Условия сходимости метода итераций
Условия сходимости метода итерацийМетод итераций
=== Скачать файл ===
Требуется найти корень этой функции: Для решения этой задачи предлагается использовать метод простых итераций. Заменим исходное уравнение на эквивалентное ,и будем строить итерации по правилу. Таким образом метод простой итерации - это одношаговый итерационный процесс. Для того, что бы начать данный процесс, необходимо знать начальное приближение. Выясним условия сходимости метода и выбор начального приближения. Обозначим окресность точки радиуса , то есть. Если липшиц-непрерывна с константой на , то есть выполняется. Из оценки видно, что метод линеен. Пусть непрерывно дифференцируема на , тогда из теоремы вытекают следующие утверждения: Если для , выполнено , и , тогда уравнение имеет единственное решение на и метод простой итерации сходится к решению. Если уравнение имеет решение , непрерывно дифференцируема на и. Это озночает, что решение уравнения и - это точка пересечения с прямой: И следующая итерация - это координата пересечения горизонтальной прямой точки с прямой. Из рисунка наглядно видно требование сходимости. Чем ближе производная к , тем быстрее сходится алгоритм. В зависимости от знака производной вблизи решения приближения могут строится по разному. Если , то каждое следующее приближение строится с другой стороны от корня: Где не меняет знака на отрезке, на котором ищется корень функции. Положим и рассмотрим метод в этом случае. Тогда метод релаксации сходится при. Таким образом задача сводится к нахождению минимума функции. Воспользуемся этим для оценки погрешности на каждой итерации. Запомним 3 последние итерации и выпишем их оценки:. Где нам известны вычисленны по какому то линейному алгоритму ,а найдем из системы. Метод ускорения сходимости заключается в том, что после вычисления 3 приближений по линейно сходящемуся алгоритму, вычисляется новое приближение по уточняющему правилу 2. Применительно к методу релаксации имеем:. Метод Вегстейна, вообще говоря, является модификацией метода секущих, однако его можно назвать и улучшенным методом простой итерации, преобразовав вычислительню формулу. Это двухшаговый метод, и для начала вычислений необходимо задать 2 приближения. Ошибкой будем считать и проверим скорость сходимости методов относительно друг друга. Метод простой итерации с. Сходимость за 28 шагов. Сходимость за 21 шаг. Ускоренный метод простой итерации. Сходимость за 3 шага. Корень Начальное приближение 1. Сходимость за 23 шагов. Сходимость за 5 шаг. Сходимость за 4 шага. Сходимость за 43 шагов. Сходимость за 7 шагов. Сходимость за 5 шагов. Исходный код можно скачать Код программы. Метод простых итераций Материал из MachineLearning. Вы поможете проекту, исправив и дополнив её. Просмотры Статья Обсуждение Просмотр История. Личные инструменты Представиться системе. Навигация Заглавная страница Сообщество Новости Последние правки Случайная статья Справка Инструктаж Вопросы и ответы ToDo. Энциклопедия анализа данных Популярные и обзорные статьи Публикации Полезные ссылки. Инструменты Ссылки сюда Связанные правки Загрузить файл Спецстраницы Версия для печати Постоянная ссылка. Содержание 1 Постановка задачи 2 Метод простых итераций в общем виде 2.
Педагогический метод моделирования
Насоск 100 технические характеристики
Что означает диагноз доа коленных суставов