Визуализация численных методов. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений - Программирование, компьютеры и кибернетика курсовая работа
Главная
Программирование, компьютеры и кибернетика
Визуализация численных методов. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Решение дифференциального уравнения с помощью численных методов (Рунге-Кутта и Эйлера модифицированного). Особенности построения графиков в программе Microsoft Visual Basic 10 с использованием ответа задачи, который имеет незначительную погрешность.
посмотреть текст работы
скачать работу можно здесь
полная информация о работе
весь список подобных работ
Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) её производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Часто в задаче Коши в роли независимой переменной выступает время.
Задачу Коши можно сформулировать следующим образом.
Пусть дано дифференциальное уравнение
и начальное условие y(x 0 ) = y 0 . Требуется найти функцию y(x), удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.
Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
- тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (x, y) к оси ОХ, - угловой коэффициент (рис.1).
Если правая часть f(x,y) непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенствами
то существует, по меньшей мере, одно решение y = y(x), определённое в окрестности |x - x 0 | < h, где h - положительное число.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица
где N - некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая, в общем случае, от a и b. Если f(x, y)имеет ограниченную производную в R, то можно положить
Решить методами Эйлера модифицированного и Рунге Кутта 4 порядка задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка на отрезке [X 0 ; X k ] с шагом h и начальным условием: Y(X 0 ) = Y 0 .
Ответ должен быть получен в виде таблицы результатов:
Где Y (1) , Y (2) - решения, полученные различными численными методами, Y T - точное решение дифференциального уравнения.
Возможно представление результатов решения не в виде таблицы, а в виде списков.
Данные таблицы визуализировать на форме в виде графиков.
Перед вычислением последнего столбца таблицы результатов необходимо из начальных условий вычесть значение коэффициента c, используемого в общем решении.
Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) её производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Часто в задаче Коши в роли независимой переменной выступает время. Задачу Коши можно сформулировать следующим образом:
Пусть дано дифференциальное уравнение
и начальное условие y(x 0 ) = у 0 . Требуется найти функцию у(x), удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.
Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
Выберем шаг h и введём обозначения:
y i - значение интегральной функции в узлах.
При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.
Иллюстрации к решению приведены на рисунке 4.
Проведем решение в несколько этапов:
Обозначим точки: А(х i , y i ,), C(x i + h/2, y i + h/2 • f(x i , y i )) и B(x i +1 , y i +1 );
Через точку А проведем прямую под углом б, где tg б = f(x i , y i );
На этой прямой найдем точку С(х i + h/2, y i + h/2 • f(x i , y i ));
Через точку С проведем прямую под углом б1, где tg б1 = f(x i + h/2,y i + h/2 • f(x i , y i ));
Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой;
Найдем точку B(x i +1 , y i +1 ). Будем считать B(x i +1 , y i +1 ) решением дифференциального уравнения при х = x i +1 ;
После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения у i +1 :
y i +1 = y i + h • f(x i + h/2, y i + h/2 • f(x i , y i )).
Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке 4 это хорошо видно. Так величина еl характеризует погрешность метода Эйлера, а е - погрешность метода Эйлера модифицированного.
Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера модифицированным приведена на рисунке 5.
F(x, у) - заданная функция - должна
Входные параметры: Х0, XК - начальное и конечное
Y0 - значение y 0 из начального условия
Рисунок 4. Метод Эйлера модифицированный.
Y - массив значений искомого решения
Рисунок 5. Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера модифицированным.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием y(x 0 )=y 0. Выберем шаг h и введем обозначения:
x i = x 0 + ih и y i = y(x i ), где i = 0, 1, 2, ... .
Аналогично описанному выше методу производится решение
дифференциального уравнения. Отличие состоит в делении шага на 4 части.
Согласно методу Рунге-Кутта четвертого порядка, последовательные значения y i искомой функции y определяются по формуле:
a числа k1, k2 ,k3, k4 на каждом шаге вычисляются по формулам:
Это явный четырехэтапный метод 4 порядка точности.
Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта приведена на рисунке 6.
F(x, у) - заданная функция - должна быть описана отдельно.
Y0 - значение y 0 из начального условия
Y - массив значений искомого решения
Листинг программы на языке Visual Basic
Dim xr(), yr(), xe(), ye(), xo(), yo() As Single
Private x0, y0, h, xk, k1, k2, c, k3, k4, yd As Single
Public Function f(ByVal a, ByVal b) As Single
Private Sub Button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button1.Click
DataGridView1.Item(0, 0).Value = "x"
DataGridView1.Item(1, 0).Value = "Общее"
DataGridView1.Item(2, 0).Value = "Ейлер М"
DataGridView1.Item(3, 0).Value = "Рунге Кутт"
xe(i) = Math.Round((xe(0) + i * h), 2)
ye(i + 1) = ye(i) + h * f(xe(i) + h / 2, ye(i) + h / 2 * f(xe(i), ye(i)))
DataGridView1.Item(2, 1).Value = ye(0)
DataGridView1.Item(0, 1).Value = xe(0)
DataGridView1.Item(0, i + 1).Value = xe(i)
DataGridView1.Item(2, i + 1).Value = Str(ye(i))
xr(i) = Math.Round((xe(0) + i * h), 2)
k2 = h * f(xr(i) + h / 2, yr(i) + k1 / 2)
k3 = h * f(xr(i) + h / 2, yr(i) + k2 / 2)
yd = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6
DataGridView1.Item(3, 1).Value = yr(0)
DataGridView1.Item(3, i + 1).Value = Str(yr(i))
xo(i) = Math.Round((xe(0) + i * h), 2)
yo(i) = xo(i) * (c - Math.Log(xo(i)))
DataGridView1.Item(1, 1).Value = yo(0)
DataGridView1.Item(1, i + 1).Value = Str(yo(i))
Chart1.Series("Общее решение").ChartType = SeriesChartType.Line
Chart1.Series("Общее решение").Points.AddXY(xo(i), yo(i))
Chart1.Series("Общее решение").ChartArea = "ChartArea1"
Chart1.Series("Эйлер М").ChartType = SeriesChartType.Point
Chart1.Series("Эйлер М").Points.AddXY(xe(i), ye(i))
Chart1.Series("Эйлер М").ChartArea = "ChartArea1"
Chart1.Series("Эйлер М").Color = Color.Blue
Chart1.Series("Рунге Кутт").ChartType = SeriesChartType.Line
Chart1.Series("Рунге Кутт").Points.AddXY(xr(i), yr(i))
Chart1.Series("Рунге Кутт").ChartArea = "ChartArea1"
Chart1.Series("Рунге Кутт").Color = Color.Green
Выполняя курсовую работу, я решил данное мне дифференциальное уравнение с помощью численных методов (Рунге-Кутта и Эйлера модифицированного) и общего решения построил графики их решения в программе Microsoft Visual Basic 10. Как и следовало ожидать графики, построенные с помощью метода Эйлера модифицированного и Рунге-Кутта, полностью совпали с графиком точного решения. Точность методов достаточно высока, следовательно, их можно применять в ситуации, когда нет возможности вычислить интеграл, и получить ответ с незначительной погрешностью.
1. Минина Е.Е. Информатика: методические указания для курсовой работы для студентов очной формы обучения. Екатеринбург: УрТИСИ ГОУ ВПО «СибГУТИ».
2. http://msdn.microsoft.com/ru-ru/library/
Решение дифференциальных уравнений с использованием классических алгоритмов численных методов Эйлера и Рунге-Кутта 4-го порядка. Команды, используемые при решении обыкновенных дифференциальных уравнений в системе вычислений. Результат работы программы. курсовая работа [226,6 K], добавлен 05.04.2013
Изучение численных методов решения нелинейных уравнений. Построение годографа АФЧХ, графиков АЧХ и ФЧХ с указанием частот. Практическое изучение численных методов интегрирования дифференциальных уравнений высокого порядка, метод Рунге-Кутта 5-го порядка. курсовая работа [398,3 K], добавлен 16.06.2009
Обзор методов решения в Excel. Рекурентные формулы метода Эйлера. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка. Метод Эйлера с шагом h/2. Решение дифференциальных уравнений с помощью Mathcad. Модифицированный метод Эйлера. курсовая работа [580,1 K], добавлен 18.01.2011
Математическое описание численных методов решения уравнения, построение графика функции. Cтруктурная схема алгоритма с использованием метода дихотомии. Использование численных методов решения дифференциальных уравнений, составление листинга программы. курсовая работа [984,2 K], добавлен 19.12.2009
Численные решения задач методом Коши, Эйлера, Эйлера (модифицированный метод), Рунге Кутта. Алгоритм, форма подпрограммы и листинг программы. Решение задачи в MathCad. Подпрограмма общего решения, поиск максимальных значений. Геометрический смысл задачи. курсовая работа [691,4 K], добавлен 17.05.2011
Численный метод для решения однородного дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге–Кутта. Решение краевой задачи. Уравнения параболического типа, а также Лапласа и Пуассона. курсовая работа [163,5 K], добавлен 27.05.2013
Анализ методов объектно-ориентированного программирования на примере численных. Детальная характеристика модулей и связь их в одну общую программу. Принципы интегрирования по общей формуле трапеции и решение дифференциального уравнения методом Эйлера. курсовая работа [511,6 K], добавлен 25.03.2015
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .
© 2000 — 2021
Визуализация численных методов. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений курсовая работа. Программирование, компьютеры и кибернетика.
Тема Поэта В Лирике Пастернака Сочинение
Реферат: Body Size Physical Attractiveness And Body Image
Контрольная Работа На Тему Понятие Обменного Курса. Номинальный И Реальный Обменный Курс
Дипломная работа по теме База данных 'Карточка амбулаторного больного'
Реферат: Why A Planner Is Important Essay Research
Мое Любимое Домашнее Животное Сочинение 5 Класс
Реферат по теме Пігулки пролонгованої дії
Что Пишется В Ведении В Реферате
Дипломная работа по теме Устройство управления радиорелейной станцией
Курсовая работа по теме Разработка рациональной структуры капитала предприятия
Дипломная Работа На Тему Повышение Прибыли И Рентабельности Производства Путем Использования Экономических Методов Управления (На Примере Оао "Мповт")
Стали И Сплавы С Особыми Свойствами Реферат
Контрольная работа по теме Мировоззренческая функция философии
Реферат На Тему Этноцентризм
Реферат: Створити сучасний дизайн волосся до подіумного образу Леді Мілітарі . Передбачити фарбування в
Реферат по теме Феномен контркультуры
Контрольная работа по теме Крошка Цахес по прозвищу Циннобер
Курсовая работа: Формы правления. Скачать бесплатно и без регистрации
Сочинение Девочка Освещенная Солнцем
Детерминированные экономико-математические модели и методы факторного анализа
Геологическое обеспечение проектирования горного предприятия на пластовых месторождениях полезных ископаемых - Геология, гидрология и геодезия курсовая работа
Образование и тактика КПРФ после развала СССР - Политология курсовая работа
Современные методы лечения гематом у мелких домашних животных - Медицина курсовая работа