Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової системи - Математика учебное пособие

Главная

Математика
Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової системи

Теоретичні відомості з курсу числення функцій однієї та багатьох змінних, наглядні приклади та вправи з розв’язанням. Тренувальні вправи для розв’язання на практичних заняттях і самостійної роботи. Зразки контрольних робіт з кожної розглянутої теми.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової системи
Вища математика, як навчальна дисципліна, є однією з осноних при підготовці висококваліфікованих кадрів у вищих технічних та інших навчальних закладах. Диференціальне числення є основним розділом курсу вищої математики в цілому.
Без засвоєння основних положень, на яких базується диференціальне числення, не можна на належному якісному рівні застосовувати теорію та методи вищої математики при розв'язанні ряду задач з різних галузей знань (при вивченні фізики, електротехніки, інших інженерних та економічних спеціальностей).
Матеріал посібника поділено на 4 глави:
1) Функція, границя, неперервність; 2) Диференціальне чис-лення функції однієї змінної; 3) Дослідження функції за допомогою похідних; 4) Диференціальне числення функцій багатьох змінних.
Кожна глава складається з параграфів, яки містять короткі теоретичні відомості та приклади розв'язання типових вправ. Для самостійної роботи студентів наводиться комплекс типових вправ з відповідями. Наприкінці кожної глави запропоновано зразки контрольних робот з теми, питання до колоквіуму, завдання семестрової роботи студентів. Наведена інструкція що до модульно-рейтингового контролю знань студентів при вивченні даного розділу вищої математики.
Зміст посібника, а також рівень навчальних вимог до знань студентів відповідає програмі курсу “Вища математика для інженерно-технічних, економічних спеціальностей вищих навчальних закладів, студентів технічних коледжів”.
Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.
Приклад 1. Нехай , де . Згідно з відомою властивістю даної функції,
Приклад 3. Дослідити на парність чи непарність функцію
Знайдемо область визначення функції:
Функція , визначена на всій числовій осі, називається періодичною , якщо існує число таке, що для всіх виконується тотожність
Число Т при цьому називається періодом функції , а саму функцію називають Т -переодічною .
Якщо число Т є періодом функції , то й число - Т є також періодом :
Якщо -- періодична функція з періодом Т, то функція , де , є періодичною з періодом .
Зокрема, якщо розглянути функцію , де -- сталі, то періодом цієї функції є число .
Зауважимо, що функцію у фізиці називають гармонікою , число називають амплітудою , -- циклічною частотою , а -- початковою фазою гармоніки .
Розв'язання. Функція має період , тому функція має період .
Розв'язання. Функція має період , тому має період .
Дослідити на парність чи непарність функції:
1.3 Основні елементарні функції та їх графіки
Графік функції -- пряма, досить знати дві точки, бажано точки перетину з осями координат:
Якщо , функція визначена на всій числовій осі, тобто .
Якщо -- функція парна, то приймає значення . Ії графіками будуть параболи відповідно другого, четвертого і т.д. порядків.
Якщо -- графіки параболи третього, п'ятого і т.д. порядків.
Область її визначення , область значень . Якщо , функція , якщо , функція .
Причому, для довільного , тобто графік довільної експоненти проходить через точку .
Це функція обернена до показникової, . Тому графік довільної функції проходить через точку .
Функції та визначені для всіх та мають множину значень .
Функція визначена всюди, крім , , та монотонно зростає в кожному інтервалі області визначення.
Функція всюди визначена, крім , та монотонно спадає в кожному інтервалі області визначення.
Функції , , -- непарні, їх графіки симетричні відносно початку координат, -- парна, її графік симетричний відносно .
Функції періодичні. Найменший період синуса та косинуса , та -- .
6. Обернені тригонометричні функції
Тригонометричні функції в інтервалі монотонності мають обернені:
При побудові графіків функцій часто використовують дефор-мації та паралельне перенесення вздовж осі та .
1) графік функції -- дзеркальне відображення графіка відносно осі ;
2) графік функції -- дзеркальне відображення графіка відносно осі ;
3) графік функції , де -- паралельне перенесення графіка на а одиниць масштабу вздовж осі ;
4) графік функції, де -- паралельне перенесення графіка на а одиниць масштабу вздовж осі ;
5) графік функції -- стиснення в разів , або розтягнення в разів графіка вздовж осі ;
6) графік функції -- розтягнення в разів , або стиснення в разів, графіка вздовж осі ;
7) графік функції -- дзеркальне відображення від осі від'ємної частини (під віссю ) графіка функції, додатна частина графіка залишається на місці.
8) графік функції -- дзеркальне відображення від осі правої частини (з додатної півплощини) графіка в ліву півплощину, додатна частина графіка залишається на місці.
Аналогічно визначаються нескінченно малі й нескінченно великі величини при .
Нескінченно великі величини знаходяться в тісному зв'язку з нескінченно малими: якщо при даному граничному переході функція є нескінченно великою, то функція при цьому самому граничному переході буде нескінченно малою й навпаки.
Якщо чисельник та знаменник дробу поліном, що перетворюється в нуль при , для розкриття невизначеності чисельник та знаменник треба поділити на .
Розв'язання. Безпосередня підстановка числа під знак границі приводить до невизначеності 0/0. Перетворимо вираз, розклавши чисельник і знаменник на множники і скоротивши на :
Невизначеність виду перетвореннями приводиться до виду та .
Невизначеність виду розкривається за допомогою другої стандартної границі.
Приклади обчислення границь за допомогою еквівалентних нескінченно малих:
1. 5 Неперервність функції. Дослідження функції на неперервність
Функціяназивається неперервною в то ч ці , якщо існує границя функції в цій точці і вона дорівнює значенню функції в точці :
Функція в точці буде неперервною тоді і тільки тоді, коли виконуються умови:
1. функція визначена в околі точки ;
3. границя функції дорівнює значенню функції в цій точці, тобто
Разом усі ці умови є необхідними й достатніми для того, щоб функція була неперервною в точці .
На практиці при дослідженні функцій на неперервність користуються ознаками, які безпосередньо випливають із співвідношення (1), а саме:
для того, щоб функція була неперервною в точці , треба щоб:
1. була визначеною в околі точки ;
2. існувала лівостороння границя функції в точці, тобто існувало число ;
3. існувала правостороння границя функції - число
4. лівостороння й правостороння границя були рівні
5. правостороння й лівостороння границя в точці дорівнювали значенню функції в цій точці, тобто
Якщо хоч одна с цих умов не виконується в точці, яка є внутрішньою точкою проміжку, в якому визначена функція, то функція в цій точці називається розривною .
Якщо функція визначена на відрізку , то в точках а і b можна ставити питання тільки про односторонню неперервність, а саме, в точці а -- про неперервність справа, а в точці b -- зліва. Тому природно постає питання про введення таких понять, як неперервність функції в точці зліва і справа.
Функція називається неперервною в точці зліва , якщо виконуються умови:
1. визначена в точці (існує число );
2. в точці існує лівостороння границя функції;
3. лівостороння границя функції дорівнює значенню функції в точці .
Отже, якщо неперервна в точці зліва, то виконується співвідношення
де -- лівостороння границя функції в точці .
Функція називається неперервною в точці справа , якщо виконуються умови:
1. визначена в точці (існує число );
2. в точці існує правостороння границя функції;
3. правостороння границя функції дорівнює значенню функції в точці .
Отже, для неперервної функції справа повинно виконуватися співвідношення
де -- правостороння границя функції в точці .
Точкою розриву функції називають точку в околі якої функція визначена, але в самій точці не задовольняє умові неперервності, що .
1. Точка є точкою усувного розриву , якщо існує , проте не визначена в точці , або . Даний розрив можна усунути, для цього до визначають певним чином функцію в точці ;
2. Точка є точкою розриву першого роду , якщо існують скінченні ліва та права границі функції, але , різницю
називають стрибком функції в точці
3. Точка є точкою розриву другого роду функції , якщо в точці не існує принаймні одна з односторонніх границь функції.
Приклад 1. Дослідити точки розриву функції .
Розв'язання. В точці функція не визначена. Знайдемо при границі даної функції зліва та справа:
Оскільки односторонні границі скінченні, але
Стрибок в даному випадку в точці дорівнює 2.
Приклад 2. Дослідити на неперервність функцію
Розв'язання. Дана функція визначена у всіх точках за винятком х = 0. Знайдемо односторонні границі функції в цій точці:
Рівність означає, що х = 0 є точкою усувного розриву.
Приклад 3. Визначити характер розриву функції
Розв'язання. Функція в точці не визначена.
Тому точка є точкою розриву другого роду.
Похідні основних елементарних функцій
Приклад 6. Знайти похідну функції .
Приклад 7. Знайти похідну функції .
2. 2 Похідна складеної та оберненої функції
Наведене правило обчислення похідної складеної функції застосовується і для композиції довільного скінченого числа функцій.
Наприклад, для складеної функції виду , де , , - диференційовні у відповідних точках функції, має місце рівність
Приклад 2. Знайти похідну функції .
Розв'язання. Використовуючи правило диференціювання добутку двох функцій, знаходимо:
Приклад 3. Обчислити похідну функції .
Розв'язання. За правилом диференціювання частки маємо:
Знайдемо похідну функції , розглядаючи ії як композицію двох диференційованих функцій та . За правилом обчислення похідної функції дістанемо:
Приклад 4. Знайти похідну функції, оберненої до
Розв'язання. Дана функція скрізь неперервна та строго монотонна, її похідна , не перетворюється в нуль в жодній точці, тому за правилом диференціювання оберненої функції маємо:
Приклад 5. Знайти похідну функції .
2. 3 Диференціювання показниково-степеневої функції
Похідна показниково-степеневої функції , знаходиться за формулою
Похідні показникових та логарифмічних функцій
Якщо - диференційовна функція від х , формули мають вигляд:
Приклад 1. Знайти похідну функції .
Розв'язання. Застосовуючи наведені формули, маємо:
Приклад 2. Знайти похідну функції .
Розв'язання. Застосовуючи формули, знаходимо:
Приклад 3. Знайти похідну функції .
Розв'язання. За наведеними формулами, маємо:
2.4 Диференціювання неявної функції та функції, заданої параметрично
Щоб продиференціювати функцію, яка задається виразом , необхідно цей вираз продиференціювати по х , вважаючи у функцією від х , і з одержаної рівності знайти .
яка задана параметрично, обчислюється за формулою:
за умови, що диференційовні в точці функції, причому .
Приклад 1. Знайти похідну функції, яка задана неявно рівнянням .
Розв'язання. Диференціюючи, дістанемо:
Приклад 2. Знайти похідну функції, яка задана неявно
Приклад 4. Знайти в точці похідну функції, яка задана параметрично:
Розв'язання. Застосовуючи формулу обчислення похідної функції, яка задана параметрично, маємо:
Знайти похідні функцій, які задані неявно:
9. Знайти в точці М (1, 1), якщо .
Знайти похідну функції, яка задана параметрично:
Якщо маємо громіздкі вирази, що містять добутки, частки, степені, то перш, ніж знаходити похідну, вираз рекомендується прологарифмувати.
Приклад 1. Знайти похідну функції .
Розв'язання. Прологарифмуємо функцію:
Знайдемо похідну від лівої та правої частин:
Такий же спосіб використається для знаходження похідної так званої степенево-показникової функції
Приклад 2. Продиференціювати функцію:
Розв'язання. Цю функцію можна диференціювати як частку двох функцій, але це приведе до складних обчислень. Тому краще спочатку прологарифмувати функцію, а потім продиференціювати.
Диференціюючи ( у розглядаємо як складену функцію), маємо:
2.6 Геометричний та фізичний зміст похідної
Похідна, особливо її геометричний та фізичний зміст, широко застосовуються при розв'язанні цілого ряду задач в різних галузях діяльності.
У деяких задачах потрібно знайти кут між кривими та в їх точці перетинання.
Кутом між кривими вважається величина кута між дотичними до даних кривих, в їх точці перетинання; обчислюється за формулою:
В задачах на застосування геометричного змісту похідної часто зустрічаються також такі поняття, як відрізок дотичної , відр і зок нормалі , піддотична , піднормаль , довжини яких визначають за формулами:
Приклад 1. Знайти, під яким кутом функція перетинає вісь абсцис.
Розв'язання. Косинусоїда перетинає вісь абсцис в точках . Якщо , тоді
тобто кутовий коефіцієнт дотичної до косинусоїди дорівнює -1. Це означає, що в точках графік функції перетинає вісь абсцис під кутом .
Якщо , тоді . Тому в цих точках косинусоїда перетинає вісь під кутом .
Приклад 2. Записати рівняння дотичної до кривої
Розв'язання. Згідно з формулою рівняння дотичної до графіку функції, для того, щоб скласти рівняння дотичної, треба обчислити значення функції та похідної функції в точці :
Приклад 3. Знайти рівняння нормалі до кривої, яка задана параметрично: в точці .
Розв'язання. Рівняння нормалі має вигляд:
Значення та відповідають значенню :
Похідну знайдемо за формулою похідної, заданої параметрично:
В точці маємо . Таким чином, рівняння нормалі записується у вигляді
Приклад 4. Знайти рівняння дотичної й нормалі до кривої у точці .
Розв'язання. Значення похідної даної функції в точці А:
Під фізичним змістом похідної розуміють швидкість зміни функції в даній точці. Наприклад:
1) при русі тіла швидкість в даний момент часу є похідною від шляху :
2) при обертовому русі твердого тіла навколо осі кутова швидкість в даний момент часу є похідною від кута повороту :
3) при охолодженні тіла швидкість охолодження в момент часу є похідною від температури
4) теплоємність С для даної температури є похідною від кількості тепла :
5) при нагріванні стержня коефіцієнт лінійного розширення при даному значенні температури є похідною від довжини :
Приклад 1. Знайти швидкість точки, рух якої описується рівнянням , наприкінці третьої та десятої секунд.
Розв'язання. Швидкість визначається за формулою
Приклад 2. Знайти швидкість точки, яка рухається по колу радіуса , оббігаючи коло за час .
Розв'язання. Нехай точка починає рухатися з положення А проти годинникової стрілки. Нехай за час вона дійшла до положення .
Кут між її радіусом-вектором та віссю дорівнює в цей час , тому що точка проходить кут за час Т, кут - за одиницю часу і кут - за час .
Отже, в будь-який момент положення точки можна визначити через її дві координати:
Компоненти швидкості знаходимо з таких обчислень:
Диференціал функції, як і похідна, застосовується при розв'язанні ряду практичних задач, зокрема в наближених обчисленнях.
Диференціалом функції в точці х називається головна (лінійна відносно ) частина приросту диференційовної в точці х функції.
Диференціал дорівнює добутку похідної функції в точці х на приріст незалежної змінної, тобто
Зокрема, диференціалом незалежної змінної є ії приріст:
Тоді формула диференціала має вигляд
Основні правила обчислення похідних
Якщо функції та п разів диференційовні, тоді мають місце такі рівності:
Обчислення похідних вищих порядків функцій, заданих параметрично
Якщо функція задана параметрично рівняннями , , тоді похідні обчислюються за формулами:
Для похідної другого порядку має місце формула:
Диференціалом другого порядку двічі диференційовної функції називають диференціал від диференціала першого порядку функції , тобто . У випадку, коли х - незалежна змінна, диференціали обчислюються за формулами :
Якщо ж х -- деяка функція від t , , тоді
Якщо для функцій та , х -- незалежна змінна, існують диференціали та , тоді
Приклад 1. Знайти похідну другого порядку функції, заданої параметрично
Приклад 2. Знайти похідну другого порядку функції
Розв'язання. Спочатку знаходиться перша похідна від складної функції:
Приклад 3. Знайти диференціал другого порядку функції в точці .
Розв'язання. Згідно з формулою для обчислення диференці-алу другого порядку обчислюється :
Приклад 4. Знайти у випадку, коли функція задана неявно рівнянням
Розв'язання. Диференціюємо ліву та праву частини рівняння, маючи на увазі, що у є функція від х :
Підставляючи замість відповідне значення, знаходимо:
Приклад 5. Знайти функції, яка задана параметрично рівняннями:
Розв'язання. За правилами диференціювання функції, заданої параметрично, маємо:
Розв'язання. З попереднього прикладу маємо , . Тоді
Перше правило дослідження функції на екстремум
Щоб дослідити функцію на екстремум, треба:
1) знайти стаціонарні точки заданої функції, для цього слід розв'язати рівняння , з коренів цього рівняння вибрати тільки дійсні і ті, які є внутрішніми точками існування функції;
2) знайти точки, в яких похідна не існує (функція в ціх точках існує). Якщо критичних точок функція не має, то вона не має й екстремальних точок. Така функція не має екстремуму. Якщо критичні точки є, то їх треба досліджувати далі, для чого:
3) у кожній критичній точці перевірити зміну знака похідної першого порядку.
Якщо при переході через критичну точку (зліва н а право) змінює знак з + на -, то ця точка є точкою максимуму. Якщо змінює знак з - на +, то ця критична точка є точкою мінімуму.
Якщо при переході через критичну точку знак похідної не змінюється, то розглядувана критична точка не є екстремальною точкою заданою функції.
Теорема. Нехай точка є стаціонарною для функції і нехай в цій точці існує похідна другого порядку , яка не дорівнює нулю . Тоді, якщо , то є точкою мінімуму, якщо , то є точкою максимуму функції .
Друге правило дослідження функції на екстремум.
Щоб дослідити функцію на екстремум, треба:
1) знайти стаціонарні точки заданої функції;
2) знайти похідну другого порядку в стаціонарній точці. Якщо в стаціонарній точці , то є екстремальною точкою для функції , а саме, точкою мінімуму, якщо , і точкою максимуму, якщо .
Приклад 6. Дослідити функцію на екстремум:
Розв'язання. Знаходимо похідну:. Прирівнюємо похідну до нуля і розв'язуємо рівняння:
Підставляємо у вираз для значення і :
Отже, є точкою максимуму, -- точкою мінімуму функції , причому максимум і мінімум відповідно дорівнюють .
Приклад 7. Дослідити функцію на екстремум:
Розв'язання. Знаходимо похідну першого порядку:
Прирівнюємо похідну до нуля і розв'язуємо утворене рівняння:
Звідси знаходимо стаціонарні точки:
Отже, в точці функція має мінімум , а в точці -- максимум .
3. 2 Знаходження найбільшого і найменшого значень функції
Якщо функція набуває найбільшого значення всередині відрізка, то це найбільше значення є одночасно і один з максимумів (локальний максимум) заданої функції.
Теж саме можна сказати про найменше значення функції. Але може бути й так, що одне із значень функція набуває всередині відрізка, а друге на одному з кінців.
Звідси випливає спосіб знаходження точок, в яких функція набуває найбільшого та найменшого значення на відрізку :
2) обчислити значення функції в критичних точках, які належать відрізку, і на кінцях відрізка;
3) найбільше (найменше) значення серед утвореної множини і буде найбільшим (найменшим) значенням функції, заданої на відрізку .
Приклад 1. Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку .
Розв'язання. Знаходимо стаціонарні точки. Для цього знайдемо похідну:
Прирівнюючи цю похідну до нуля і розв'язуючи рівняння
дістаємо стаціонарні точки: . Точок, в яких функція не існує, немає.
Обчислюємо значення функції в точках , а також на кінцях відрізка, тобто в точках :
Отже, найбільше значення , найменше є .
Приклад 2. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку .
Розв'язання. Функція є неперервною на відрізку . Знаходимо екстремуми функції. Обчислюємо першу похідну:
Функція має дві критичні точки: . Але не належить відрізку . В точці функція має максимум, причому . Обчислюємо значення функції на кінцях відрізка: .
Приклад 3. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку .
Розв'язання. Знаходимо критичні точки функції, розв'язавши рівняння :
Коренями цього рівняння є числа: . Проте ці точки не належать відрізку , тому всередині цього відрізка критичних точок немає.
Обчислюємо значення функції на кінцях відрізка:
3. 3 Інтервали опуклості та угнутості кривої, точки пер е гину
Графік функції може бути опуклим або угнутим .
Графік функції є опуклим на проміжку , якщо відповідна дуга кривої лежить нижче дотичної, проведеної в довільній точці .
Графік функції є угнутим на проміжку , якщо відповідна дуга кривої лежить вище дотичної, проведеної в довільній точці .
Для дослідження графіка функції на опуклість застосовується друга похідна функції. Якщо друга похідна двічі диференційо в ної функції від'ємна в інтервалі , тоді гр а фік функції опуклий на даному проміжку, якщо друга похідна додатна , тоді графік функції угнутий на .
Точка, при переході через яку крива змінює опуклість на угнутість або навпаки, називається точкою перегину .
Точками перегину функції можуть бути лише точки, в яких друга похідна дорівнює нулю або не існує. Такі точки називають критичними точками другого роду .
Алгоритми переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу. Перетворення і передавання інформації. Булеві функції змінних, їх мінімізація. Реалізація функцій алгебри логіки на дешифраторах. Синтез комбінаційних схем на базі мультиплексорів. курсовая работа [3,2 M], добавлен 02.09.2011
Варіаційне числення. Обчислення варіації інтегрального функціонала. Варіаційна задача з рухливими границями. Розв’язання диференційних рівнянь з лінійним відхиленням аргументу. Варіації розв’язків диференціального рівняння із розривною початковою умовою. курсовая работа [7,8 M], добавлен 21.11.2011
Формулювання задачі мінімізації. Мінімум функції однієї та багатьох змінних. Прямі методи одновимірної безумовної оптимізації: метод дихотомії і метод золотого перерізу. Метод покоординатного циклічного спуску. Метод правильного і деформованого симплексу. курсовая работа [774,0 K], добавлен 11.08.2012
Застосування методів математичного аналізу для знаходження центрів мас кривих, плоских фігур та поверхонь з використанням інтегральних числень функцій однієї та кількох змінних. Поняття визначеного, подвійного, криволінійного та поверхневого інтегралів. курсовая работа [515,3 K], добавлен 29.06.2011
Суть функції багатьох змінних, її означення і символіки. Границя і неперервність функції багатьох змінних. Визначення відкритої та замкненої області. Множина точок площини, для яких задана формула має зміст, як область визначення. Функція двох змінних. реферат [289,8 K], добавлен 01.05.2011
Функція двох змінних, методика визначення її головних параметрів. Поняття екстремуму функцій двох змінних, необхідні та достатні умови її існування. Особливості визначення екстремуму функції за деяких умов, які обмежують область зміни аргументів. курсовая работа [1,0 M], добавлен 22.10.2014
Методи скінченних різниць або методи сіток як чисельні методи розв'язку інтегро-диференціальних рівнянь алгебри диференціального та інтегрального числення. порядок розв’язання задачі Діріхле для рівняння Лапласа методом сіток у прямокутної області. курсовая работа [236,5 K], добавлен 11.06.2015
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової системи учебное пособие. Математика.
Курсовая работа по теме Гиперинфляция: механизм развития и методы борьбы в Российской Федерации
Реферат: Microsoft Internet Explorer v3 0
Реферат На Тему Производительность Труда Складских Работников
Дипломная работа по теме Роль налогов в государственном регулировании международно-экономических отношений
Реферат: Thomas Aquinas 2 Essay Research Paper THOMAS
Реферат: Видеоконференция в Internet. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат по теме "Давний союз" 1295-1560 годов между Шотландией и Францией и его культурологические последствия
Теоретическая Основа Реферата
Доклад по теме Мари Франсуа Биша
Реферат: Сравнительная характеристика взглядов ранних и поздних меркантилистов
Закон Больших Чисел Реферат
Реферат: The Factors Which Affect The Time For
Реферат: Методы генерирования альтернативных решений. Скачать бесплатно и без регистрации
Цель Проведения Контрольных Работ
Курсовая работа: Даная. Скачать бесплатно и без регистрации
Практическое задание по теме Фитохимическое изучение видов рода Penstemon
Процессы И Аппараты Курсовая Работа
Внутренний и внешний государственный долг РФ
Контрольная работа: Транснационализация мировой экономики и ее последствия 2
Контрольная работа: Крито-Микенское искусство
Правові основи участі присяжних у здійсненні судочинства в Закарпатті у складі Чехословаччини (1919-1939 рр.) - Государство и право статья
Організація обліку на торгівельному підприємстві - Маркетинг, реклама и торговля курсовая работа
Учет и анализ финансовых результатов деятельности ООО "Эльдорадо-Оренбург" - Бухгалтерский учет и аудит дипломная работа