Введение понятия функция

История развития понятия 'функция'

=== Скачать файл ===

В таком случае, пожалуйста, повторите заявку. При изучении степенной функции в школьном курсе математики подходят с позиции изучения таких понятий как, постепенное расширение значения числа , причем рассматриваются не функции, например, , , а вводится понятие степени определенного вида. При изучении понятия степень в школе получаем следующую последовательность:. На изучение темы отводится 6 часов. Начиная с XVII в. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Таблицы квадратов и кубов чисел, также применявшиеся вавилонянами, представляют собой задания функции. Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут свое начало в XVII в. Четкого представления понятия функции в XVII в. Постепенно понятие функции стало отождествляться таким образом с понятием аналитического выражения формулы. Лейбниц употреблял с г. Бернулли; начиная с г. Для обозначения произвольной функции от х Иоганн Бернулли применял знак х, называя характеристикой функции, а также букву х Лейбниц употреблял х1, х2 вместо современных. Эйлер обозначал через то, что мы ныне обозначаем через. Явное определение функции было впервые дано в г. Бернулли, несколько уточняя его. Так понимали функцию на протяжении почти всего XVIII в. Даламбер, Лагранж и другие видные математики. Что касается Эйлера, то он не всегда придерживался этого определения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математической науки. В некоторых своих произведениях Л. В связи с таким взглядом Л. Эйлера на функцию между ним и его современниками, в первую очередь его постоянным соперником, крупным французским математиком Даламбером, возникла большая полемика вокруг вопроса о возможности аналитического выражения произвольной кривой и о том, какое из двух понятий кривая или формула следует считать более широким. Так возник знаменитый спор, связанный с исследованием колебаний струны. Эйлер дает общее определение функции: На основе этого определения Эйлера французский математик С. Как видно из этих определений, само понятие функции фактически отождествлялось с аналитическим выражением. Новые шаги в развитии естествознания и математики в XIX в. Большой вклад в решение спора Эйлера, Даламбера, Д. Бернулли и других ученых XVIII в. В представленных им в Парижскую Академию наук в и гг. Из трудов Фурье явствовало, что любая кривая независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она составлена, может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением. Коши обосновал выводы Фурье. Таким образом, на известном этапе развития физики и математики стало ясно, что приходится пользоваться и такими функциями, для определения которых очень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическим аппаратом. Лобачевский, развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции в г. Еще до Лобачевского аналогичная точка зрения на понятие функции была высказана чешским математиком Б. Лежен-Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: Прослеживая исторический путь развития понятия функции, невольно приходишь к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики в целом. Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия функции и других математических понятий. Математика — незавершенная наука, она развивалась на протяжении тысячелетий, развивается в нашу эпоху и будет развиваться в дальнейшем. Обоснование функциональной линии как ведущей для школьного курса математики — одно из крупнейших достижений современной методики. Однако реализация этого положения может быть проведена многими различными путями; многообразие путей вызвано фундаментальностью самого понятия функции. Для того чтобы составить представление об этом многообразии, сравним две наиболее резко различающиеся методические трактовки этого понятия; первую мы назовем генетической, а вторую — логической. Генетическая трактовка понятия функции основана на разработке и методическом освоении основных черт, вошедших в понятие функции до середины XIX в. Наиболее существенными понятиями, которые при этой трактовке входят в систему функциональных представлений, служат переменная величина, функциональная зависимость переменных величин, формула выражающая одну переменную через некоторую комбинацию других переменных , декартова система координат на плоскости. Такая трактовка естественно увязывается с остальным содержанием курса алгебры, поскольку большинство функций, используемых в нем, выражаются аналитически или таблично. Генетическая трактовка понятия функции содержит также черты, которые следует рассматривать как ограничительные. Одним из очень существенных ограничений является то, что переменная при таком подходе всегда неявно или даже явно предполагается пробегающей непрерывный ряд числовых значений. Поэтому в значительной степени понятие связывается только с числовыми функциями одного числового аргумента определенными на числовых промежутках. В обучении приходится, используя и развивая функциональные представления, постоянно выходить за пределы его первоначального описания. Логическая трактовка понятия функции исходит из положения о том, что строить обучение функциональным представлениям следует на основе методического анализа понятия функции в рамках понятия алгебраической системы. Функция при таком подходе выступает в виде отношения специального вида между двумя множествами, удовлетворяющего условию функциональности. Начальным этапом изучения понятия функции становится вывод его из понятия отношения. Реализация логического подхода вызывает необходимость иллюстрировать понятие функции при помощи разнообразных средств; язык школьной математики при этом обогащается. Помимо формул и таблиц, здесь находят свое место задание функции стрелками, перечислением пар, использование не только числового, но и геометрического материала; геометрическое преобразование при таком подходе оказывается возможным рассматривать как функцию. В современном школьном курсе математики в итоге длительных методических поисков в качестве ведущего был принят генетический подход к понятию функции. Одновременно учитывается все ценное, что можно извлечь из логического подхода. Исходя из этого при формировании понятий и представлений, методов и приемов в составе функциональной линии система обучения строится так, чтобы внимание учащихся сосредоточивалось, во-первых, на выделенных и достаточно четко разграниченных представлениях, связанных с функцией, и, во-вторых, на установлении их взаимодействия при развертывании учебного материала. Иными словами, в обучении должна быть выделена система компонентов понятия функции и установлена связь между ними. В эту систему входят такие компоненты:. В процессе обучения алгебре все указанные компоненты присутствуют при любом подходе к понятию функции, но акцент может быть сделан на одном из них. Как только что мы отметили, функциональный компонент является основой введения и изучения понятия функции. На этой основе при организации работы над определением вводятся и другие компоненты, проявляющиеся в различных способах задания функциональной. Понятие функции, в системе формирования которого должны присутствовать такие задания, сразу выступает в курсе математики как определённая математическая модель, что и является мотивировкой для его углублённого изучения. Различие индуктивного и дедуктивного подходов. Не смотря на чрезвычайно большой объем, широту и сложность понятия функции, его простейший вариант дается уже в средних классах школы. Это понятие в дальнейшем играет важную роль, являясь базовым понятием в изучении алгебры и начал анализа. Начиная с 7 класса средней школы идет постепенное изучение свойств функций и функциональных зависимостей. Рассматриваются различные классы функций: В более старших классах вводятся тригонометрические функции, и, наконец, показательные и логарифмические функции. Все эти функции рассматриваются только как функции одной переменной, причем сами переменные не выходят за рамки множества вещественных чисел. В настоящее время, на волне педагогического поиска, стало появляться множество экспериментальных учебников для использования в школе. Наряду с добротными, толково написанными учебниками, в школы стала попадать, под предлогом апробации, масса учебников с довольно вольной трактовкой учебного материала, в том числе и глав, касающихся изучения функций. Часто нарушается логический порядок следования изучаемых разделов, допускаются ошибки при построении графиков, материал необоснованно упрощается, примитивизируется или наоборот, чрезмерно перегружается терминами и символикой. Введение понятия функции — длительный процесс, завершающийся формированием представлений о всех компонентах этого понятия в их взаимной связи и о роли, играемой им в математике и в ее приложениях. Этот процесс ведется по трем основным направлениям:. В реализации этого направления значительное место отводится усвоению важного представления, входящего в понятие функции, — однозначности соответствия аргумента и определенного по нему значения функции. Для рассмотрения этого вопроса привлекаются различные способы задания функции. Чаще других в математике и ее приложениях применяется задание функции формулой. Все другие способы играют подчиненную роль. Именно поэтому после первого знакомства с несколькими такими способами основное внимание в обучении уделяется тем функциям и классам, которые имеют стандартную алгебраическую форму их выражения. Однако при введении понятия, сопоставление разных способов задания функции выполняет важную роль. Во-первых, оно связано с практической потребностью: Во-вторых, оно важно для усвоения всего многообразия аспектов понятия функции. Формула выражает функцию лишь будучи включенной в соответствующую систему представлений и операций, а эта система такова, что различные компоненты понятия функции могут быть отображены наиболее естественно различными средствами. Использование перевода задания функции из одной формы представления в другую — необходимый методический прием при введении понятия функции. Реализация этого приема состоит в использовании системы заданий, в которых представлены все случаи такого перевода. Если ограничиться основными способами представления функции — формулой, графиком, таблицей, то получится 6 типов упражнений, при которых форма представления меняется, и 3 — при которых она остается такой же. Приведем примеры заданий первого типа — изменения формы представления:. Мы рассмотрим методику работы с этими заданиями только на этапе первоначального ознакомления с понятием функции, на других этапах она может быть совершенно иной. На рассмотренном этапе учащиеся еще не знают общего вида графика линейной функции задание а. Учитель может обратить внимание на то, что по точкам нельзя построить целиком график функции, если она определена на бесконечном множестве, но заметно, что эти точки лежат на прямой; оказывается, что это замечание верно. Таким образом, можно установить связи с дальнейшим изучением материала. Способ построения графика функции по точкам иллюстрируется заданием в ; пользуясь конкретным содержанием задания, учитель может отметить, что предлагаемые учащимися графики могут отличаться от действительного положения, но что на практике этим приемом часто приходится пользоваться интерполяция. В задании б можно отметить связь функциональных представлений с числовой системой — с понятиями точного и приближенного числового значения. С их сопоставлением постоянно приходится сталкиваться при построении графиков, потому что наносить точки на график можно лишь с ограниченной точностью. В настоящее время в изучении понятия функции в школе преобладающими являются два основных подхода: Сложившись исторически, они наиболее полно отвечают целям и задачам образования, и поэтому именно им отдано предпочтение при изучении математики, в том числе функций, в средних классах школ. Обилие примеров, призванных проиллюстрировать понятие функции, объясняется тем фактом, что проводя аналогии между различными примерами, учащиеся интуитивно нащупывают суть этого понятия, строят догадку относительно функциональных зависимостей в быту и в природе, и получают ее подтверждение в последующих примерах. Второй не менее важной причиной является то, что каждый из этих примеров содержит функцию заданную одним из возможных способов. В первом примере она задана аналитически, во втором — графически, в третьем это таблица. Это не случайность, разбирая примеры вместе с учителем, дети сразу привыкают к различным способам задания функций. И когда преподаватель начнет рассказывать параграф о способах задания функций, ученикам будет гораздо легче осознать новый материал, потому что для них он не будет абсолютно новым — они уже сталкивались с этим ранее. Такую зависимость одной переменной от другой называют функциональной зависимостью или функцией. Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией от этого аргумента. Так, площадь квадрата является функцией от длины его стороны; путь, пройденный автомобилем с постоянной скоростью, является функцией от времени движения. Так на практике реализуется индуктивный подход к изучению функций в школе. Альтернативой ему служит дедуктивный подход, который, хотя и применяется реже, имеет целый ряд положительных аспектов, которые и стали причиной его применения в школе. Для этого подхода характерно первоначальное, полное и сжатое изложение учебного материала, пусть даже малопонятного при первом прочтении, и дальнейшая углубленная проработка всех примеров, терминов и определений. Такой подход к изучению функций и не только их позволяет учащимся самостоятельно попытаться проследить логические связи в излагаемом материале, резко увеличивает интенсивность мыслительной деятельности, способствует более активному и глубокому запоминанию. Зависимость переменной у от переменной х называют функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у — зависимой переменной. Говорят, что у является функцией от х. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная образуют множество значений функции. Для функции f приняты обозначения: D f область определения функции, E f множество значений функции, f значение функции в точке. Элементы множества D f также называют значениями аргумента, а соответствующие им элементы E f значениями функции. Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл. Графиком функции называют множество всех точек, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты соответствующим значениям функции. Затем, на следующих уроках, происходит детальный разбор этого материала при активной работе учащихся. Тщательно рассматриваются все определения, прорешиваются примеры — идет усвоение нового материала. Обобщение понятия о степени; понятие о степени с иррациональным показателем; решение иррациональных уравнений и их систем; показательная функция, ее свойства и график; основные показательные тождества:. Основная цель — привести в систему и обобщить имеющиеся у учащихся сведения о степени, ознакомить их с показательной функцией и ее свойствами, научить решать несложные показательные уравнения, их системы содержащие также и иррациональные уравнения. Рассматриваются свойства и график показательной функции. Систематизация свойств указанной функции осуществляется в соответствии с принятой схемой исследования функций. Приведен краткий обзор свойств степенной функции в зависимости от различных значений показателя р. Особое внимание уделяется показательной функции как той математической модели, которая находит наиболее широкое применение при изучении процессов и явлений окружающей действительности. Рассматриваются примеры различных процессов например, радиоактивный распад, изменение температуры тела ; показывается, что решение дифференциальных уравнений, описывающих эти процессы, является показательная функция. В связи с этим для показательной функции дается формула производной, вывод которой проводится с привлечением интуитивных представлений учащихся. В ходе изучения свойств показательной функцией учащиеся систематически решают простейшие показательные уравнения и неравенства, а также иррациональные уравнения. По мере закрепления соответствующих умений целесообразно также предлагать им уравнения и неравенства, сводящиеся к простейшим в результате несложных тождественных преобразований. Появление вычислительной техники в школе открыло возможности, которые связаны с интеграцией новых информационных технологий в учебный процесс по различным школьным предметам. В настоящее время применение различных видов прикладного программного обеспечения носит преимущественно эпизодический характер. Курс алгебры знакомит учащихся с понятием степени с рациональным показателем. Таким образом для любого основания степени где ,. Затем формируется определение показательной функции: В качестве приложения свойств показательной функции рассматриваются решения простейших показательных уравнений и неравенств. Подходы к изучению степенной функции в науке и в школьном курсе математике различны. Существуют различные способы определения степенной функции; наиболее распространенное и наиболее общее из них — аксиоматическое. Вместе с оценкой стоимости вы получите бесплатно БОНУС: Даю согласие на обработку персональных данных и получить бонус. Спасибо, вам отправлено письмо. Если в течение 5 минут не придет письмо, возможно, допущена ошибка в адресе. Методические особенности введения показательной функции в курсе математики средней школы Курсовая работа 'Методические особенности введения показательной функции в курсе математики средней школы' Введение При изучении степенной функции в школьном курсе математики подходят с позиции изучения таких понятий как, постепенное расширение значения числа , причем рассматриваются не функции, например, , , а вводится понятие степени определенного вида. При изучении понятия степень в школе получаем следующую последовательность: Решение показательных уравнений и неравенств: Формирование понятия функции 1. Генетическое развертывание понятия функции обладает рядом достоинств. В эту систему входят такие компоненты: Различие индуктивного и дедуктивного подходов Не смотря на чрезвычайно большой объем, широту и сложность понятия функции, его простейший вариант дается уже в средних классах школы. Этот процесс ведется по трем основным направлениям: Первое из этих направлений проявляется в курсе школьной алгебры ранее остальных. Приведем примеры заданий первого типа — изменения формы представления: Далее дается само определение функции, вводятся термины аргумент и значение функции. Значения зависимой переменной называют значениями функции. Все значения которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции. Зависимости одной переменной от другой называют функциональными зависимостями. Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением функции. Обобщение понятия о степени; понятие о степени с иррациональным показателем; решение иррациональных уравнений и их систем; показательная функция, ее свойства и график; основные показательные тождества: Ознакомление учащихся с показательной функцией начиная с изучения свойств степеней. Функция — новый математический объект для учащихся. Область определения показательной функции множество действительных чисел. Область значений показательной функции множество действительных чисел. Степенной функцией называется любой непрерывный гамоморфизм группы R в себя, то есть любая функция f, отображающая множество Страницы: Абстрактно-дедуктивный метод введения и формирования математических понятий в классах Сущность формирования понятий, его общая схема и особенности, этапы реализации и возможные пути. Классификация понятий и ее методика для математических дисциплин. Определение как завершающий этап формирования понятия, его разновидности и особенности. Диалектика развития понятия функции. Различные подходы к изучению функций в школе и исследования с помощью ЭВМ. Ставропольский Государственный Университет КУРСОВАЯ РАБОТА по теме: Конкурсный урок алгебры и начала математического анализа по теме 'Логарифмические уравнения' Понятие и содержание логарифмического уравнения, основные методы его решения: Порядок нахождения корня логарифмического уравнения. Оценка правильности решения уравнений. Математические понятия Этапы формирования математических понятий при изучении математике в школе. Типичные ошибки, которые встречаются у учащихся при определении понятий. Методика работы над математическим определением, этапы их изучения. Педагогические приемы введения понятий. Изучение метода координат в курсе геометрии основной школы Теоретические основы использования метода координат в основной школе. Методические основы изучения метода координат. Этапы решения задач методом координат. Задачи, обучающие координатному методу. Методика изучения неравенств Методика обучения понятию неравенства и решению неравенств в начальной школе. Содержание и роль линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Классификация преобразований неравенств и их систем. Общая последовательность изучения материала. Производная в курсе алгебры средней школы Южно-Сахалинский Государственный Университет Кафедра математики Курсовая работа Тема: Производная в курсе алгебры средней школы Автор: Методика обучения решению задач с параметрами на уроках алгебры основной школы Особенности развития учащихся среднего школьного возраста. Роль математики в формировании и развитии интелектуальных качеств личности. Содержание 'линии задач с параметрами' в программе математики средней школы на примере учебников А. Методика изучения функций в школьном курсе математики Анализ функционально-графического моделирования как основной линии обучения. Использование генетической и логической трактовок понятия функции. Определение основных направлений и методической схемы введения нового материала в школьный курс математики. Методика преподавания темы 'Тригонометрические функции' в курсе алгебры и начал анализа Общие вопросы изучения тригонометрических функций в школе. Анализ изложения темы 'Тригонометрические функции' в различных школьных учебниках. Методика преподавания темы в курсе алгебры и начал анализа. Математика и физика в средней школе Содержание: Математика и физика в средней школе. Принцип связи физик с другими учебными предметами. Содержание межпредметных связей физики и математики. Применение алгоритмического метода при изучении неравенств Из истории алгоритмов. Формирование умений и навыков. Этапы изучения алгоритма в школе. Особенности изучения темы 'Неравенства'. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций на элективном курсе по математике в старших классах общеобразовательной школы Разработка занятий элективного курса. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств. Разработка элективного курса 'Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций'. Методические основы разработки элективного курса. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Приемы преобразования уравнений. Методика решения иррациональных уравнений. Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений. Применение общих методов для решения иррациональных уравнений. Методика решения иррациональных неравенств. Решение простейших тригонометрических уравнений. Сахалинский Государственный Университет Институт Естественных Наук План урока алгебры Тема: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Анализ школьных учебников по алгебре и началам анализа. Методика изучения иррациональных уравнений и неравенств на уроках математики. Основные понятия и наиболее важные приемы преобразования уравнений. Основы и методы решения иррациональных неравенств. Комплекс упражнений, направленных на формирование представлений о функциональной зависимости у младших школьников Педагогические идеи преподавания функциональной зависимости в начальной школе. Опытно-экспериментальная работа по формированию представлений о функциональной зависимости на уроках математики у младших школьников с применением комплекса упражнений. Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы Определение методической схемы преподавания материала: Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики Рассмотрение методики введения в школьный курс математики понятий синуса, косинуса, тангенса, основных тригонометрических тождеств на геометрическом и алгебраическом материалах , функций, преобразований, способов решения уравнений и неравенств. Физические модели при изучении интеграла в курсе алгебры и начал анализа в классах Психолого-педагогические основы изучения интеграла в школьном курсе математики. Анализ школьных учебников алгебры и начал анализа. Физические модели при изучении темы 'Интеграл'. Изучение свойств определенного интеграла с помощью физических моделей. Категории Авиация и космонавтика Административное право Арбитражный процесс 29 Архитектура Астрология 4 Астрономия Банковское дело Безопасность жизнедеятельности Биографии Биология Биология и химия Биржевое дело 79 Ботаника и сельское хоз-во Бухгалтерский учет и аудит Валютные отношения 70 Ветеринария 56 Военная кафедра География Геодезия 60 Геология Геополитика 49 Государство и право Гражданское право и процесс Делопроизводство 32 Деньги и кредит Естествознание Журналистика Зоология 40 Издательское дело и полиграфия Инвестиции Иностранный язык Информатика 74 Информатика, программирование Исторические личности История История техники Кибернетика 83 Коммуникации и связь Компьютерные науки 75 Косметология 20 Краеведение и этнография Краткое содержание произведений Криминалистика Криминология 53 Криптология 5 Кулинария Культура и искусство Культурология Литература:

Где взять номер яндекс кошелька

Как призвать духа в домашних условиях

Сонник я богатая юнона