Un espace bien ouvert
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Un espace bien ouvert
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2.1 Approche intuitive dans la droite et le plan
2.2 Ouverts dans un espace métrique
2.4 Topologie discrète et topologie grossière
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Article détaillé : Espace topologique .
Article détaillé : Topologie de Zariski .
↑ Propriété démontrée par exemple dans ce paragraphe de la leçon « Topologie générale » sur Wikiversité .
↑ Si l'ensemble est vide, cette propriété est trivialement vérifiée .
↑ Exercice 2 de « Topologie générale » [ archive ] , sur exo7.emath.fr (consulté le 1 er mars 2020 ) .
↑ Jean Dieudonné , Calcul infinitésimal , Hermann, 1980 ( ISBN 2-7056-5907-2 et 978-2-7056-5907-3 , OCLC 6787042 ) , p. 32 (§ 5.2)
↑ Antoine Appert , « Sur le meilleur terme primitif en topologie », Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques , 1982 , p. 65 ( lire en ligne [ archive ] ) .
La dernière modification de cette page a été faite le 23 juillet 2022 à 18:35.
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Pour les articles homonymes, voir Ouvert .
En mathématiques et plus particulièrement en topologie générale , un ensemble ouvert , aussi appelé une partie ouverte ou, plus fréquemment, un ouvert , est un sous-ensemble d'un espace topologique qui ne contient aucun point de sa frontière . L'ouvert est l'élément de base d'un espace topologique.
Il existe plusieurs définitions des ouverts suivant le type d'espace concerné. Nous reprenons ici la définition pour le cas le plus général à savoir celui des espaces topologiques. Des définitions spécifiques plus explicites existent pour des sous-types d'espaces topologiques tels que les espaces métriques , espaces vectoriels normés ou autres. Ces définitions restent cependant cohérentes avec cette définition générale.
Sur un ensemble E , on peut définir une topologie T comme un ensemble de parties de E vérifiant les trois propriétés suivantes :
Alors par définition un sous-ensemble U de E est un ouvert de E pour la topologie T si et seulement si U appartient à T (il en résulte que la topologie T peut être définie comme l'ensemble des ouverts de E selon T ).
À partir des ouverts on peut définir les voisinages mais inversement :
Les espaces topologiques les plus couramment étudiés sont munis de diverses structures supplémentaires :
Un ouvert de la droite ou du plan est un sous-ensemble qui présente la propriété caractéristique suivante : en choisissant comme origine un point quelconque de ce sous-ensemble [ 2 ] , tous les points autour de celui-ci sont encore dans ce sous-ensemble à condition de ne pas trop s'éloigner. Cela signifie que ce point est assez loin de tous les points n'appartenant pas à ce sous-ensemble, ou encore, qu'il existe toujours une distance non nulle entre ce point et le complémentaire du sous-ensemble (les points n'appartenant pas au sous-ensemble). Ceci traduit l'idée qu'un ouvert ne contient pas sa frontière.
L'ensemble des ouverts de la droite (respectivement du plan) est appelé la topologie de la droite (respectivement la topologie du plan).
On peut montrer que les ouverts de la droite sont l'ensemble vide et les ensembles qui sont réunion finie ou infinie d'intervalles ouverts.
On peut généraliser cette notion intuitive d'ouverts à tout espace E dans lequel on peut définir une distance d , c'est-à-dire dans un espace métrique. Dans cet espace, une boule ouverte de centre x appartenant à E et de rayon r > 0 est l'ensemble des points de E dont la distance à x est strictement inférieure à r :
Si S est une partie de E , on dit qu'un point x est intérieur à S s'il existe une boule ouverte (de rayon > 0) centrée en x qui est contenue dans S .
Un sous-ensemble U de points de l'espace E est dit ouvert lorsque tout point élément de U est intérieur à U .
Cela signifie que U est un ouvert de E si pour chacun de ses points x , il contient également les points suffisamment proches de x : on peut entourer chaque point en restant dans l'ouvert, donc aucun point de U n'est « au bord » de U .
On remarque tout de suite qu'une boule ouverte est aussi un ouvert. Le nom de « boule ouverte » est donc cohérent avec la définition d'ouvert.
Cet ensemble d'ouverts de E est appelé la topologie de l'espace métrique ( E , d ) .
Un espace vectoriel E de dimension finie sur un corps topologique K a une topologie canonique : il s'agit de la topologie la moins fine (ayant le moins d'ouverts) qui rende continues les formes linéaires (les fonctions linéaires de E dans K ). Ainsi est ouvert pour cette topologie toute image réciproque d'un ouvert de K par une forme linéaire, ainsi que les intersections finies et les réunions d'ensembles de ce type.
Pour ℝ n , elle est engendrée par les pavés ouverts : les ouverts sont les réunions (éventuellement infinies) de produits d'intervalles ouverts. Ces ouverts sont ceux de l'espace métrique (ℝ n , d ).
Le caractère ouvert d'une partie d'un ensemble dépend de la topologie qu'on se donne. La plupart des espaces n'ont pas de topologie canonique, mais souvent plusieurs topologies intéressantes.
N'importe quel ensemble est ouvert, pour une topologie suffisamment fine , alors qu'une partie non triviale n'est pas ouverte pour une topologie trop grossière .
En géométrie algébrique on définit des ouverts de Zariski sur divers espaces algébriques. Par exemple :
Une intersection infinie d'ouverts n'est pas nécessairement un ouvert. Ainsi, par exemple, dans ℝ muni de sa topologie usuelle, l'intersection de tous les intervalles ouverts ]–1 – 1/ n , 1 + 1/ n [, pour n entier naturel non nul, est le segment [–1, 1].
Soient deux espaces topologiques E et F . Une fonction f de E dans F est continue si l' image réciproque par f de tout ouvert de F est un ouvert de E . Si c'est l' image directe d'un ouvert de E qui est ouverte dans F , on parle d' application ouverte .
Une partie d'un espace topologique ( E , T ) est fermée si son complémentaire dans E est un ouvert. Une partie peut très bien être à la fois ouverte et fermée ( E et l'ensemble vide, ouverts par définition et complémentaires l'un de l'autre, sont d'ailleurs toujours ouverts et fermés), ou ni l'un ni l'autre.
Toute partie S d'un espace topologique ( E , T ) contient au moins un ouvert : l'ensemble vide ; on définit l' intérieur de S comme l'union de tous les ouverts inclus dans S et on remarque que c'est le plus grand ouvert inclus dans S .
Est appelé voisinage d'une partie A (non vide) d'un espace topologique E toute partie V de E contenant un ouvert U contenant A , c'est-à-dire tel que A ⊂ U ⊂ V .
Les voisinages d'une partie non vide constituent un filtre , c'est-à-dire que l'intersection d'un nombre fini de voisinages est un voisinage et qu'une partie qui contient un voisinage est un voisinage.
Un espace E est dit connexe si les seules parties ouvertes et fermées de E sont E et l'ensemble vide.
Autrement dit, dans un espace connexe, le complémentaire d'une partie ouverte n'est jamais un ouvert, sauf si la partie ou son complémentaire est vide.
Une partie A d'un espace topologique E est dite quasi-compacte si de tout recouvrement ouvert de A , on peut extraire un recouvrement fini. Elle est dite compacte si elle est de plus séparée (pour la topologie induite ).
Avant que les fondements de la topologie générale soient fixés, il y a eu des recherches pour cerner les axiomes nécessaires d'une topologie [ 5 ] . Il n'y a pas eu de suite à ces travaux.
O n dit qu'une partie U U d'un espace métrique (ou d'un espace vectoriel normé) E E
est ouverte (ou que U est un ouvert )
s'il est voisinage de chacun de ses points. Autrement dit, U U est ouvert si
pour tout point a ∈ U a ∈ U , il existe r > 0 r > 0 tel que B ( a , r ) ⊂ U B ( a , r ) ⊂ U .
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