Учебное пособие: Теория вероятностей и математическая статистика

Учебное пособие: Теория вероятностей и математическая статистика




👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻




























































При решении вероятностных задач часто приходится в заданном множестве выбирать подмножества, обладающие определенными свойствами. Поскольку в таких задачах речь идет про те или иные комбинации объектов, то их называют комбинаторными
задачами.
Множество наз. Упорядоченным, если в нем указан порядок следования элементов. Например
Пусть из множества А элемент а1 можно выбрать n1 способами, элемент а1-n1 способами, а2-n2 способами,…, аk-nkспосбами. Тогда выбор одного из этих элементов или а1, или а2,…, или аkможно произвести n1+n2+…+nkспособами.
Пусть из множества А элемент а1 можно выбрать n1 способами, элемент а1-n1 способами, а2-n2 способами,…, аk-nkспосбами. Тогда одновременный выбор элементов а1,а2,…,аkможно выбрать n1*n2*…*nkспособами.
Из 3-ех классов спорт. школы нужно составить команду для соревнований, взяв по одному ученику из класса. Сколько команд можно составить, если в одном классе 18 учеников, в другом-20, в третьем-22.
Пусть множество А состоит из nэлементов. Будем выбирать из оттого множества упорядоченные множества, состоящие из kэлементов. Такие подмножества будут называться размещениями из
n
элементов по
k
.
Размещения отличаются друг от друга как элементами, так и порядком.
Например , из множества составим размещения по 2 элемента. , , , , ,
Число размещений из nэлементов по kобозначают и вычисляют по формуле: ; (0!=1)
Перестановками из
n
элементов по
k
называют размещения, у которых n=k. Перестановки отличаются только порядком элементов. ; ; ; ; ;
Число перестановок из nэлементов по k(n=k):
Пусть мн-во А состоит из nэлементов. Из него будем выбирать неупорядоченные подмножества, содержащие kэлементов, которые будут называться сочетаниями из
n
элементов
k
.
Сочетания различаются между собой только элементами. : , ,
Число сочетаний из nэлементов по k:
1)Студентам нужно сдать сдать 4-ре экзамена за 8 дней. Сколькими способами можно составить расписание?
(2,3,7,8) Из множества, содержащего 8 элементов выбираем подмножества по 4 элемента, порядок которых нам не безразличен, следовательно число способов:
2)На 4-ех карточках написаны цифры 0,1,2,3. Сколько различных четырехзначных чисел чисел можно составить из этих карточек?
3)В хоккейном турнире участвует 6 команд. Каждая команда должна сыграть с каждой одну игру. Сколько игр будет сыграно в турнире?
Т.к в выбираемых множествах по 2 элемента из 6, порядок безразличен, то кол-во игр=числу сочетаний из 6 по 2:
4)6 друзей собрались на встречу. Один из них произнес тост: собираться столько лет пока каждый не посидит на новом месте.
В любой точной науке существуют основные понятия. Если в геометрии это: точка, прямая, плоскость, то в теории вероятности основными понятиями являются испытания, события, вероятность.
Испытание(опыт)
-осуществление какого-либо комплекса условий.
Испытанием будет являться бросание игральной кости.
Событие(исход
)-результат испытания.
События могут быть достоверными, невозможными, случайными.
Достоверное событие
-событие, кот. обязательно произойдет в результате данного испытания. . Например, при бросании игральной кости выпало число от 1 до 6.
Невозможное событие
-событие, кот. не может произойти в результате данного испытания. Например, , при бросании
Случайное событие
-событие, кот. может произойти, а может не произойти в результате данного испытания. А,В,С,… Например, выпало 6 очков при бросании кости.
Случайные события называются совместными
, если появление одного из них не исключает появление другого. В противном случае - несовместние
.
А - в аудиторию вошел мужчина, В - в аудиторию вошел человек старше 30 лет. А и В - совместные
Стрелок произвел выстрел по цели. А - попадание, В - промах; А и В - несовместные.
Случайное событие называется единственно возможным
, если в результате испытания появление одного и только одного из них является достоверным событием. Бросают монету. А - герб, В - надпись.
Случайные события называются равновозможными
, если в результате испытания нет оснований считать, что одно из них более возможно, чем другое.
Случайные события называются противоположными
, если не появление одного из них влечет появление другого. А,
Совокупность всех единственно возможных событий данного испытания составляет полную группу событий

1)Суммой двух событий А и В
называется событие, состоящее в том,
что произошло или событие А, или событие В, или оба вместе, т.е.
произошло хотя бы одно событие. С=А+В “+”-или
А+В=С – турист посетил или г. А, или г.В, или оба вместе.
А+В-выпало число очков или четное, или кратное 3-ем
Геометрическая интерпретация суммы событий

Произвольным образом бросаем точку на плоскость. Если она попадет в область А, то произошло событие А, если в область В, то-событие В, если попадет в область с двухсторонней штриховкой, то события А и В произошли одновременно. Тогда сумме событий
будет соответствовать область, отмеченная жирной линией. В случае несовместных событий
сумме А+В будет соответствовать две непересекающиеся области. 2) Произведением событий А и В
называется событие С, которое наступает с совместным наступлением А и В. А*В “ * ”-заменяет союз « И »
Аналогично определяются сумма и произведение для нескольких событий.
Классическая формула вероятности. Свойства вероятности.
Вероятность является одним из основных понятий в теории вероятностей.
При употреблении этого слова мы интуитивно оцениваем возможность появления того или иного события. Можно сказать, что одно событие наступит чаще, чем другое.
В урне содержится 28 шаров, из них 2 белых, 13 красных, 13 черных. На удачу вынимаем 1 шар. Красный или черный шар можно вытянуть с большей возможностью, а белый – с меньшей. Из этого примера видно, что каждое событие обладает определенной степенью возможности , т.е. некоторой числовой оценкой.
Вероятностью события А
называется численная мера объективной возможности его появления. Р=Р(А)
Классической схемой или схемой случаев
называется испытание, при котором число исходов (событий) конечно и все из них равновозможные.
Исход испытания (события) называется благоприятствующим событию А, если его появление влечет наступление события А.
Классической вероятностью события А
называется отношение числа исходов М, благоприятствующих событию А , к общему числу всех исходов испытания N. Р(А)=M/N
Из определения следуют следующие свойства.

1)Вероятность достоверного события. Р( )=1
2)Вероятность невозможного события. Р=0
3) Вероятность случайного события. 0Учебное пособие: Теория вероятностей и математическая статистика
Реферат по теме Регионология 30 вопросов
Реферат: Расчетно-кассовое обслуживание юридических лиц в Сбербанке
Контрольная Работа На Тему Предпринимательское Право
Реферат по теме Международная Организация Морской спутниковой связи (ИНМАРСАТ)
Реферат: Проект реконструкции цеха первичной переработки нефти и получения битума на ОАО «Сургутнефтегаз»
Существование Человека В Условиях Природной Автономии Реферат
Реферат: Горная порода - термодинамическая система. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Закон Вебера Фахнера
Как Сделать Приложение В Курсовой Работе Пример
Русский Лес Леонов Сочинение Егэ
Реферат по теме Черные рекламные компании
Реферат: Неналоговые доходы бюджетов Российской Федерации
Дикой И Кабаниха Сочинение
Доклад: Направление развития туристско-рекреационной зоны на Байкале
Курсовая работа: История иследования полупроводников
Реферат На Тему Сми По Английскому
Контрольная работа по теме Проверочный расчет КБТ при бурении с дополнительной нагрузкой
Реферат: Организационная культура как регулятор поведения
Реферат по теме Основные концепции человека и человеческих потребностей в истории общественной мысли
Реферат На Тему Водоподготовка И Водный Режим Станции
Реферат: Ліквідація царизмом Запорізької Січі та її наслідки
Курсовая работа: Защита права собственности и других вещных прав
Реферат: Наказание по уголовному праву Российской Федерации

Report Page