Виды экономических задач

Основные виды экономических задач, сводящихся к злп

=== Скачать файл ===

Языки программирования Паскаль Си Ассемблер Java Matlab Php Html JavaScript CSS C Delphi Турбо Пролог 1С. Компьютерные сети Системное программное обеспечение Информационные технологии Программирование. Задача о наилучшем использовании ресурсов. Пусть некоторая производственная единица цех, завод, объединение и т. Будем обозначать эту продукцию. Предприятие при производстве этих видов продукции должно ограничиваться имеющимися видами ресурсов, технологий, других производственных факторов сырья, полуфабрикатов, рабочей силы, оборудования, электроэнергии и т. Все эти виды ограничивающих факторов называют ингредиентами. Пусть их число равно m ; припишем им индекс i. Они ограничены, и их количества равны соответственно условных единиц. Таким образом, - вектор ресурсов. Известна экономическая выгода мера полезности производства продукции каждого вида, исчисляемая, скажем, по отпускной цене товара, его прибыльности, издержкам производства, степени удовлетворения потребностей и т. Примем в качестве такой меры, например, цену реализации , то есть — вектор цен. Матрицу коэффициентов называют технологической и обозначают буквой А. Обозначим через план производства, показывающий, какие виды товаров нужно производить и в каких количествах, чтобы обеспечить предприятию максимум объема реализации при имеющихся ресурсах. Так как - цена реализации единицы j -й продукции, цена реализованных единиц будет равна , а общий объем реализации. Это выражение — целевая функция, которую нужно максимизировать. Так как - расход i -го ресурса на производство единиц j -й продукции, то, просуммировав расход i -горесурса на выпуск всех n видов продукции, получим общий расход этого ресурса, который не должен превосходить единиц: Чтобы искомый план был реализован, наряду с ограничениями на ресурсы нужно наложить условие неотрицательности на объёмы выпуска продукции: Таким образом, модель задачи о наилучшем использовании ресурсов примет вид: Задача о смесях В различных отраслях народного хозяйства возникает проблема составления таких рабочих смесей на основе исходных материалов, которые обеспечивали бы получение конечного продукта, обладающего определенными свойствами. К этой группе задач относятся задачи о выборе диеты, составлении кормового рациона в животноводстве, шихт в металлургии, горючих и смазочных смесей в нефтеперерабатывающей промышленности, смесей для получения бетона в строительстве и т. Высокий уровень затрат на исходные сырьевые материалы и необходимость повышения эффективности производства выдвигает на первый план следующую задачу: Для откорма животных используется три вида комбикорма: Каждому животному в сутки требуется не менее г. Содержание в 1 кг. Сколько килограммов каждого вида комбикорма нужно каждому животному, чтобы полученная смесь имела минимальную стоимость? Математическая модель задачи есть: Ограничения на количество ингредиентов: Задача о раскрое материалов Сущность задачи об оптимальном раскрое состоит в разработке таких технологически допустимых планов раскроя, при которых получается необходимый комплект заготовок, а отходы по длине, площади, объему, массе или стоимости сводятся к минимуму. Рассматривается простейшая модель раскроя по одному измерению. Более сложные постановки ведут к задачам целочисленного программирования. Задача о назначениях Речь идет о задаче распределения заказа загрузки взаимозаменяемых групп оборудования между предприятиями цехами, станками, исполнителями с различными производственными и технологическими характеристиками, но взаимозаменяемыми в смысле выполнения заказа. Требуется составить план размещения заказа загрузки оборудования , при котором с имеющимися производственными возможностями заказ был бы выполнен, а показатель эффективности достигал экстремального значения. Цеху металлообработки нужно выполнить срочный заказ на производство деталей. Каждая деталь обрабатывается на 4-х станках С1, С2, С3 и С4. На каждом станке может работать любой из четырех рабочих Р1, Р2, Р3, Р4, однако, каждый из них имеет на каждом станке различный процент брака. Из документации ОТК имеются данные о проценте брака каждого рабочего на каждом станке:. Необходимо так распределить рабочих по станкам, чтобы суммарный процент брака который равен сумме процентов брака всех 4-х рабочих был минимален. Чему равен этот процент? Обозначим за - переменные, которые принимают значения 1, если i -й рабочий работает на j -м станке. Если данное условие не выполняется, то. Каждый рабочий может работать только на одном станке, то есть Кроме того, каждый станок обслуживает только один рабочий: Кроме того, все переменные должны быть целыми и неотрицательными: Транспортная задача Математическая модель задачи Линейные транспортные задачи составляют особый класс задач линейного программирования. Задача заключается в отыскании такого плана перевозок продукции с m складов в пункт назначения n который, потребовал бы минимальных затрат. Если потребитель j получает единицу продукции по прямой дороге со склада i, то возникают издержки С ij. Предполагается, что транспортные расходы пропорциональны перевозимому количеству продукции, то есть перевозка k единиц продукции вызывает расходы kС ij. Такая транспортная задача называется закрытой. Однако, если данное равенство не выполняется, то получаем открытую транспортную задачу, которая сводится к закрытой по следующим правилам: Если сумма запасов в пунктах отправления превышает сумму поданных заявок то количество продукции, равное остается на складах. Если сумма поданных заявок превышает наличные запасы то потребность не может быть покрыта. Математическая модель транспортной задачи имеет вид: Запасы щебенки на карьерах соответственно равны , и тыс. Четыре строительные организации , проводящие строительные работы на разных объектах этого же региона дали заказ на поставку соответственно , , и тыс. Стоимость перевозки 1 тыс. Необходимо составить такой план перевозки количество щебенки, перевозимой с каждого карьера на каждый строительный объект , чтобы суммарные затраты на перевозку были минимальными. Математическая модель ЗЛП в данном случае имеет вид: Тогда целевая функция равна Ограничения имеют вид Составление опорного плана Решение транспортной задачи начинается с нахождения опорного плана. Для этого существуют различные способы. Например, способ северо-западного угла, способ минимальной стоимости по строке, способ минимальной стоимости по столбцу и способ минимальной стоимости таблицы. Рассмотрим простейший, так называемый способ северо-западного угла. Пояснить его проще всего будет на конкретном примере: Условия транспортной задачи заданы транспортной таблицей. Будем заполнять таблицу перевозками постепенно начиная с левой верхней ячейки 'северо-западного угла' таблицы. Будем рассуждать при этом следующим образом. Пункт В 1 подал заявку на 18 единиц груза. Удовлетворим эту заявку за счёт запаса 48, имеющегося в пункте А 1 , и запишем перевозку 18 в клетке 1,1. После этого заявка пункта В 1 удовлетворена, а в пункте А 1 осталось ещё 30 единиц груза. Удовлетворим за счёт них заявку пункта В 2 27 единиц , запишем 27 в клетке 1,2 ; оставшиеся 3 единицы пункта А 1 назначим пункту В 3. В составе заявки пункта В 3 остались неудовлетворёнными 39 единиц. Из них 30 покроем за счёт пункта А 2 , чем его запас будет исчерпан, и ещё 9 возьмём из пункта А 3. Из оставшихся 18 единиц пункта А 3 12 выделим пункту В 4 ; оставшиеся 6 единиц назначим пункту В 5 , что вместе со всеми 20 единицами пункта А 4 покроет его заявку. На этом распределение запасов закончено; каждый пункт назначения получил груз, согласно своей заявки. Это выражается в том, что сумма перевозок в каждой строке равна соответствующему запасу, а в столбце - заявке. Таким образом, нами сразу же составлен план перевозок, удовлетворяющий балансовым условиям. Полученное решение является опорным решением транспортной задачи: Составленный нами план перевозок, не является оптимальным по стоимости, так как при его построении мы совсем не учитывали стоимость перевозок С ij. Другой способ - способ минимальной стоимости по строке - основан на том, что мы распределяем продукцию от пункта A i не в любой из пунктов B j , а в тот, к которому стоимость перевозки минимальна. Если в этом пункте заявка полностью удовлетворена, то мы убираем его из расчетов и находим минимальную стоимость перевозки из оставшихся пунктов B j. Во всем остальном этот метод схож с методом северо-западного угла. При этом методе может получиться, что стоимости перевозок C ij и C ik от пункта A i к пунктам B j и B k равны. В этом случае, с экономической точки зрения, выгоднее распределить продукцию в тот пункт, в котором заявка больше. Так, например, в строке 2: Способ минимальной стоимости по столбцу аналогичен предыдущему способу. Их отличие состоит в том, что во втором способе мы распределяем продукцию от пунктов B i к пунктам A j по минимальной стоимости C ji. Опорный план, составленный способами минимальных стоимостей, обычно более близок к оптимальному решению. Клетки таблицы, в которых стоят ненулевые перевозки, являются базисными. В этом случае распределительная задача называется вырожденной. И следует в одной из свободных клеток поставить количество перевозок равное нулю. Например в клетку 3,5. Составляя план по способам минимальных стоимостей в отличии от плана по способу северо-западного угла мы учитываем стоимости перевозок C ij , но все же не можем утверждать, что составленный нами план является оптимальным. Распределительный метод достижения оптимального плана Теперь попробуем улучшить план, составленный способом северо-западного угла. Перенесем, например, 18 единиц из клетки 1,1 в клетку 2,1 и чтобы не нарушить баланса перенесём те же 18 единиц из клетки 2,3 в клетку 1,3. Подсчитав стоимость опорного плана она ровняется и стоимость нового плана она ровняется нетрудно убедиться, что стоимость нового плана на единиц меньше. Таким образом, за счёт циклической перестановки 18 единиц груза из одних клеток в другие нам удалось понизить стоимость плана:. На этом способе уменьшения стоимости в дальнейшем и будет основан алгоритм оптимизации плана перевозок. Существует несколько вариантов цикла: Нетрудно убедиться, что каждый цикл имеет чётное число вершин и значит, чётное число звеньев стрелок. Цикл с отмеченными вершинами будем называть означенным. Перенести какое-то количество единиц груза по означенному циклу, это значит увеличить перевозки, стоящие в положительных вершинах цикла, на это количество единиц, а перевозки, стоящие в отрицательных вершинах уменьшить на то же количество. Очевидно, при переносе любого числа единиц по циклу равновесие между запасами и заявками не меняется: Таким образом, при любом циклическом переносе, оставляющем перевозки неотрицательными допустимый план остаётся допустимым. Стоимость же плана при этом может меняться: Назовём ценой цикла увеличение стоимости перевозок при перемещении одной единицы груза по означенному циклу. Очевидно, для улучшения плана имеет смысл перемещать перевозки только по тем циклам, цена которых отрицательна. Так как перевозки не могут быть отрицательными, мы будем пользоваться только такими циклами, отрицательные вершины которых лежат в базисных клетках таблицы, где стоят положительные перевозки. Если циклов с отрицательной ценой в таблице больше не осталось, это означает, что дальнейшее улучшение плана невозможно, то есть оптимальный план достигнут. Метод последовательного улучшения плана перевозок и состоит в том, что в таблице отыскиваются циклы с отрицательной ценой, по ним перемещаются перевозки, и план улучшается до тех пор, пока циклов с отрицательной ценой уже не останется. При улучшении плана циклическими переносами, как правило, пользуются приёмом, заимствованным из симплекс-метода: Этот метод удобен тем, что для него легче находить подходящие циклы. Можно доказать, что для любой свободной клетке транспортной таблице всегда существует цикл и притом единственный, одна из вершин которого лежит в этой свободной клетке, а все остальные в базисных клетках. Если цена такого цикла, с плюсом в свободной клетке, отрицательна, то план можно улучшить перемещением перевозок по данному циклу. Количество единиц груза k , которое можно переместить, определяется минимальным значением перевозок, стоящих в отрицательных вершинах цикла если переместить большее число единиц груза, возникнут отрицательные перевозки. Применённый выше метод отыскания оптимального решения транспортной задачи называется распределённым; он состоит в непосредственном отыскании свободных клеток с отрицательной ценой цикла и в перемещении перевозок по этому циклу. Распределительный метод решения транспортной задачи, с которым мы познакомились, обладает одним недостатком: От этой трудоёмкой работы нас избавляет специальный метод решения транспортной задачи, который называется методом потенциалов. Решение транспортной задачи методом потенциалов Этот метод позволяет автоматически выделять циклы с отрицательной ценой и определять их цены. Пусть имеется транспортная задача с балансовыми условиями. Стоимость перевозки единицы груза из A i в B j равна C ij ; таблица стоимостей задана. Требуется найти план перевозок x ij , который удовлетворял бы балансовым условиям и при этом стоимость всех перевозок бала минимальна. Идея метода потенциалов для решения транспортной задачи сводиться к следующему. Теперь мы установим между ними связь. Оказывается соотношение между псевдостоимостями и стоимостями в свободных клетках показывает, является ли план оптимальным или же он может быть улучшен. Нетрудно показать, что это теорема справедлива также для вырожденного плана, и некоторые из базисных переменных равны нулю. Пользуясь этой терминологией вышеупомянутую теорему можно сформулировать так: Всякий потенциальный план является оптимальным. Итак, для решения транспортной задачи нам нужно одно - построить потенциальный план. Оказывается его можно построить методом последовательных приближений, задаваясь сначала какой-то произвольной системой платежей, удовлетворяющей условию 2. При этом в каждой базисной клетке получиться сумма платежей, равная стоимости перевозок в данной клетке; затем, улучшая план следует одновременно менять систему платежей. Так, что они приближаются к потенциалам. При улучшении плана нам помогает следующее свойство платежей и псевдостоимостей: Таким образом, при пользовании методом потенциалов для решения транспортной задачи отпадает наиболее трудоёмкий элемент распределительного метода: Процедура построения потенциального оптимального плана состоит в следующем. В качестве первого приближения к оптимальному плану берётся любой допустимый план например, построенный способом минимальной стоимости по строке. Следовательно, одну из этих неизвестных можно задать произвольно например, равной нулю. Если же хотя бы в одной свободной клетке псевдостоимость больше стоимости как в нашем примере , то план не является оптимальным и может быть улучшен переносом перевозок по циклу, соответствующему данной свободной клетке. Цена этого цикла ровна разности между стоимостью и псевдостоимостью в этой свободной клетке. В нашем случае в обоих клетках разность одинакова равна 1 , поэтому, для построения цикла выберем, например, клетку 4, Теперь будем перемещать по циклу число 14, так как оно является минимальным из чисел, стоящих в клетках, помеченных знаком -. Итак, мы приходим к следующему алгоритму решения транспортной задачи методом потенциалов: Один из платежей можно назначить произвольно, например, положить равным нулю. Если окажется, что все они не превышают стоимостей, то план оптимален. Если хотя бы в одной свободной клетке псевдостоимость превышает стоимость, следует приступить к улучшению плана путём переброски перевозок по циклу, соответствующему любой свободной клетке с отрицательной ценой для которой псевдостоимость больше стоимости. После этого заново подсчитываются платежи и псевдостоимости, и, если план ещё не оптимален, процедура улучшения продолжается до тех пор, пока не будет найден оптимальный план. Так в нашем примере после 2 циклов расчетов получим оптимальный план. При этом стоимость всей перевозки изменялась следующим образом: Не нашли то, что искали? Google вам в помощь! Из документации ОТК имеются данные о проценте брака каждого рабочего на каждом станке: Таким образом, за счёт циклической перестановки 18 единиц груза из одних клеток в другие нам удалось понизить стоимость плана: В нашем случае в обоих клетках разность одинакова равна 1 , поэтому, для построения цикла выберем, например, клетку 4,2: Основные теоремы двойственности и их экономическое содержание. Защита информации в компьютерных системах. Причины утери информации, мероприятия по защите информации.

Как сделать коптильню из ведра

Где казахстанцы могут получить визу в канаду

Бакуган новая вестроя

Виды экономических задач

Основные виды экономических задач, сводящихся к злп

=== Скачать файл ===

Тема 2. Предмет, задачи и виды экономического анализа

Основные виды экономических задач, сводящихся к ЗЛП

Понятие и виды экономических задач

Report Page