Визуализация численных методов - Программирование, компьютеры и кибернетика курсовая работа
Численные решения задач методом Коши, Эйлера, Эйлера (модифицированный метод), Рунге Кутта. Алгоритм, форма подпрограммы и листинг программы. Решение задачи в MathCad. Подпрограмма общего решения, поиск максимальных значений. Геометрический смысл задачи.
посмотреть текст работы
скачать работу можно здесь
полная информация о работе
весь список подобных работ
Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещенно на http://www.allbest.ru
Размещенно на http://www.allbest.ru
2.3 Численные методы решения задачи Коши
2.7 Решение поставленной задачи методами Эйлера и Эйлера модифицированного
2.7.2 Метод Эйлера модифицированный
3.1.2 Подпрограмма метода Эйлера модифицированного
3.1.3 Подпрограмма общего решения и поиска максимальных значений x и y
При решении различных задач математики, физики, химии и других наук часто пользуются математическими моделями в виде дифференциальных уравнений связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Например, исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными условиями, мы можем получить сведения о происходящем явлении, иногда может узнать его прошлое и будущее. Изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но и дает возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые физические эффекты. Бывает, что сама природа физического явления подсказывает и подходы, и методы математического исследования. Критерием правильности выбора математической модели является практика, сопоставление данных математического исследования с экспериментальными данными. Не всегда удается решить дифференциальное уравнение без помощи компьютера, поэтому создание все лучших и удобных программ для решения уравнений всегда будет являться актуальным вопросом.
Целью данной курсовой работы является решение дифференциального уравнения двумя численными методами: методом Эйлера и методом Рунге-Кутта 4 порядка точности.
Для достижения цели я поставил перед собой следующие задачи:
· Написать программу для решения данного дифференциального уравнения двумя численными методами в программе Visual Basic.
· Проверить решение с помощью приложения MathCad.
· Сравнить полученные разными методами результаты с общим решением.
Решить методами Эйлера и Эйлера модифицированного задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка на отрезке [X0; Xk] с шагом h и начальным условием: Y(X0) =Y0.
Ответ должен быть получен в виде таблицы результатов:
Где Y(1), Y(2) - решения, полученные различными численными методами, YT - точное решение дифференциального уравнения.
Возможно представление результатов решения не в виде таблицы, а в виде списков.
Данные таблицы визуализировать на форме в виде графиков.
Перед вычислением последнего столбца таблицы результатов необходимо из начальных условий вычесть значение коэффициента c, используемого в общем решении.
Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) её производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Часто в задаче Коши в роли независимой переменной выступает время.
Задачу Коши можно сформулировать следующим образом:
Пусть дано дифференциальное уравнение
Требуется найти функцию у(x), удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.
Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (х, у) к оси 0Х, - угловой коэффициент (рис. 1).
Размещенно на http://www.allbest.ru
Размещенно на http://www.allbest.ru
Рисунок 1. Геометрический смысл задачи Коши
Если правая часть f(x, y) непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенствами
то существует, по меньшей мере, одно решение у = у(х),определённое в окрестности
Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица
где N - некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая, в общем случае, от а и b. Если f(x, у) имеет ограниченную производную
N = мах |f'y(х, у)| при (х, y) принадлежащим R.
2. 3 Численные методы решения задачи Коши
При использовании численных методов выполняется замена отрезка
[х0,X] - области непрерывного изменения аргумента х множеством .
Состоящего из конечного числа точек х0 < х1 < ... < xn = Х - сеткой.
Во многих методах используются равномерные сетки с шагом:
Задача Коши, определённая ранее на непрерывном отрезке [х0, X], заменяется её дискретным аналогом - системой уравнений, решая которую можно последовательно найти значения y1, y2,…,yn - приближённые значения функции в узлах сетки.
Численное решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, и число разработанных для него методов достаточно велико. Эти методы могут быть разделены на следующие группы.
Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей точки на кривой
Требуется информация лишь об одном предыдущем шаге. Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге - Кутта.
Методы прогноза и коррекции (многошаговые), в которых для отыскания следующей точки кривой
Требуется информация более чем об одной из предыдущих точек. Чтобы получить достаточно точное численное значение, часто прибегают к итерации. К числу таких методов относятся методы Милна, Адамса - Башфорта и Хемминга.
Явные методы, в которых функция Ф не зависит от:
Неявные методы, в которых функция Ф зависит от:
Иногда этот метод называют методом Рунге-Кутта первого порядка точности.
Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:
Выберем шаг h и введём обозначения:
xi = х0 + ih и yi = y(xi), где i = 0, 1, 2,...,
yi - значение интегральной функции в узлах.
Иллюстрации к решению приведены на рисунке 2.
Проведем прямую АВ через точку (xi, yi) под углом б. При этом:
В соответствий с геометрическим смыслом задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции.
Произведем замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной АВ.
Приравняем правые части tg б = f(xi, yi) и .
а затем преобразуем его. В результате получаем формулу расчета очередной точки интегральной функции:
Размещенно на http://www.allbest.ru
Размещенно на http://www.allbest.ru
видно, что для расчета каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке.
Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера приведена на рисунке 3.
F(x, у) - заданная функция - должнабыть описана отдельно.
Х0, XK--начальное и конечное значения независимой переменной;
Y0 - значение y0 из начального условия
У - массив значений искомого решения в узлах сетки.
Метод Эйлера - один из простейших методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Но существенным его недостатком является большая погрешность вычислений. На рисунке 2 погрешность вычислений для i-гo шага обозначена е. С каждым шагом погрешность вычислений увеличивается.
Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
Выберем шаг h и введём обозначения:
xi = x0 + ih и yi = y(xi), где i = 0, 1, 2,...,
yi - значение интегральной функции в узлах.
При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.
Иллюстрации к решению приведены на рисунке 4.
Размещенно на http://www.allbest.ru
Размещенно на http://www.allbest.ru
Рисунок 4. Метод Эйлера модифицированный.
Проведем решение в несколько этапов:
А(хi, yi,), C(xi + h/2, yi + h/2 • f(xi, yi)) и B(xi+1, yi+1);
Через точку А проведем прямую под углом б, где
Через точку С проведем прямую под углом б1, где
tg б1 = f(xi + h/2,yi + h/2 • f(xi, yi));
Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой;
Будем считать B(xi+1, yi+1) решением дифференциального уравнения при х = xi+1;
После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения:
yi+1 = yi + h • f(xi + h/2, yi + h/2 • f(xi, yi)).
Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке 4 это хорошо видно. Так величина еl характеризует погрешность метода Эйлера, а е - погрешность метода Эйлера модифицированного.
Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера модифицированным приведена на рисунке 5.
F(x, у) - заданная функция - должна
Y0 - значение y0 из начального условия y(x0)=y0;
Y - массив значений искомого решения
Рисунок 5. Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера модифицированным.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:
Выберем шаг h и введем обозначения:
xi = x0 + ih и yi = y(xi), где i = 0, 1, 2,....
Аналогично описанному выше методу производится решение дифференциального уравнения. Отличие состоит в делении шага на 4 части.
Согласно методу Рунге-Кутта четвертого порядка, последовательные значения yi искомой функции y определяются по формуле:
a числа k1, k2 ,k3, k4 на каждом шаге вычисляются по формулам:
Это явный четырехэтапный метод 4 порядка точности.
F(x, у) - заданная функция - должна быть описана отдельно.
Х0, XК - начальное и конечное значения независимой переменной;
Y0 - значение y0 из начального условия y(x0)=y0;
Y - массив значений искомого решения в узлах сетки.
2.7 Решение поставленной задачи методами Эйлера и Рунге-Кутта
2. Отмечаем A(1; 2) - первую точку интегральной кривой;
3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:
4. Строим касательную l0 в точке А под углом б0;
до пересечения с прямой l0, отмечаем точку B(x1; y1);
7. Ищем y точки B: из прямоугольного треугольника ABC
y1 = y0 + h (f(x0; y0)) = 0 + 0,1 · f(1;0) = 0 + 0,1 3 = 0,3
Следовательно, точка B имеет координаты (1,1; 0,3).
2. Отмечаем А(1; 2) - первую точку интегральной кривой;
3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:
4. Строим касательную l0 в точке А под углом б0;
?y1=(0,4+2·0,429+2·0,432+0,463)/6=0,431
Следовательно, следующая точка графика решения имеет координаты (1,05;2,431)
Размещенно на http://www.allbest.ru
Размещенно на http://www.allbest.ru
3.1.2 Подпрограмма метода Рунге-Кутта 4 порядка
Размещенно на http://www.allbest.ru
Размещенно на http://www.allbest.ru
Размещенно на http://www.allbest.ru
Размещенно на http://www.allbest.ru
Размещенно на http://www.allbest.ru
Размещенно на http://www.allbest.ru
Размещенно на http://www.allbest.ru
Размещенно на http://www.allbest.ru
Размещенно на http://www.allbest.ru
Размещенно на http://www.allbest.ru
Размещенно на http://www.allbest.ru
Размещенно на http://www.allbest.ru
Dim x(), y(), Ei(), Run(), Ob() As Single
Private x0, xk, y0, h, minx, maxx, miny, maxy As Single
Ei(i + 1) = Round(Ei(i) + h * f(x(i), Ei(i)), 4)
k2 = h * f(x(i) + (h / 2), Run(i) + (k1 / 2))
k3 = h * f(x(i) + (h / 2), Run(i) + (k2 / 2))
k = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6
Rem расчет количества строк в таблице
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Общее рещение"
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Эйлер"
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Рунге-Кутт"
Rem Формирование массивов и поиск экстремумов
If Run(n) > Ob(n) Then maxy = Run(n)
If Ei(n) > Run(n) Then maxy = Ei(n)
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = Str(x(i))
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(Ob(i))
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(Ei(i))
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(Run(i))
Rem Расчет коэффициентов масштабирования
kx = (Picture1.Width - 1200) / (xk - x0)
ky = (Picture1.Height - 1000) / (maxy - miny)
Rem Запись значений экстремумов на шаблон графика
Rem Расчет экранных координат, построение графика и определение цвета
z2 = Round(5400 - (Ei(i) - miny) * ky)
z3 = Round(720 + (x(i + 1) - x0) * kx)
z4 = Round(5400 - (Ei(i + 1) - miny) * ky)
Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), RGB(0, 0, 9999)
z2 = Round(5400 - (Run(i) - miny) * ky)
z3 = Round(720 + (x(i + 1) - x0) * kx)
z4 = Round(5400 - (Run(i + 1) - miny) * ky)
Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), RGB(0, 9999, 0)
z2 = Round(5400 - (Ob(i) - miny) * ky)
z3 = Round(720 + (x(i + 1) - x0) * kx)
z4 = Round(5400 - (Ob(i + 1) - miny) * ky)
Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), RGB(9999, 0, 0)
Метод Эйлера IV порядка точности (Метод Рунге-Кутта)
При расчете уравнения, двумя методами (Эйлера и Рунге-Кутта), получил значения сходные с общим, хотя метод Рунге-Кутта является наиболее точным. Это совпадение обуславливается маленьким шагом и небольшим диапазоном конечных значений.
По завершению курсовой работы я выполнил все поставленные задачи: написал программу для решения данного дифференциального уравнения двумя численными методами в программе Visual Basic, проверил решение с помощью приложения MathCad,сравнил полученные разными методами результаты с общим решением. Поэтому я считаю, что полностью выполнил поставленное передо мной задание курсовой работы.
Обзор методов решения в Excel. Рекурентные формулы метода Эйлера. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка. Метод Эйлера с шагом h/2. Решение дифференциальных уравнений с помощью Mathcad. Модифицированный метод Эйлера. курсовая работа [580,1 K], добавлен 18.01.2011
Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса и Рунге. Техники приближенного решения данных уравнений: метод конечных разностей, разностной прогонки, коллокаций; анализ результатов. курсовая работа [532,9 K], добавлен 14.01.2014
Ручной расчет поставленной задачи методов Эйлера и Эйлера-Коши. Алгоритмы решения обоих методов, их программная реализация, решение тестовых примеров на заданную задачу. Расчеты заданного интеграла на языке программирования Turbo Pascal, их результаты. курсовая работа [404,7 K], добавлен 15.06.2013
Определение зависимости скорости вала двигателя от времени. Математическая модель решения задачи. Решение задачи Коши на интервале методом Эйлера и Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Алгоритм решения задачи. Текст программы и результаты ее работы. контрольная работа [108,9 K], добавлен 08.03.2013
Численный метод для решения однородного дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге–Кутта. Решение краевой задачи. Уравнения параболического типа, а также Лапласа и Пуассона. курсовая работа [163,5 K], добавлен 27.05.2013
Программа вычисления интеграла методом прямоугольников. Решение задачи Коши для дифференциальных уравнений. Модифицированный метод Эйлера. Методы решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Задачи линейного программирования. методичка [85,2 K], добавлен 18.12.2014
Решение дифференциального уравнения с помощью численных методов (Рунге-Кутта и Эйлера модифицированного). Особенности построения графиков в программе Microsoft Visual Basic 10 с использованием ответа задачи, который имеет незначительную погрешность. курсовая работа [1017,3 K], добавлен 27.05.2013
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .
© 2000 — 2021
Визуализация численных методов курсовая работа. Программирование, компьютеры и кибернетика.
Реферат На Тему Пищеварительная Система
Дипломная работа по теме Усовершенствование гидравлической системы самолета 'Ил-76'
Правильное Содержание Курсовой Работы
Курсовая работа: Технология технического осмотра и ремонта автомобиля КамАЗ-5460 с восстановлением коленчатого вала
Дипломная работа по теме Аудит кассовых операций
Курсовая Работа Базы Данных C
Реферат: Определение рейтинга конкурентоспособности страны
Сочинение На Тему Воспитание По Тексту Корчака
Сочинение На Тему Самое Хорошее Свойство Человека
Почему Важно Быть Толерантным Итоговое Сочинение Произведения
Контрольная Работа По Химии 8 Реакции
Сочинение по теме Самоцензура и русская интеллигенция: 1905-1914
Дипломная работа по теме Отечественный рынок ценных бумаг: состояние и пути улучшения
Курсовая работа по теме Стратегическиий анализ АИКБ 'Татфондбанк'
Реферат: Gideon 2 Essay Research Paper The passage
Политика Белорусизации Реферат
Реферат: Три приема Максима Соколова
Курсовая работа по теме Алкалоиды - производные индола
Курсовая Работа На Тему Правовой Режим Земель Сельскохозяйственных Коммерческих Организаций И Крестьянских (Фермерских) Хозяйств
Реферат по теме Лекции по Общим воинским уставам
Правовое регулирование деятельности аудитора - Государство и право курсовая работа
Стратегическое планирование на предприятии ООО "Виолетт" - Менеджмент и трудовые отношения курсовая работа
Геодезические работы при проектирования ТРК в городе Туркестан - Геология, гидрология и геодезия дипломная работа