отсутствие трения изменение фазы вынужденных колебаний на величину происходит скачком при . Учет трения размазывает
этот скачок.


При установившемся движении, когда система совершает
вынужденные колебания по закону ( 7 ), ее энергия, очевидно, остается
неизменной. Однако при этом внешняя сила непрерывно совершает работу над
системой. Иными словами, система непрерывно поглощает (от источника внешней
силы) энергию, которая, в конечном счете, диссипируется в тепло благодаря
наличию трения.


Пусть обозначает количество энергии, поглощаемой
системой в среднем в единицу времени, как функция частоты вынуждающей силы. Эта
величина, как известно, равна работе внешней силы за единицу времени, то есть
мощности (усредненной затем по времени):


Отсюда, согласно уравнению движения,


Здесь, в (17) и (18), символ обозначает работу.


При усреднении по времени первое и третье
слагаемые в этом выражении, будучи произведениями синуса на косинус, очевидно,
дают нуль. В результате остается лишь вклад от второго слагаемого


Производя усреднение по времени, заметим, что второе слагаемое зануляется,
поэтому:


Исследуем это выражение на экстремумы.
Очевидно, что экстремальное значение оно примет при экстремальном значении
знаменателя. Производная от знаменателя обращается в нуль при .


Вблизи резонанса амплитуда определяется формулой
(16). Введём величину , характеризующую частотную pасстpойку
относительно резонанса и равную . В итоге получаем:


Такой вид зависимости поглощения от
частотной расстройки относительно резонанса называют дисперсионным. Полушириной
резонансной кривой (см. рис. 7) называется значение , при котором величина уменьшается вдвое
по сравнению с ее максимальным значением при .


Рис. 7 Резонансная кивая поглощения


Из формулы (23) следует, что в pассматpиваемом
случае .
С другой стороны, высота максимума




обратно пpопоpциональна . Поэтому при уменьшении трения резонансная кривая
становится уже и выше, то есть ее максимум становится более острым. Однако площадь
под резонансной кривой остается при этом неизменной.


Линейность уравнений движения, описывающих
вынужденные гармонические колебания (с трением и без него), приводит к тому,
что оказывается справедливым, так называемый, принцип суперпозиции колебаний .



Пусть, например, на систему, совершающую
колебательное движение, действует внешняя сила, зависящая от времени и представляющая
собой суперпозицию двух сил


Это могут быть, напpимеp, периодические по времени функции с различными
частотами и
. Уравнение
движения тогда запишется в виде:


Согласно принципу суперпозиции, решение
этого уравнения есть сумма решений того же уравнения под воздействием каждой из
сил в отдельности, то есть


где функции и удовлетворяют уравнениям


Проверяется это утверждение непосредственной
подстановкой. Для
этого первое из уравнений (28) складывают со вторым. В силу линейности всех операций
в левой части уравнения (28), мы и приходим к сформулированному выше принципу суперпозиции
колебаний.






Похожие работы на - Вынужденные колебания. Амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики Реферат. Физика.
Реферат На Тему Геополитические Теории
Реферат: Семья Дюма
Контрольная работа: Межнациональные браки. Скачать бесплатно и без регистрации
Дипломная работа по теме Направления совершенствования управления платежеспособностью предприятия на примере ОАО 'Нефтеюганскшина'
Реферат Пользуется Ли Ремонт Компьютерной Техники Популярностью
Курсовая работа по теме Доверительное управление имуществом
Дипломная работа по теме Методика развития ритмичности у танцоров 10-11 лет
Сочинение: Болдинская осень
Курсовая работа по теме Методика заповнення декларації з податку на додану вартість юридичними особами
Физика 8 Класса Лабораторная Работа 1
Контрольная работа: Строение и функции опорно-двигательного аппарата человека
Реферат: Крупнейшие городские агломерации - Нью-Йорк. Скачать бесплатно и без регистрации
Сочинение Рассуждение Зачем Нужны Словари
Курсовая работа по теме Расчет максимальной величины износа рабочих поверхностей колес открытой фрикционной цилиндрической передачи
Сочинение 15 3 Доброта
Реферат по теме Правовые системы в римском праве
Реферат: ПО Маяк в Озерске. Скачать бесплатно и без регистрации
Луч Света В Темном Царстве Сочинение
Курсовая На Тему Синдром Уходов И Бродяжничества
Гдз Сочинение Слово О Полку Игореве
Похожие работы на - Свойства нервных центров
Реферат: Literary Criticism In Canterbury Tales Essay Research
Реферат: Defense On Behalf Of Palamedes Essay Research