Вероятность. Часть 1: приручённая случайность

Если у вас стоит "отлично" или "зачёт" по теории вероятностей, если вы регулярно выигрываете в рулетку методом удвоения ставки, если теорему Байеса вы можете рассказать, даже будучи разбуженным в три утра и подвешенным за ноги над Гранд Каньоном, то эта статья не для вас. Пролистайте её и ждите следующую

А для остальных я немного расскажу о вероятности и её законах. Как и статистика, вероятность очень плохо понимается мозгом человека, поскольку не выполняет его потребностей в поиске причинно-следственных связях. Поэтому люди используют математику, чтобы сделать вид, что они что-то понимают.

Главное, что нужно для приручённой вероятности — повторение много раз одинаковых событий. В этом случае мы можем очень просто посчитать количество событий, которые закончились так, как надо и разделить на общее количество событий. И получим вероятность. Но чтобы этот процесс был точнее, событий должно быть много. Если чёрное выпало на рулетке шесть раз подряд — это невезение, но не более того. Но если вы весь день ставите на красное, а выпадает лишь чёрное — вам стоит обратиться в полицию. Или больше не приходить к этому крупье

Но сама по себе вероятность бесполезна. Нужна она нам для того, чтобы заранее посчитать, сколько ресурсов мы получим (или потеряем), если решим сделать что-нибудь с неизвестным заранее результатом. И вот тут мы сталкиваемся с проблемой. Раз у нас ещё ничего не сделано, то и посчитать количество событий и разделить не получится. Поэтому были придуманы законы сложения и умножения вероятностей. 

И, что интересно, в этих законах в отличие от алгебры, умножение проще. Вероятность того, что произойдёт сразу два события равна произведению их по отдельности. Если вероятность выбросить решку на монете равна 1/2, то при бросании двух монет вероятность выбросить две решки равна 1/4. Трёх — 1/8, и так по убывающей. Но в этом месте кроется одна ошибка, которую называют ошибкой игрока. 

Пусть даже вероятность выбросить три решки равна 1/8, для четвёртой монеты вероятность упасть решкой вверх всё равно останется 1/2. Для игрока в рулетку это означает, что даже десять раз подряд выпавшее красное не гарантирует, что следующим выпадет чёрное. Вот совсем никак не гарантирует.

Что же касается сложения, то с ним сложнее. Закон "вероятность суммы равна сумме вероятностей" работает только для событий, которые полностью исключают друг друга. Например, вероятность того, что на кубике выпадет чётное число равна сумме вероятностей выпадения 2, 4 и 6. А вот вероятность того, что слесарь Вася придёт на работу трезвый и без фингала так просто уже не считается.

Но для этого случая есть аж два подхода. Для начала отметим, что полная вероятность всех вариантов равна 1, поскольку у нас не может быть больше удовлетворяющих случаев, чем случаев вообще. А теперь возьмём нашего Васю.

Допустим, он пришёл на работу 10 раз, из которых пять раз трезвым и семь раз без фингала. Складываем и получаем 12. Что нас не радует, поскольку он пришёл всего 10 раз. Значит, несколько раз он приходил одновременно трезвым и без фингала, и мы посчитали эти случаи дважды. Их надо отнять. А как считать одновременное выполнение условий, мы уже знаем — умножить. Умножаем вероятность 0.7 на вероятность 0.5 и вычитаем из вероятности 1.2. Получаем 0.85 как шанс того, что Вася придёт либо трезвым, либо без фингала, либо и трезвым, и без фингала.

Есть к этой задаче и более простой подход. Берём те же числа и вычитаем их из полной вероятности. Получаем, что 5 раз Вася пришёл пьяным и 3 раза побитым. Значит, пьяным и побитым прийти вероятность для него 0.15, а прийти либо трезвым, либо без фингала, либо трезвым и без фингала всё те же 0.85

Теперь зная, к примеру, что пьяный и побитый Вася не способен работать, мы можем урезать его будущую зарплату на 15%. И пусть исправляется.

И теперь немного о деньгах и матожидании. Сама по себе вероятность нас не очень интересует, да и делать ставки на орла с решкой бесполезно. Или нет?

Математическое ожидание — это сумма, которую мы скорее всего получим (или проиграем), если будем делать серию ставок на некоторые события, вероятность которых нам известна. Заметим, что при бесконечном количестве ставок с бесконечными же начальными ресурсами "скорее всего" превращается в "точно".

Итак, допустим мы играем с приятелем в орла и решку, ставя каждый раз рубль. При этом наш выигрыш при каждом броске либо +1, либо -1. При таких условиях вероятности, помноженные на выигрыш в сумме дают полный ноль. Разумеется, от того, в какой момент прервать игру, зависит, кто в итоге останется в выигрыше. Но в целом эта игра — бесполезная трата времени.

А вот если вы наглый манипулятор и ставите рубль только если перед этим выиграли, а после проигрыша ставите удвоенную прошлую ставку, то после любой проигрышной серии выигрыш для вас составит +1 рубль. Правда, если у вас только четыре рубля, то игра очень быстро закончится. Лично мой опыт требовал максимум 128 рублей, шанс проигрыша серии при такой сумме ни разу не реализовался.

Вкратце (ага, очень вкратце) мы рассмотрели основные положения науки о случайном. Продолжение следует. А пока верьте в себя и пользуйтесь наукой.