Урок 2. Априорная вероятность

«Интуиция без проверки и доказательств отнюдь не гарантирует истину» Бертран Рассел

Старый гном по имени Тифиус закатил в аудиторию садовую тележку с кучей небольших кожаных мешочков. Он вывалил их ровно посередине. 

Здесь ровно сто мешочков. Я беру случайный мешочек и подношу к нему камень Гюйгенса. Напомню — его крутость в том, что он чаще загорается рядом с мешочками с золотом (в 8 из 10 случаев), чем рядом с пустыми (только в 1 из 10 случаев).

Я подношу его к случайному мешочку из этой кучи - и он загорается. Какова вероятность обнаружить в этом мешочке золото? Если Вы не пропустили прошлое занятие, то желание просто ответить 80% (исходя из 8 из 10) полагаю у вас не возникает. 

Вы можете рассуждать так: «ну да есть же ещё не содержащие золото мешочки, рядом с которыми тоже иногда будет загораться камень. Ведь камень загорится рядом с 8 мешочками с золотом и рядом с 1 без золота. Тогда 8 из 9 мешочков». Но рассуждать так мы конечно же не будем.

А как же необходимо рассуждать для получения верного ответа? Ну для начала необходимо проверить достаточно ли у нас информации. Подумайте вот о чём: а что если все мешочки которые я притащил пустые? Я ведь ничего про это не сказал. Камень в таком случае загорится 10 раз. И ни в одном мешочке не будет золота! 

Знание о том, сколько же мешочков с золотом лежит в этой куче — то, чего вам не хватало. И таких мешочков ровно десять штук. Это достоверная информация — вы могли заметить, я не обманываю вас на уроках, но я управляю вашим вниманием. Этим же занимаются например фокусники. Все понимают, что фокус — это обман. Но там куда фокусник направил ваше внимание — обмана нет. На этом курсе мы научимся сопротивляться этому управлению и смотреть фокусникам в рукава. Как сказал Джон Аластон, если вы не будете контролировать свой разум, этим займётся кто-нибудь другой.

Информация о количестве мешочков с золотом среди всех мешочков — на эльфийском математическом называется «априорная вероятность». Она отражает вероятность достать мешочек с золотом из этой кучи случайным образом без всяких инструментов или свидетельств. Если в куче из 100 мешочков лежит 10 мешочков с золотом, то достав десяток случайных мешочков вы обязаны ожидать в одном из них золото.

Вместе условные вероятности (разное поведение камня в разных условиях) и априорная вероятность называются «априорной информацией». 

Но вернёмся к изначальному вопросу. Для наглядного ответа на него я поделю мешочки на группы. Я заранее пометил для себя те мешочки, в которых есть золото, поэтому мне несложно разделить их на две группы. В первой группе только мешочки с золотом (10 штук), во второй только пустые (90 штук).

Теперь мы разделим мешочки с золотом на те, рядом с которыми камень Гюйгенса загорится и те, рядом с которыми он не загорится. Получилось две группы: 8 мешочков, которые «загорелись» и 2 мешочка рядом с которыми камень не сработал. 

То же самое проделаем с пустыми мешочками, вы ведь помните что камень Гюйгенса загорается 1 раз из 10 рядом с ними? У нас было 90 пустых мешочков. А получили мы 9 мешочков, которые «загорелись» и 81 рядом с которыми ничего не произошло.

Далее я предлагаю вам посмотреть мой рисунок мелом на маркерной доске.

Нам интереснее всего две группы, про которые обычно все забывают. Все понятно с 8 «золотыми» мешочками, которые «загорелись». Не смущают нас и 81 пустой мешочек, рядом с которым камень не сработал. 

Намного интереснее группа из двух «не загоревшихся золотых» - она называется «ложноотрицательной». Потому что камень Гюйгенса как бы отрицает там наличие золота, но это отрицание ложно. По аналогии — группа с «загоревшимися пустыми» мешочками называется «ложноположительной». Ведь она как бы «даёт показания» ЗА наличие золота, но это так же ложно. Ни один реальный тест или инструмент не исключает такие ложные показания. 

Так какова же вероятность найти золото среди всех мешочков, рядом с которыми загорелся камень? Всего камень загорелся 17 раз. 8 раз он сказал нам правду и 9 раз «соврал». Значит из всех загоревшихся мы имеем 8 мешочков с золотом. Вероятность равна 8/17 (~47%). У этого ответа тоже есть название, эта вероятность называется «апостериорной». 

Вот теперь наш прогноз совпадает с реальностью. 

При столкновении с любой гипотезой и свидетельством вы обязаны спросить:

• Насколько часто такое событие происходит вообще?

• Происходит ли данное событие чаще в случае когда мы наблюдаем это свидетельство, чем в ситуации когда свидетельства нет? 

Если информации недостаточно, возможны трагичные казусы. Представьте, вы собираетесь убить дракона. У вас есть информация о том, что с золотым мечом ваши шансы в 100 раз больше чем с любым другим оружием. И вот вы вооружаетесь золотым мечом и... идёте на верную смерть. Ведь забыли уточнить, что вероятность убить дракона один на миллион. А золотой меч хоть и повысил её в сто раз, но она не внушает оптимизма. На дракона всё ещё понадобится десять тысяч таких же храбрецов с золотыми мечами.